WikiDer > Rotationsmatrix

Drehung um den Ursprung kann in der Mathematik beschrieben werden durch a Matrix Das Rotationsmatrix wird genannt.

In zwei Dimensionen

In zwei Maße wird zu einer Drehung um den Ursprung (gegen den Uhrzeigersinn) etwa a Ecke θ mit folgender Matrix:

${displaystyle { egin{bmatrix}cos {heta}&-sin {heta}/sin {heta}&cos {heta}end{bmatrix}}.}$

Drehung des Punkt (x,y) ergibt das Pixel (x',y'), gegeben durch:

${displaystyle { egin{bmatrix}x'/y'end{bmatrix}}=:{ egin{bmatrix}cos { heta }&-sin { heta }/sin { heta }&cos { heta }end{bmatrix}}{ egin {bmatrix}x/yend{bmatrix}}={ egin{bmatrix}xcos heta -ysin heta /xsin heta ycos heta end{bmatrix}}}$

In drei Dimensionen

In drei Dimensionen wird eine Drehung um die z-Achse um einen Winkel θ (in positiver Drehrichtung, gegen den Uhrzeigersinn) mit der folgenden Matrix beschrieben. Diese Matrizen gelten nur für ein im Uhrzeigersinn rotierendes Koordinatensystem.

Über die z-Achse:

${displaystyle { egin{bmatrix} cos { heta }&-sin { heta }&0/ sin { heta }&cos { heta }&0/ 0&0&1end{bmatrix}}}$

Um die x-Achse:

${displaystyle { egin{bmatrix} 1&0&0/ 0&cos { heta }&-sin { heta }/ 0&sin { heta }&cos { heta }end{bmatrix}}}$

Um die y-Achse:

${displaystyle { egin{bmatrix}cos { heta }&0&sin { heta}/ 0&1&0/-sin { heta }&0&cos { heta }end{bmatrix}}}$

Eigenschaften

Wenn aufeinanderfolgende Drehungen durchgeführt werden, beispielsweise zuerst eine Drehung um α und dann um β, ist die Wirkung der aufeinanderfolgenden Drehungen gleich einer Drehung um die Summe α β der Winkel. In Matrixform:

${displaystyle { egin{bmatrix}cos { eta }&-sin { eta }/sin { eta }&cos { eta }end{bmatrix}}{ egin{bmatrix}cos {alpha }&-sin {alpha }/sin {alpha }&cos {alpha}end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}cos( eta alpha )&-sin(eta alpha)/sin(eta alpha)&cos(eta alpha)end{bmatrix}}}$

Es folgt/verwendet die Simpson-Regeln.