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Sinusregel

Das Sinusregel ist eine Aussage der Trigonometrie wer sagt das in a Dreieck das Verhältnis zwischen der Länge einer Seite und der Sinus des gegenüberliegenden Winkels für jeden der Winkel ist gleich dem doppelten Radius r des umschriebenen Kreises.

Die Regel wurde erstmals von dem mittelalterlichen persischen Mathematiker beschrieben Nasir al-Din al-Tusic.

Für ein Dreieck mit Seitenein, b und c, bzw. die entgegengesetzten Winkel α , β und γ gilt:

{displaystyle {frac {a}{sin alpha }}={frac {b}{sin eta}}={frac {c}{sin gamma }}=2r}

Die Sinusregel kann auch geschrieben werden als:

{displaystyle sin alpha :sin eta :sin gamma =a:b:c}

Verwenden Sie die Sinusregel:

wenn eine Seite und zwei Winkel gegeben sind, um die anderen Seiten und den Winkel zu finden,
wenn zwei Seiten und ein entgegengesetzter Winkel gegeben sind, um die anderen Winkel und die Seite oder . zu finden
um die Fläche des Dreiecks zu berechnen. Es ist gleich dem halben Produkt der Länge zweier Seiten multipliziert mit dem Sinus des eingeschlossenen Winkels.

Das Kosinusregel ist eine weitere Beziehung zwischen Elementen eines Dreiecks, die in Berechnungen für ein Dreieck verwendet werden kann.

Beweise

Der erste Teil der Sinusregel wird durch das erste Bild unten bewiesen:

{displaystyle sin alpha ={frac {h_{c}}{b}}}

{displaystyle sin eta ={frac {h_{c}}{a}}}

befreien von ha_c gibt ${displaystyle h_{c}=bcdot sin alpha }$ und ${displaystyle h_{c}=acdot sin eta }$ , gleichsetzen ha_c gibt ${displaystyle acdot sin eta =bcdot sin alpha}$ und Nacharbeiten gibt ${displaystyle {frac {a}{sin alpha}}={frac {b}{sin eta }}}$ .

Der Beweis für ${displaystyle {frac {a}{sin alpha }}={frac {c}{sin gamma }}}$ und ${displaystyle {frac {b}{sin eta}}={frac {c}{sin gamma }}}$ geht genauso.

Der zweite Teil der Sinusregel wird durch das zweite Bild bewiesen.

Unterschreiben mit ${Anzeigestil Dreieck ABC}$ das umschriebener Kreis, dort bestimmen Centerich und unterschreiben Sie die DurchmesserAMD. ${Displaystil-Dreieck ABD}$ ist dann nach Satz von Thales für Kreise ein rechtwinkliges Dreieck. ${Anzeigestil Winkel Gamma = Winkel Delta}$ , weil die Akkord ${Anzeigestil c}$ die gegenüberliegende Seite von ${Anzeigestil-Winkelgamma }$ im ${Anzeigestil Dreieck ABC}$ und das von ${Anzeigestil-Winkeldelta }$ im ${Displaystil-Dreieck ABD}$ ist.

{Anzeigestil c = sin delta cdot 2r}

, So

{displaystyle sin gamma = sin delta = {frac {c}{2r}}}

und

{displaystyle {frac {c}{sin gamma }}=2r}

geh den gleichen weg ${displaystyle {frac {a}{sin alpha}}=2r}$ und ${displaystyle {frac {b}{sin eta}}=2r}$ .

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