WikiDer > Qisqartirilgan lotin

Yilda matematika, qisqartirilgan lotin tushunchasini umumlashtirishdir lotin funktsiyalarini o'rganishga juda mos keladi chegaralangan o'zgarish. Chegaralangan variatsiya funktsiyalari ma'nosida hosilaga ega bo'lsa-da Radon o'lchovlari, funktsiyalarning o'zi bilan bir xil bo'shliqda qiymatlarni qabul qiladigan lotin bo'lishi maqsadga muvofiqdir. Qisqartirilgan lotinning aniq ta'rifi juda muhim bo'lsa-da, uning asosiy xususiyatlarini eslash oson:

• u mavjud bo'lgan har qanday joyda odatdagi lotin ko'paytmasi;
• o'tish nuqtalarida, bu o'tish vektorining ko'paytmasi.

Kamaytirilgan lotin tushunchasi tomonidan kiritilgan ko'rinadi Aleksandr Mielke va Florian Theil 2004 yilda.

Ta'rif

Ruxsat bering X bo'lishi a ajratiladigan, reflektiv Banach maydoni bilan norma || || va tuzatish T > 0. BV ga ruxsat bering₋([0, T]; X) barchaning makonini bildiradi chap-uzluksiz funktsiyalari z : [0, T] → X chegaralangan o'zgarishi bilan [0,T].

Vaqtning istalgan funktsiyasi uchun f, o'ng / chap uzluksiz versiyalarini belgilash uchun +/− indekslaridan foydalaning f, ya'ni

${ displaystyle f _ {+} (t) = lim _ {s downarrow t} f (s);}$

${ displaystyle f _ {-} (t) = lim _ {s uparrow t} f (s).}$

Har qanday pastki oraliq uchun [a, b] ning [0,T], ruxsat bering Var (z, [a, b]) ning o'zgarishini bildiradi z ustida [a, b], ya'ni supremum

${ displaystyle mathrm {Var} (z, [a, b]) = sup left { left. sum _ {i = 1} ^ {k} | z (t_ {i}) - z (t_ {i-1}) | right | a = t_ {0}$

Qisqartirilgan lotinni qurishda birinchi qadam bu "cho'zish" vaqti, shunday qilib z uning sakrash nuqtalarida chiziqli interpolyatsiya qilinishi mumkin. Shu maqsadda aniqlang

${ displaystyle { hat { tau}} nuqta [0, T] dan [0, + infty);}$

${ displaystyle { hat { tau}} (t) = t + int _ {[0, t]} | mathrm {d} z | = t + mathrm {Var} (z, [0, t) ]).}$

"Uzaygan vaqt" funktsiyasi τ̂ chap uzluksiz (ya'ni τ̂ = τ̂₋); bundan tashqari, τ̂₋ va τ̂₊ bor qat'iy ravishda ko'paymoqda va (eng ko'p hisoblash mumkin) o'tish nuqtalaridan tashqari, rozi bo'ling z. O'rnatish T̂ = τ̂(T), bu "streç" ni teskari tomonga qaytarish mumkin

${ displaystyle { hat {t}} ikki nuqta [0, { hat {T}}] dan [0, T] gacha;}$

${ displaystyle { hat {t}} ( tau) = max {t in [0, T] | { hat { tau}} (t) leq tau }.}$

Buning yordamida kengaytirilgan versiyasi z bilan belgilanadi

${ displaystyle { hat {z}} in C ^ {0} ([0, { hat {T}}]; X);}$

${ displaystyle { hat {z}} ( tau) = (1- teta) z _ {-} (t) + teta z _ {+} (t)}$

qayerda θ ∈ [0, 1] va

${ displaystyle tau = (1- theta) { hat { tau}} _ {-} (t) + theta { hat { tau}} _ {+} (t).}$

Ushbu ta'rifning ta'siri yangi funktsiyani yaratishdir ẑ sakrashlarni "cho'zadigan" z chiziqli interpolatsiya orqali. Tezkor hisoblash shuni ko'rsatadiki ẑ nafaqat doimiy, balki a da ham yotadi Sobolev maydoni:

${ displaystyle { hat {z}} in W ^ {1, infty} ([0, { hat {T}}]; X);}$

${ displaystyle left | { frac { mathrm {d} { hat {z}}} { mathrm {d} tau}} right | _ {L ^ { infty} ([0, { hat {T}}]; X)} leq 1.}$

Ning hosilasi ẑ(τ) munosabat bilan τ belgilanadi deyarli hamma joyda munosabat bilan Lebesg o'lchovi. The qisqartirilgan lotin ning z bo'ladi orqaga tortish cho'zish funktsiyasi bilan ushbu hosilaning τ̂ : [0, T] → [0, T̂]. Boshqa so'zlar bilan aytganda,

${ displaystyle mathrm {rd} (z) nuqta [0, T] to {x in X | | x | leq 1 };}$

${ displaystyle mathrm {rd} (z) (t) = { frac { mathrm {d} { hat {z}}} { mathrm {d} tau}} chap ({ frac {{) hat { tau}} _ {-} (t) + { hat { tau}} _ {+} (t)} {2}} o'ng).}$

Ushbu lotinni orqaga qaytarish bilan bog'liq Lebesgue o'lchovining [0,T̂] ni belgilaydigan differentsial o'lchov m_z:

${ displaystyle mu _ {z} ([t_ {1}, t_ {2})) = lambda ([{ hat { tau}} (t_ {1}), { hat { tau}} (t_ {2})) = { hat { tau}} (t_ {2}) - { hat { tau}} (t_ {1}) = t_ {2} -t_ {1} + int _ {[t_ {1}, t_ {2}]} | mathrm {d} z |.}$

Xususiyatlari

• Kamaytirilgan lotin rd (z) faqat aniqlanadi m_z- deyarli hamma joyda [0,T].
• Agar t ning sakrash nuqtasi z, keyin

${ displaystyle mu _ {z} ( {t }) ​​= | z _ {+} (t) -z _ {-} (t) | { mbox {and}} mathrm {rd} (z ) (t) = { frac {z _ {+} (t) -z _ {-} (t)} { | z _ {+} (t) -z _ {-} (t) |}}.}$

• Agar z bo'yicha farqlanishi mumkin (t₁, t₂), keyin

${ displaystyle mu _ {z} ((t_ {1}, t_ {2})) = int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} 1+ | { nuqta {z}} (t) | , mathrm {d} t}$

va uchun t ∈ (t₁, t₂),

${ displaystyle mathrm {rd} (z) (t) = { frac {{ nuqta {z}} (t)} {1+ | { nuqta {z}} (t) |}}}$,

• 0 For uchuns < t ≤ T,

${ displaystyle int _ {[s, t)} mathrm {rd} (z) (r) , mathrm {d} mu _ {z} (r) = int _ {[s, t) } mathrm {d} z = z (t) -z (s).}$

Adabiyotlar

• Mielke, Aleksandr; Theil, Florian (2004). "Stavkadan mustaqil histerez modellari to'g'risida". NoDEA Lineer bo'lmagan differentsial tenglamalar Ilova. 11 (2): 151–189. ISSN 1021-9722. JANOB2210284