Formulani matematik ravishda darajasi uchun olish mumkin tarqalish elektron nurlari materialdan o'tib ketganda.
O'zaro ta'sir rasm
Xavotir olmagan Hamiltonianni aniqlang H 0 {displaystyle H_ {0}} H 1 {displaystyle H_ {1}} H {displaystyle H}
Xavotir olmagan Hamiltonianning o'ziga xos davlatlari deb taxmin qilinadi
H = H 0 + H 1 {displaystyle H = H_ {0} + H_ {1}} H 0 | k ⟩ = E ( k ) | k ⟩ {displaystyle H_ {0} | to'qnashuv = E (k) | to'qnashuv} In o'zaro ta'sir rasm , holat keti bilan belgilanadi
| k ( t ) ⟩ Men = e men H 0 t / ℏ | k ( t ) ⟩ S = ∑ k ′ v k ′ ( t ) | k ′ ⟩ {displaystyle | k (t) burchak _ {I} = e ^ {iH_ {0} t / hbar} | k (t) burchak _ {S} = sum _ {k '} c_ {k'} (t) | k 'burchak} Tomonidan Shredinger tenglamasi , biz ko'rib turibmiz
men ℏ ∂ ∂ t | k ( t ) ⟩ Men = H 1 Men | k ( t ) ⟩ Men {displaystyle ihbar {frac {qisman} {qisman t}} | k (t) burchak _ {I} = H_ {1I} | k (t) burchak _ {I}} bu umumiy bilan Shredingerga o'xshash tenglama H {displaystyle H} H 1 Men {displaystyle H_ {1I}}
Hal qilish differentsial tenglama , biz n-holat koeffitsientini topishimiz mumkin.
v k ′ ( t ) = δ k , k ′ − men ℏ ∫ 0 t d t ′ ⟨ k ′ | H 1 ( t ′ ) | k ⟩ e − men ( E k − E k ′ ) t ′ / ℏ {displaystyle c_ {k '} (t) = delta _ {k, k'} - {frac {i} {hbar}} int _ {0} ^ {t} dt '; langle k' | H_ {1} ( t ') | to'qnashuv, e ^ {- i (E_ {k} -E_ {k'}) t '/ hbar}} nolinchi tartibli va birinchi darajali muddat qaerda
v k ′ ( 0 ) = δ k , k ′ {displaystyle c_ {k '} ^ {(0)} = delta _ {k, k'}} v k ′ ( 1 ) = − men ℏ ∫ 0 t d t ′ ⟨ k ′ | H 1 ( t ′ ) | k ⟩ e − men ( E k − E k ′ ) t ′ / ℏ {displaystyle c_ {k '} ^ {(1)} = - {frac {i} {hbar}} int _ {0} ^ {t} dt'; langle k '| H_ {1} (t') | kangle , e ^ {- i (E_ {k} -E_ {k '}) t' / hbar}} O'tish darajasi
Topish ehtimoli | k ′ ⟩ {displaystyle | k'angle} | v k ′ ( t ) | 2 {displaystyle | c_ {k '} (t) | ^ {2}}
Doimiy bezovtalik bo'lsa, v k ′ ( 1 ) {displaystyle c_ {k '} ^ {(1)}}
v k ′ ( 1 ) = ⟨ k ′ | H 1 | k ⟩ E k ′ − E k ( 1 − e men ( E k ′ − E k ) t / ℏ ) {displaystyle c_ {k '} ^ {(1)} = {frac {langle k' | H_ {1} | to'qmoq} {E_ {k '} - E_ {k}}} (1-e ^ {i (E_ {k '} - E_ {k}) t / hbar})} | v k ′ ( t ) | 2 = | ⟨ k ′ | H 1 | k ⟩ | 2 s men n 2 ( E k ′ − E k 2 ℏ t ) ( E k ′ − E k 2 ℏ ) 2 1 ℏ 2 {displaystyle | c_ {k '} (t) | ^ {2} = | langle k' | H_ {1} | kangle | ^ {2} {frac {sin ^ {2} ({frac {E_ {k '}) -E_ {k}} {2hbar}} t)} {({frac {E_ {k '} - E_ {k}} {2hbar}}) ^ {2}}} {frac {1} {hbar ^ {2 }}}} Tenglamadan foydalanish
lim a → ∞ 1 π s men n 2 ( a x ) a x 2 = δ ( x ) {displaystyle lim _ {alfa ightarrow infty} {frac {1} {pi}} {frac {sin ^ {2} (alfa x)} {alfa x ^ {2}}} = delta (x)} Elektronning boshlang'ich holatidan o'tish tezligi k {displaystyle k} k ′ {displaystyle k '}
P ( k , k ′ ) = 2 π ℏ | ⟨ k ′ | H 1 | k ⟩ | 2 δ ( E k ′ − E k ) {displaystyle P (k, k ') = {frac {2pi} {hbar}} | langle k' | H_ {1} | kangle | ^ {2} delta (E_ {k '} - E_ {k})} qayerda E k {displaystyle E_ {k}} E k ′ {displaystyle E_ {k '}} δ {displaystyle delta}
Tarqoqlik darajasi
Tarqalish tezligi w (k) barcha mumkin bo'lgan k 'ning holatlarini yig'ish orqali aniqlanadi elektronlarning tarqalishi boshlang'ich k dan yakuniy holat k 'gacha va bilan belgilanadi
w ( k ) = ∑ k ′ P ( k , k ′ ) = 2 π ℏ ∑ k ′ | ⟨ k ′ | H 1 | k ⟩ | 2 δ ( E k ′ − E k ) {displaystyle w (k) = sum _ {k '} P (k, k') = {frac {2pi} {hbar}} sum _ {k '} | langle k' | H_ {1} | kangle | ^ { 2} delta (E_ {k '} - E_ {k})} Ajralmas shakli
w ( k ) = 2 π ℏ L 3 ( 2 π ) 3 ∫ d 3 k ′ | ⟨ k ′ | H 1 | k ⟩ | 2 δ ( E k ′ − E k ) {displaystyle w (k) = {frac {2pi} {hbar}} {frac {L ^ {3}} {(2pi) ^ {3}}} int d ^ {3} k '| langle k' | H_ { 1} | to'qnashuv | ^ {2} delta (E_ {k '} - E_ {k})} Adabiyotlar
C. Hamaguchi (2001). Asosiy yarimo'tkazgichlar fizikasi . Springer. 196-253 betlar. J.J. Sakuray. Zamonaviy kvant mexanikasi . Addison Uesli Longman. 316-319 betlar. 
