WikiDer > Spline-dalgıç

1, 2, 3, 4 va 5 buyurtmalarning ixcham qo'llab-quvvatlanadigan kardinal B-spline to'lqinlarini ko'rsatadigan animatsiya.

In matematik nazariya ning to'lqinlar, a spline to'lqinlari a yordamida yaratilgan to'lqin to'lqinidir spline funktsiyasi.^[1] Spline to'lqinlarining turli xil turlari mavjud. C.K. tomonidan kiritilgan interpolyatsion spline to'lqinlari. Chuy va J.Z. Vang ma'lum narsaga asoslangan spline interpolatsiya formula.^[2] Garchi bu to'lqinlar ortogonal, ular yo'q ixcham qo'llab-quvvatlaydi. Qandaydir ma'noda noyob bo'lgan to'lqinlar sinfi mavjud B-splinalar va ixcham tayanchlarga ega. Ushbu to'lqinlar ortogonal bo'lmasa ham, ularni juda mashhur qilgan ba'zi bir o'ziga xos xususiyatlarga ega.^[3] Terminologiya spline to'lqinlari ba'zan spline to'lqinlarining bu sinfidagi to'lqinlarga murojaat qilish uchun ishlatiladi. Ushbu maxsus to'lqinlar ham deyiladi B-spline to'lqinlari va kardinal B-spline to'lqinlari.^[4] Battle-Lemarie to'lqinlari ham spline funktsiyalari yordamida qurilgan to'lqinlardir.^[5]

Kardinal B-splinelar

Ruxsat bering n sobit bo'lgan salbiy bo'lmagan bo'lishi tamsayı. Ruxsat bering Cⁿ barchasini belgilang real qiymatga ega funktsiyalar to'plami bo'yicha aniqlangan haqiqiy raqamlar to'plamdagi har bir funktsiya ham, birinchi ham n hosilalar bor davomiy hamma joyda. A ikki cheksiz ketma-ketlik . . . x₋₂, x₋₁, x₀, x₁, x₂,. . . shu kabi x_r < x_r+1 Barcha uchun r va shunday x_r ± ± ga yaqinlashganda, r ± ± ga yaqinlashganda tugunlar to'plami aniqlanadi deyiladi. A spline tartib n tugun to'plami bilan {x_r} bu funktsiya S(x) ichida Cⁿ shunday qilib, har biri uchun r, ning cheklanishi S(x) intervalgacha [x_r, x_r+1) bilan mos keladi polinom maksimal darajadagi haqiqiy koeffitsientlar bilan n yilda x.

Agar ajralish bo'lsa x_r+1 - x_r, qayerda r har qanday tamsayı, tugunlar to'plamidagi ketma-ket tugunlar orasida doimiy, spline a deb nomlanadi kardinal spline. Butun sonlar to'plami Z = {. . ., -2, -1, 0, 1, 2,. . .} bu kardinal spline tugunlari to'plami uchun standart tanlovdir. Agar boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa, odatda tugunlar to'plami butun sonlar to'plami deb taxmin qilinadi.

Kardinal B-spline - bu kardinal splinening maxsus turi. Har qanday musbat son uchun m buyurtmaning kardinal B-spline m, bilan belgilanadi N_m(x), quyidagicha rekursiv tarzda aniqlanadi.

${ displaystyle N_ {1} (x) = { begin {case} 1 & 0 leq x <1 0 & { text {aks holda}} end {case}}}$

${ displaystyle N_ {m} (x) = int _ {0} ^ {1} N_ {m-1} (x-t) dt}$, uchun ${ displaystyle m> 1}$.

5-gacha bo'lgan barcha buyurtmalarning kardinal B-splinelari va ularning grafikalari uchun aniq ifodalar ushbu maqolada keyinroq berilgan.

Kardinal B-splinelarning xususiyatlari

Elementar xususiyatlar

1. The qo'llab-quvvatlash ning ${ displaystyle N_ {m} (x)}$ yopiq oraliq ${ displaystyle [0, m]}$.
2. Funktsiya ${ displaystyle N_ {m} (x)}$ manfiy emas, ya'ni ${ displaystyle N_ {m} (x)> 0}$ uchun ${ displaystyle 0$.
3. ${ displaystyle sum _ {k = - infty} ^ { infty} N_ {m} (x-k) = 1}$ Barcha uchun ${ displaystyle x}$.
4. Buyurtmalarning asosiy B-splines m va m-1 shaxs bilan bog'liq: ${ displaystyle N_ {m} (x) = { frac {x} {m-1}} N_ {m-1} (x) + { frac {mx} {m-1}} N_ {m-1 } (x-1)}$.
5. Funktsiya ${ displaystyle N_ {m} (x)}$ nosimmetrikdir ${ displaystyle x = { frac {m} {2}}}$, anavi, ${ displaystyle N_ {m} chap ({ frac {m} {2}} - x o'ng) = N_ {m} chap ({ frac {m} {2}} + x right)}$.
6. Ning hosilasi ${ displaystyle N_ {m} (x)}$ tomonidan berilgan ${ displaystyle N_ {m} ^ { prime} (x) = N_ {m-1} (x) -N_ {m-1} (x-1)}$.
7. ${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} N_ {m} (x) , dx = 1}$

Ikki o'lchovli munosabat

Buyurtmaning kardinal B-spline m quyidagi ikki o'lchovli munosabatni qondiradi:

${ displaystyle N_ {m} (x) = sum _ {k = 0} ^ {m} 2 ^ {- m + 1} {m ni tanlang k} N_ {m} (2x-k)}$.

Riesz mulki

Buyurtmaning kardinal B-spline m Riesz xususiyati sifatida tanilgan quyidagi xususiyatni qondiradi: Ikkita ijobiy haqiqiy son mavjud ${ displaystyle A}$ va ${ displaystyle B}$ Shunday qilib har qanday kvadrat uchun yig'iladigan ikki tomonlama ketma-ketlik ${ displaystyle {c_ {k} } _ {k = - infty} ^ { infty}}$ va har qanday kishi uchun x,

${ displaystyle A left Vert {c_ {k} } right Vert ^ {2} leq left Vert sum _ {k = - infty} ^ { infty} c_ {k} N_ {m} (xk) right Vert ^ {2} leq B left Vert {c_ {k} } right Vert ^ {2}}$

qayerda ${ displaystyle Vert cdot Vert}$ $ Delta $ normasi²- bo'shliq.

Kardinal B-kichik buyurtmalar

Kardinal B-splinelar rekursiv ravishda 1-tartibli B-spline-dan boshlab aniqlanadi ${ displaystyle N_ {1} (x)}$, bu [0, 1) oralig'ida 1 qiymatini va boshqa joylarda 0 qiymatini oladi. Kattaroq kardinal B-splinelar uchun aniq ifodalarni olish uchun kompyuter algebra tizimlaridan foydalanish kerak bo'lishi mumkin. 6 gacha bo'lgan barcha buyurtmalarning kardinal B-splinelari uchun aniq ifodalar quyida keltirilgan. Shuningdek, 4 ga qadar bo'lgan buyurtmalarning kardinal B-spline-lari grafikalari namoyish etiladi. Rasmlarda tegishli ikki o'lchovli munosabatlarga hissa qo'shadigan atamalarning grafikalari ham ko'rsatilgan. Har bir rasmdagi ikkita nuqta B-spline-ni qo'llab-quvvatlovchi intervalning ekstremalligini bildiradi.

Doimiy B-spline

1-tartibli B-spline, ya'ni ${ displaystyle N_ {1} (x)}$, doimiy B-spline. U tomonidan belgilanadi

${ displaystyle N_ {1} (x) = { begin {case} 1 & 0 leq x <1 0 & { text {aks holda}} end {case}}}$

Ushbu B-spline uchun ikki o'lchovli munosabat

${ displaystyle N_ {1} (x) = N_ {1} (2x) + N_ {1} (2x-1)}$

Doimiy B-spline ${ displaystyle N_ {1} (x)}$

Lineer B-spline

2-tartibli B-spline, ya'ni ${ displaystyle N_ {2} (x)}$, chiziqli B-spline. Bu tomonidan berilgan

${ displaystyle N_ {2} (x) = { begin {case} x & 0 leq x <1 - x + 2 & 1 leq x <2 0 & { text {aks holda}} end {case}} }$

Ushbu to'lqin to'lqinining ikki o'lchovli munosabati quyidagicha

${ displaystyle N_ {2} (x) = { frac {1} {2}} N_ {2} (2x) + N_ {2} (2x-1) + { frac {1} {2}} N_ {2} (2x-2)}$

Lineer B-spline ${ displaystyle N_ {2} (x)}$

Kvadratik B-spline

3-tartibli B-spline, ya'ni ${ displaystyle N_ {3} (x)}$, kvadratik B-spline. Bu tomonidan berilgan

${ displaystyle N_ {3} (x) = { begin {case} { frac {1} {2}} x ^ {2} & 0 leq x <1 - x ^ {2} + 3x- { frac {3} {2}} & 1 leq x <2 { frac {1} {2}} x ^ {2} -3x + { frac {9} {2}} & 2 leq x <3 0 & { text {aks holda}} end {holatlar}}}$

Ushbu to'lqin to'lqinining ikki o'lchovli munosabati quyidagicha

${ displaystyle N_ {3} (x) = { frac {1} {4}} N_ {3} (2x) + { frac {3} {4}} N_ {3} (2x-1) + { frac {3} {4}} N_ {3} (2x-2) + { frac {1} {4}} N_ {3} (2x-3)}$

Kvadratik B-spline ${ displaystyle N_ {3} (x)}$

Kubik B-spline

Kubik B-spline 4-tartibli kardinal B-spline bo'lib, u bilan belgilanadi ${ displaystyle N_ {4} (x)}$. U quyidagi iboralar bilan berilgan:

${ displaystyle N_ {4} (x) = { begin {case} { frac {1} {6}} x ^ {3} & 0 leq x <1 - { frac {1} {2} } x ^ {3} + 2x ^ {2} -2x + { frac {2} {3}} & 1 leq x <2 { frac {1} {2}} x ^ {3} -4x ^ {2} + 10x - { frac {22} {3}} & 2 leq x <3 - { frac {1} {6}} x ^ {3} + 2x ^ {2} -8x + { frac {32} {3}} & 3 leq x <4 0 & { text {aks holda}} end {case}}}$

Kubik B-spline uchun ikki o'lchovli munosabat

${ displaystyle N_ {4} (x) = { frac {1} {8}} N_ {4} (2x) + { frac {1} {2}} N_ {4} (2x-1) + { frac {3} {4}} N_ {4} (2x-2) + { frac {1} {2}} N_ {4} (2x-3) + { frac {1} {8}} N_ {4} (2x-4)}$

Kubik B-spline ${ displaystyle N_ {4} (x)}$

Izoh: Uchun afsona sariq grafik bo'lishi kerak ${ displaystyle { frac {1} {4}} N_ {4} (2x-4)}$

Ikki kvadratik B-spline

Ikki kvadratik B-spline 5 tartibli kardinal B-spline bilan belgilanadi ${ displaystyle N_ {5} (x)}$. Bu tomonidan berilgan

${ displaystyle N_ {5} (x) = { begin {case} { frac {1} {24}} x ^ {4} & 0 leq x <1 - { frac {1} {6} } x ^ {4} + { frac {5} {6}} x ^ {3} - { frac {5} {4}} x ^ {2} + { frac {5} {6}} x - { frac {5} {24}} & 1 leq x <2 { frac {1} {4}} x ^ {4} - { frac {5} {2}} x ^ {3} + { frac {35} {4}} x ^ {2} - { frac {25} {2}} x + { frac {155} {24}} & 2 leq x <3 - { frac {1} {6}} x ^ {4} + { frac {5} {2}} x ^ {3} - { frac {55} {4}} x ^ {2} + { frac {65 } {2}} x - { frac {655} {24}} va 3 leq x <4 { frac {1} {24}} x ^ {4} - { frac {5} {6} } x ^ {3} + { frac {25} {4}} x ^ {2} - { frac {125} {6}} x + { frac {625} {24}} va 4 leq x <5 0 & { text {aks holda}} end {holatlar}}}$

Ikki o'lchovli munosabat

${ displaystyle N_ {5} (x) = { frac {1} {16}} N_ {5} (2x) + { frac {5} {16}} N_ {5} (2x-1) + { frac {10} {16}} N_ {5} (2x-2) + { frac {10} {16}} N_ {5} (2x-3) + { frac {5} {16}} N_ {5} (2x-4) + { frac {1} {16}} N_ {5} (2x-5)}$

Kvintik B-spline

Kvintik B-spline - bu 6-tartibli kardinal B-spline ${ displaystyle N_ {6} (x)}$. Bu tomonidan berilgan

${ displaystyle N_ {6} (x) = { begin {case} { frac {1} {120}} x ^ {5} & 0 leq x <1 - { frac {1} {24} } x ^ {5} + { frac {1} {4}} x ^ {4} - { frac {1} {2}} x ^ {3} + { frac {1} {2}} x ^ {2} - { frac {1} {4}} x + { frac {1} {20}} & 1 leq x <2 { frac {1} {12}} x ^ {5} - x ^ {4} + { frac {9} {2}} x ^ {3} - { frac {19} {2}} x ^ {2} + { frac {39} {4}} x- { frac {79} {20}} & 2 leq x <3 - { frac {1} {12}} x ^ {5} + { frac {3} {2}} x ^ {4} - { frac {21} {2}} x ^ {3} + { frac {71} {2}} x ^ {2} - { frac {231} {4}} x + { frac {731} {20}} & 3 leq x <4 { frac {1} {24}} x ^ {5} -x ^ {4} + { frac {19} {2}} x ^ {3} - { frac {89} {2}} x ^ {2} + { frac {409} {4}} x - { frac {1829} {20}} & 4 leq x <5 - { frac {1} {120}} x ^ {5} + { frac {1} {4}} x ^ {4} -3x ^ {3} + 18x ^ {2} -54x + { frac {324} {5 }} & 5 leq x <6 0 & { text {aks holda}} end {holatlar}}}$

Kardinal B-splinelar tomonidan yaratilgan ko'p aniqlikdagi tahlil

Kardinal B-spline ${ displaystyle N_ {m} (x)}$ tartib m hosil qiladi a ko'p aniqlikdagi tahlil. Aslida, ushbu funktsiyalarning yuqorida keltirilgan elementar xususiyatlaridan kelib chiqadigan bo'lsak, funktsiya ${ displaystyle N_ {m} (x)}$ bu kvadrat integral va bo'shliqning elementidir ${ displaystyle L ^ {2} (R)}$ kvadrat integral funktsiyalar. Ko'p piksellar sonini tahlil qilish uchun quyidagi yozuvlardan foydalanilgan.

• Har qanday butun sonlar uchun ${ displaystyle k, j}$, funktsiyasini aniqlang ${ displaystyle N_ {m, kj} (x) = N_ {m} (2 ^ {k} x-j)}$.
• Har bir butun son uchun ${ displaystyle k}$, pastki bo'shliqni aniqlang ${ displaystyle V_ {k}}$ ning ${ displaystyle L ^ {2} (R)}$ sifatida yopilish ning chiziqli oraliq to'plamning ${ displaystyle {N_ {m, kj} (x): j = cdots, -2, -1,0,1,2, cdots }}$.

Ko'p aniqlikdagi tahlilni quyidagilar belgilaydi:

1. Bo'shliqlar ${ displaystyle V_ {k}}$ mulkni qondirish: ${ displaystyle cdots subset V _ {- 2} subset V _ {- 1} subset V_ {0} subset V_ {1} subset V_ {2} subset cdots}$.
2. Yopish ${ displaystyle L ^ {2} (R)}$ barcha pastki bo'shliqlarning birlashishi ${ displaystyle V_ {k}}$ butun makon ${ displaystyle L ^ {2} (R)}$.
3. Barcha pastki bo'shliqlarning kesishishi ${ displaystyle V_ {k}}$ faqat nol funktsiyani o'z ichiga olgan singleton to'plamidir.
4. Har bir butun son uchun ${ displaystyle k}$ to'plam ${ displaystyle {N_ {m, kj} (x): j = cdots, -2, -1,0,1,2, cdots }}$ uchun shartsiz asosdir ${ displaystyle V_ {k}}$. (Ketma-ketlik {x_n} Banach makonida X makon uchun shartsiz asosdir X agar ketma-ketlikning har bir o'zgarishi bo'lsa {x_n} shuningdek, xuddi shu makon uchun asosdir X.^[6])

Kardinal B-splinelardan to'lqinlar

Ruxsat bering m sobit musbat tamsayı bo'lishi va ${ displaystyle N_ {m} (x)}$ buyurtmaning kardinal B-spline bo'lishi m. Funktsiya ${ displaystyle psi _ {m} (x)}$ yilda ${ displaystyle L ^ {2} (R)}$ kardinal B-spline funktsiyasiga nisbatan asosiy to'lqin to'lqinidir ${ displaystyle N_ {m} (x)}$ agar yopilish bo'lsa ${ displaystyle L ^ {2} (R)}$ to'plamning chiziqli oralig'ining ${ displaystyle { psi _ {m} (x-j): j = cdots, -2, -1,0,1,2, cdots }}$ (bu yopilish bilan belgilanadi ${ displaystyle W_ {0}}$) bo'ladi ortogonal komplement ning ${ displaystyle V_ {0}}$ yilda ${ displaystyle V_ {1}}$. Pastki yozuv m yilda ${ displaystyle psi _ {m} (x)}$ shuni ko'rsatish uchun ishlatiladi ${ displaystyle psi _ {m} (x)}$ tartibning kardinal B-spline-ga nisbatan asosiy to'lqin to'lqini m. Noyob asosiy to'lqin to'lqinlari mavjud emas ${ displaystyle psi _ {m} (x)}$ kardinal B-splinega nisbatan ${ displaystyle N_ {m} (x)}$. Ulardan ba'zilari keyingi bo'limlarda muhokama qilinadi.

Asosiy interpolyatsion splinlar yordamida kardinal B-splinelarga nisbatan to'lqinlar

Asosiy interpolatsion spline

Ta'riflar

Ruxsat bering m sobit musbat tamsayı bo'lsin va bo'lsin ${ displaystyle N_ {m} (x)}$ buyurtmaning kardinal B-spline bo'lishi m. Ketma-ketlik berilgan ${ displaystyle {f_ {j}: j = cdots, -2, -1,0,1,2, cdots }}$ haqiqiy sonlar, ketma-ketlikni topish muammosi ${ displaystyle {c_ {m, k}: k = cdots, -2, -1,0,1,2, cdots }}$ haqiqiy sonlarning soni

${ displaystyle sum _ {k = - infty} ^ { infty} c_ {m, k} N_ {m} chap (j + { frac {m} {2}} - k right) = f_ { j}}$ Barcha uchun ${ displaystyle j}$,

nomi bilan tanilgan kardinal spline interpolatsiyasi muammosi. Ushbu muammoning maxsus holati, bu erda ketma-ketlik ${ displaystyle {f_ {j} }}$ bu ketma-ketlik ${ displaystyle delta _ {0j}}$, qayerda ${ displaystyle delta _ {ij}}$ Kronecker delta funktsiyasidir ${ displaystyle delta _ {ij}}$ tomonidan belgilanadi

${ displaystyle delta _ {ij} = { begin {case} 1, & { text {if}} i = j 0, & { text {if}} i neq j end {case} }}$,

bo'ladi asosiy kardinal spline interpolatsiyasi muammosi. Muammoning echimi quyidagilarni beradi asosiy kardinal interpolatsion spline tartib m. Ushbu spline bilan belgilanadi ${ displaystyle L_ {m} (x)}$ va tomonidan beriladi

${ displaystyle L_ {m} (x) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} c_ {m, k} N_ {m} chap (x + { frac {m} {2}} -k o'ng)}$

bu erda ketma-ketlik ${ displaystyle {c_ {m, k} }}$ endi quyidagi tenglamalar tizimining echimi:

${ displaystyle sum _ {k = - infty} ^ { infty} c_ {m, k} N_ {m} chap (j + { frac {m} {2}} - k right) = delta _ {0j}}$

Asosiy kardinal interpolator splini topish tartibi

Asosiy kardinal interpolatsion spline ${ displaystyle L_ {m} (x)}$ yordamida aniqlash mumkin Z o'zgartiradi. Quyidagi yozuvlardan foydalanish

${ displaystyle A (z) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} delta _ {k0} z ^ {k} = 1,}$

${ displaystyle B_ {m} (z) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} N_ {m} chap (k + { frac {m} {2}} o'ng) z ^ { k},}$

${ displaystyle C_ {m} (z) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} c_ {m, k} z ^ {k},}$

ketma-ketlikni belgilovchi tenglamalardan ko'rish mumkin ${ displaystyle c_ {m, k}}$ bu

${ displaystyle B_ {m} (z) C_ {m} (z) = A (z)}$

biz undan olamiz

${ displaystyle C_ {m} (z) = { frac {1} {B_ {m} (z)}}}$.

Buning uchun aniq ifodalarni olish uchun foydalanish mumkin ${ displaystyle c_ {m, k}}$.

Misol

Aniq misol sifatida, ish ${ displaystyle L_ {4} (x)}$ tekshirilishi mumkin. Ning ta'rifi ${ displaystyle B_ {m} (z)}$ shuni anglatadiki

${ displaystyle B_ {4} (x) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} N_ {4} (2 + k) z ^ {k}}$

Ning yagona nol qiymatlari ${ displaystyle N_ {4} (k + 2)}$ tomonidan berilgan ${ displaystyle k = -1,0,1}$ va tegishli qiymatlar

${ displaystyle N_ {4} (1) = { frac {1} {6}}, N_ {4} (2) = { frac {4} {6}}, N_ {4} (3) = { frac {1} {6}}.}$

Shunday qilib ${ displaystyle B_ {4} (z)}$ ga kamaytiradi

${ displaystyle B_ {4} (z) = { frac {1} {6}} z ^ {- 1} + { frac {4} {6}} z ^ {0} + { frac {1} {6}} z ^ {1} = { frac {1 + 4z + z ^ {2}} {6z}}}$

Bu uchun quyidagi ibora hosil bo'ladi ${ displaystyle C_ {4} (z)}$.

${ displaystyle C_ {4} (z) = { frac {6z} {1 + 4z + z ^ {2}}}}$

Ushbu ifodani qismli kasrlarga ajratish va har bir atamani kuchlari bo'yicha kengaytirish z halqali mintaqada ${ displaystyle c_ {4, k}}$ hisoblash mumkin. Ushbu qiymatlar keyinchalik ifoda bilan almashtiriladi ${ displaystyle L_ {4} (x)}$ hosil bermoq

${ displaystyle L_ {4} (x) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { sqrt {3}} (2 - { sqrt {3}) }) ^ {| k |} N_ {4} (x + 2-k)}$

Wavelet fundamental interpolator spline yordamida

Ijobiy tamsayı uchun m, funktsiyasi ${ displaystyle psi _ {m} (x)}$ tomonidan belgilanadi

${ displaystyle psi _ {I, m} (x) = { frac {d ^ {m}} {dx ^ {m}}} L_ {2m} (2x-1)}$

tartibning kardinal B-spline-ga nisbatan asosiy to'lqin to'lqini ${ displaystyle N_ {m} (x)}$. Pastki yozuv Men yilda ${ displaystyle psi _ {I, m}}$ uning interpolyatsion spline formulasiga asoslanganligini ko'rsatish uchun ishlatiladi. Ushbu asosiy to'lqin to'lqinlari ixcham qo'llab-quvvatlanmaydi.

Misol

Interpolator spline yordamida 2-tartibli to'lqin to'lqinlari berilgan

${ displaystyle psi _ {I, 2} (x) = { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} L_ {4} (2x-1)}$

Uchun ifoda ${ displaystyle L_ {4} (x)}$ endi quyidagi formulani beradi:

${ displaystyle psi _ {I, 2} (x) = { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} sum _ {k = - infty} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { sqrt {3}} (2 - { sqrt {3}}) ^ {| k |} N_ {4} (2x + 1-k)}$

Endi, ning hosilasi uchun ifodani ishlating ${ displaystyle N_ {m} (x)}$ xususida ${ displaystyle N_ {m-1} (x)}$ funktsiya ${ displaystyle psi _ {2} (x)}$ quyidagi shaklda joylashtirilishi mumkin:

${ displaystyle psi _ {I, 2} (x) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} (- 1) ^ {k} 4 { sqrt {3}} (2- { sqrt {3}}) ^ {| k |} { Katta (} (N_ {2} (2x + k-1) -2N_ {2} (2x + k-2) + N_ {2} (2x +) k-3) { Katta)}}$

Quyidagi qismli chiziqli funktsiya - ga yaqinlashish ${ displaystyle psi _ {2} (x)}$ ga mos keladigan atamalar yig'indisini olish yo'li bilan olinadi ${ displaystyle k = -3, ldots, 3}$ uchun cheksiz qator ifodasida ${ displaystyle psi _ {2} (x)}$.

${ displaystyle psi _ {I, 2} (x) approx { begin {case} 0.07142668x + 0.17856670 & -2.5$

Ikki o'lchovli munosabat

Wavelet funktsiyasi uchun ikki o'lchovli munosabat ${ displaystyle psi _ {m} (x)}$ tomonidan berilgan

${ displaystyle psi _ {I, m} (x) = sum _ {- infty} ^ { infty} q_ {n} N_ {m} (2x-n)}$ qayerda ${ displaystyle q_ {n} = sum _ {j = 0} ^ {m} (- 1) ^ {j} {m j} c_ {m + n-j-1} ni tanlang.}$

Yilni qo'llab-quvvatlaydigan B-spline to'lqinlari

Interpolyatsion to'lqinlar yordamida hosil bo'lgan spline to'lqinlari ixcham qo'llab-quvvatlanmaydi. To'liq qo'llab-quvvatlanadigan B-spline to'lqinlari Charlz K. Chuy va Tszian-zhong Vang tomonidan topilgan va 1991 yilda nashr etilgan.^[3][7] Kardinal B-splinega nisbatan ixcham qo'llab-quvvatlanadigan B-spline to'lqin to'lqini ${ displaystyle N_ {m} (x)}$ tartib m Chuy va Vong tomonidan kashf etilgan va ular bilan belgilanadi ${ displaystyle psi _ {C, m} (x)}$, intervalni qo'llab-quvvatlaydi ${ displaystyle [0,2m-1]}$. Ushbu to'lqinlar quyida keltirilgan ma'lum ma'noda noyobdir.

Ta'rif

Buyurtmaning ixcham qo'llab-quvvatlanadigan B-spline to'lqinlari m tomonidan berilgan

${ displaystyle psi _ {C, m} (x) = { frac {1} {2 ^ {2m-1}}} sum _ {j = 0} ^ {2m-2} (- 1) ^ {j} N_ {2m} (j + 1) { frac {d ^ {m}} {dx ^ {m}}} N_ {2m} (2x-j)}$

Bu m- tartibli spline. Maxsus holat sifatida ixcham qo'llab-quvvatlanadigan 1-tartibli B-spline to'lqin to'lqini

${ displaystyle psi _ {C, 1} (x) = { frac {1} {2}} N_ {2} (1) { frac {d} {dx}} N_ {2} (2x) = { begin {case} 1 & 0 leq x <{ frac {1} {2}} - 1 & { frac {1} {2}} leq x <1 0 & { text {aks holda}} end {case}}}$

bu taniqli Haar to'lqini.

Xususiyatlari

1. Qo'llab-quvvatlash ${ displaystyle psi _ {C, m} (x)}$ yopiq oraliq ${ displaystyle [0,2m-1]}$.
2. Vayletlet ${ displaystyle psi _ {C, m} (x)}$ quyidagi ma'noda minimal qo'llab-quvvatlanadigan noyob to'lqinli to'lqin hisoblanadi: Agar $W_ {0}} da { displaystyle eta (x)$ hosil qiladi ${ displaystyle W_ {0}}$ va qo'llab-quvvatlashdan oshmasligi kerak ${ displaystyle 2m-1}$ keyin uzunligi ${ displaystyle eta (x) = c_ {0} psi _ {C, m} (x-n_ {0})}$ nolga teng bo'lmagan doimiy uchun ${ displaystyle c_ {0}}$ va butun son uchun ${ displaystyle n_ {0}}$.^[8]
3. ${ displaystyle psi _ {C, m} (x)}$ juftlik uchun nosimmetrikdir m va toq uchun antisimetrik m.

Ikki o'lchovli munosabat

${ displaystyle psi _ {m} (x)}$ ikki o'lchovli munosabatni qondiradi:

${ displaystyle psi _ {C, m} (x) = sum _ {n = 0} ^ {3m-2} q_ {n} N_ {m} (2x-n)}$ qayerda ${ displaystyle q_ {n} = { frac {(-1) ^ {n}} {2 ^ {m-1}}} sum _ {j = 0} ^ {m} {m j} N_ ni tanlang {2m} (n-j + 1)}$.

Parchalanish munosabati

Yilni qo'llab-quvvatlanadigan B-spline to'lqin to'lqinining parchalanish munosabati quyidagi shaklga ega:

${ displaystyle N_ {m} (2x-l) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} chap [a_ {m, l-2k} N_ {m} (xk) + b_ {m , l-2k} psi _ {C, m} (xk) right]}$

bu erda koeffitsientlar ${ displaystyle a_ {m, j}}$ va ${ displaystyle b_ {m, j}}$ tomonidan berilgan

${ displaystyle a_ {m, j} = - { frac {(-1) ^ {j}} {2}} sum _ {l = - infty} ^ { infty} q _ {- j + 2m- 2l + 1} c_ {2m, l},}$

${ displaystyle b_ {m, j} = { frac {(-1) ^ {j}} {2}} sum _ {l = - infty} ^ { infty} p _ {- j + 2m-2l +1} c_ {2m, l}.}$

Bu erda ketma-ketlik ${ displaystyle c_ {2m, l}}$ bu asosiy interpolatotiya kardinal spline dalgalanma koeffitsientlarining ketma-ketligi m.

Kichik buyurtmalarning ixcham qo'llab-quvvatlanadigan B-spline to'lqinlari

1-buyurtmaning ixcham qo'llab-quvvatlanadigan B-spline to'lqinlari

1-tartibli ixcham qo'llab-quvvatlanadigan B-spline to'lqinlari uchun ikki o'lchovli munosabatlar

${ displaystyle psi _ {C, 1} (x) = N_ {1} (2x) -N_ {1} (2x-1)}$

1-tartibli ixcham qo'llab-quvvatlanadigan B-spline to'lqinlari uchun yopiq shakl ifodasi

${ displaystyle psi _ {C, 1} (x) = { begin {case} 1 & 0 leq x <{ frac {1} {2}} - 1 & { frac {1} {2}} leq x <1 0 & { text {aks holda}} end {case}}}$

2-buyurtmaning ixcham qo'llab-quvvatlanadigan B-spline to'lqinlari

2-tartibli ixcham qo'llab-quvvatlanadigan B-spline to'lqinlari uchun ikki o'lchovli munosabat

${ displaystyle psi _ {C, 2} (x) = { frac {1} {12}} chap (N_ {2} (2x) -6N_ {2} (2x-1) + 10N_ {2}) (2x-2) -6N_ {2} (2x-3) + N_ {2} (2x-4) o'ng)}$

2-tartibli ixcham qo'llab-quvvatlanadigan B-spline to'lqinlari uchun yopiq shakl ifodasi

${ displaystyle psi _ {C, 2} (x) = { begin {case} { frac {1} {6}} x & 0 leq x <{ frac {1} {2}} - { frac {7} {6}} x + { frac {2} {3}} & { frac {1} {2}} leq x <1 { frac {8} {3}} x- { frac {19} {6}} & 1 leq x <{ frac {3} {2}} - { frac {8} {3}} x + { frac {29} {6}} & { frac {3} {2}} leq x <2 { frac {7} {6}} x - { frac {17} {6}} & 2 leq x <{ frac {5} {2}} - { frac {1} {6}} x + { frac {1} {2}} va { frac {5} {2}} leq x <3 0 & { text {aks holda}} end {holatlar}}}$

3-buyurtmaning ixcham qo'llab-quvvatlanadigan B-spline to'lqinlari

3-tartibli ixcham qo'llab-quvvatlanadigan B-spline to'lqinlari uchun ikki o'lchovli munosabat

${ displaystyle psi _ {C, 3} (x) = { frac {1} {480}} { Big [} (N_ {3} (2x) -29N_ {3} (2x-1) + 147N_) {3} (2x-2) -303N_ {3} (2x-3) +}$

${ displaystyle 303N_ {3} (2x-4) -147N_ {3} (2x-5) + 29N_ {3} (2x-6) -N_ {3} (2x-7) { Big]}}$

3-tartibli ixcham qo'llab-quvvatlanadigan B-spline to'lqinlari uchun yopiq shakl ifodasi

${ displaystyle psi _ {C, 3} (x) = { begin {case} { frac {1} {240}} x ^ {2} & 0 leq x <{ frac {1} {2} } - { frac {31} {240}} x ^ {2} + { frac {2} {15}} x - { frac {1} {30}} va { frac {1} { 2}} leq x <1 { frac {103} {120}} x ^ {2} - { frac {221} {120}} x + { frac {229} {240}} va 1 leq x <{ frac {3} {2}} - { frac {313} {120}} x ^ {2} + { frac {1027} {120}} x - { frac {1643} { 240}} & { frac {3} {2}} leq x <2 { frac {22} {5}} x ^ {2} - { frac {779} {40}} x + { frac {339} {16}} & 2 leq x <{ frac {5} {2}} - { frac {22} {5}} x ^ {2} + { frac {981} {40 }} x - { frac {541} {16}} va { frac {5} {2}} leq x <3 { frac {313} {120}} x ^ {2} - { frac {701} {40}} x + { frac {2341} {80}} & 3 leq x <{ frac {7} {2}} - { frac {103} {120}} x ^ { 2} + { frac {809} {120}} x - { frac {3169} {240}} & { frac {7} {2}} leq x <4 { frac {31} { 240}} x ^ {2} - { frac {139} {120}} x + { frac {623} {240}} va 4 leq x <{ frac {9} {2}} - { frac {1} {240}} x ^ {2} + { frac {1} {24}} x - { frac {5} {48}} & { frac {9} {2}} leq x <5 0 & { text {aks holda}} end {case}}}$

4-buyurtmaning ixcham qo'llab-quvvatlanadigan B-spline to'lqinlari

4-tartibli ixcham qo'llab-quvvatlanadigan B-spline to'lqinlari uchun ikki o'lchovli munosabat quyidagicha

${ displaystyle psi _ {C, 4} (x) = { frac {1} {40320}} { Big [} N_ {4} (2x) -124N_ {4} (2x-1) + 1677N_ { 4} (2x-2) -7904N_ {4} (2x-3) + 18482N_ {4} (2x-4) -}$

${ displaystyle 24264N_ {4} (2x-5) + 18482N_ {4} (2x-6) -7904N_ {4} (2x-7) + 1677N_ {4} (2x-8) -124N_ {4} (2x-) 9) + N_ {4} (2x-10) { Big]}}$

4-tartibli ixcham qo'llab-quvvatlanadigan B-spline to'lqinlari uchun yopiq shakl ifodasi

${ displaystyle psi _ {C, 4} (x) = { begin {case} { frac {1} {30240}} x ^ {3} & 0 leq x <{ frac {1} {2} } - { frac {127} {30240}} x ^ {3} + { frac {2} {315}} x ^ {2} - { frac {1} {315}} x + { frac {1} {1890}} va { frac {1} {2}} leq x <1 { frac {19} {280}} x ^ {3} - { frac {47} {224} } x ^ {2} + { frac {2147} {10080}} x - { frac {103} {1440}} va 1 leq x <{ frac {3} {2}} - { frac {1109} {2520}} x ^ {3} + { frac {465} {224}} x ^ {2} - { frac {32413} {10080}} x + { frac {16559} {10080}} & { frac {3} {2}} leq x <2 { frac {5261} {3360}} x ^ {3} - { frac {33463} {3360}} x ^ {2} + { frac {42043} {2016}} x - { frac {145193} {10080}} & 2 leq x <{ frac {5} {2}} - { frac {35033} {10080}} x ^ {3} + { frac {93577} {3360}} x ^ {2} - { frac {148517} {2016}} x + { frac {216269} {3360}} va { frac {5} {2}} leq x <3 { frac {4832} {945}} x ^ {3} - { frac {27691} {560}} x ^ {2} + { frac {113923} { 720}} x - { frac {28145} {168}} va 3 leq x <{ frac {7} {2}} - { frac {4832} {945}} x ^ {3} + { frac {58393} {1008}} x ^ {2} - { frac {52223} {240}} x + { frac {2048227} {7560}} & { frac {7} {2}} leq x <4 { frac {35033} {10080}} x ^ {3} - { frac {75827} {1680}} x ^ {2} + { frac {981101} { 5040}} x - { frac {234149} {840}} va 4 leq x <{ frac {9} {2}} - { frac {5261} {3360}} x ^ {3} + { frac {38509} {1680}} x ^ {2} - { frac {112487} {1008}} x + { frac {30347} {168}} & { frac {9} {2}} leq x <5 { frac {1109} {2520}} x ^ {3} - { frac {24077} {3360}} x ^ {2} + { frac {78311} {2016}} x - { frac {141311} {2016}} & 5 leq x <{ frac {11} {2}} - { frac {19} {280}} x ^ {3} + { frac {1361} {1120 }} x ^ {2} - { frac {14617} {2016}} x + { frac {4151} {288}} & { frac {11} {2}} leq x <6 { frac {127} {30240}} x ^ {3} - { frac {55} {672}} x ^ {2} + { frac {5359} {10080}} x - { frac {11603} {10080} } Va 6 leq x <{ frac {13} {2}} - { frac {1} {30240}} x ^ {3} + { frac {1} {1440}} x ^ {2} - { frac {7} {1440}} x + { frac {49} {4320}} & { frac {13} {2}} leq x <7 0 & { text {aks holda}}} end {holatlar}}}$

5-buyurtmaning ixcham qo'llab-quvvatlanadigan B-spline to'lqinlari

5-tartibli ixcham qo'llab-quvvatlanadigan B-spline to'lqinlari uchun ikki o'lchovli munosabat quyidagicha

${ displaystyle psi _ {C, 5} (x) = { frac {1} {5806080}} { Big [} N_ {5} (2x) -507N_ {5} (2x-1) + 17128N_ { 5} (2x-2) -166304N_ {5} (2x-3) + 748465N_ {5} (2x-4)}$

${ displaystyle -1900115N_ {5} (2x-5) + 2973560N_ {5} (2x-6) -2973560N_ {5} (2x-7) + 1900115N_ {5} (2x-8)}$

${ displaystyle -748465N_ {5} (2x-9) + 166304N_ {5} (2x-10) -17128N_ {5} (2x-11) + 507N_ {5} (2x-12) -N_ {5} (2x) -13) { Big]}}$

5-tartibli ixcham qo'llab-quvvatlanadigan B-spline to'lqinlari uchun yopiq shakl ifodasi

${ displaystyle psi _ {C, 5} (x) = { begin {case} { frac {1} {8709120}} x ^ {4} & 0 leq x <{ frac {1} {2} } - { frac {73} {1244160}} x ^ {4} + { frac {1} {8505}} x ^ {3} - { frac {1} {11340}} x ^ {2 } + { frac {1} {34020}} x - { frac {1} {272160}} va { frac {1} {2}} leq x <1 { frac {9581} {4354560 }} x ^ {4} - { frac {19417} {2177280}} x ^ {3} + { frac {1303} {96768}} x ^ {2} - { frac {19609} {2177280}} x + { frac {6547} {2903040}} & 1 leq x <{ frac {3} {2}} - { frac {118931} {4354560}} x ^ {4} + { frac {366119 } {2177280}} x ^ {3} - { frac {186253} {483840}} x ^ {2} + { frac {121121} {311040}} x - { frac {427181} {2903040}} va { frac {3} {2}} leq x <2 { frac {759239} {4354560}} x ^ {4} - { frac {3146561} {2177280}} x ^ {3} + { frac {6466601} {1451520}} x ^ {2} - { frac {13202873} {2177280}} x + { frac {26819897} {8709120}} & 2 leq x <{ frac {5} {2} } - { frac {2980409} {4354560}} x ^ {4} + { frac {5183893} {725760}} x ^ {3} - { frac {13426333} {483840}} x ^ {2 } + { frac {426589} {8960}} x - { frac {12635243} {414720}} & { frac {5} {2}} leq x <3 { frac {7873577} {4354560 }} x ^ {4} - { frac {16524079} {725760}} x ^ {3} + { frac {7385369} {69120}} x ^ { 2} - { frac {17868671} {80640}} x + { frac {497668543} {290304}} & 3 leq x <{ frac {7} {2}} - { frac {14714327} {4354560 }} x ^ {4} + { frac {108543091} {2177280}} x ^ {3} - { frac {56901557} {207360}} x ^ {2} + { frac {1454458651} {2177280}} x - { frac {5286189059} {8709120}} & { frac {7} {2}} leq x <4 { frac {15619} {3402}} x ^ {4} - { frac { 33822017} {435456}} x ^ {3} + { frac {15828929} {32256}} x ^ {2} - { frac {597598433} {435456}} x + { frac {277413649} {193536}} va 4 leq x <{ frac {9} {2}} - { frac {15619} {3402}} x ^ {4} + { frac {38150335} {435456}} x ^ {3} - { frac {20157247} {32256}} x ^ {2} + { frac {859841695} {435456}} x - { frac {64472345} {27648}} & { frac {9} {2}} leq x <5 { frac {14714327} {4354560}} x ^ {4} - { frac {4466137} {62208}} x ^ {3} + { frac {165651247} {290304}} x ^ { 2} - { frac {875490655} {435456}} x + { frac {4614904015} {1741824}} & 5 leq x <{ frac {11} {2}} - { frac {7873577} {4354560 }} x ^ {4} + { frac {30717383} {725760}} x ^ {3} - { frac {179437319} {483840}} x ^ {2} + { frac {16606729} {11520}} x - { frac {869722273} {414720}} & { frac {11} {2}} leq x <6 { frac {2980409} {4354560}} x ^ {4} - { frac {12698561} {725760}} x ^ {3} + { frac {16211669} {96768}} x ^ {2} - { frac {19138891} {26880}} x + { frac {3289787993} {2903040} } Va 6 leq x <{ frac {13} {2}} - { frac {759239} {4354560}} x ^ {4} + { frac {10519741} {2177280}} x ^ {3} - { frac {10403603} {207360}} x ^ {2} + { frac {71964499} {311040}} x - { frac {3481646837} {8709120}} & { frac {13} {2}} leq x <7 { frac {118931} {4354560}} x ^ {4} - { frac {1774639} {2177280}} x ^ {3} + { frac {630259} {69120}} x ^ {2} - { frac {14096161} {311040}} x + { frac {245108501} {2903040}} & 7 leq x <{ frac {15} {2}} - { frac {9581} {4354560}} x ^ {4} + { frac {21863} {311040}} x ^ {3} - { frac {407387} {483840}} x ^ {2} + { frac {9758873} {2177280 }} x - { frac {25971499} {2903040}} va { frac {15} {2}} leq x <8 { frac {73} {1244160}} x ^ {4} - { frac {4343} {2177280}} x ^ {3} + { frac {5273} {207360}} x ^ {2} - { frac {313703} {2177280}} x + { frac {380873} {1244160} } Va 8 leq x <{ frac {17} {2}} - { frac {1} {8709120}} x ^ {4} + { frac {1} {241920}} x ^ {3} - { frac {1} {17920}} x ^ {2} + { frac {3} {8960}} x - { frac {27} {35840}} va { frac {17} {2}} leq x <9 0 & { text {aks holda}} end {case} }}$

Yilni qo'llab-quvvatlanadigan B-spline to'lqinlarining tasvirlari

1-tartibli B-spline dalgalanma	B-spline dalgalanma 2
3-tartibli B-spline to'lqinli to'lqin	4-tartibli B-spline dalgalanma	5-tartibli B-spline to'lqinli to'lqin

Battle-Lemarie to'lqinlari

Battle-Lemarie to'lqinlari kardinal B-splinelar sinfi yordamida qurilgan ortonormal to'lqinlar sinfini tashkil qiladi. Ushbu to'lqinlar uchun iboralar chastota domenida berilgan; ya'ni ular Furye konvertatsiyasini belgilash orqali aniqlanadi. Funktsiyasining Fourier konvertatsiyasi t, demoq, ${ displaystyle F (t)}$, bilan belgilanadi ${ displaystyle { hat {F}} ( omega)}$.

Ta'rif

Ruxsat bering m musbat tamsayı bo'lsin va bo'lsin ${ displaystyle N_ {m} (x)}$ buyurtmaning kardinal B-spline bo'lishi m. Ning Fourier konvertatsiyasi ${ displaystyle N_ {m} (x)}$ bu ${ displaystyle { hat {N}} _ {m} ( omega)}$. Kattalashtirish funktsiyasi ${ displaystyle phi _ {m} (t)}$ uchun m- Battle-Lemarie dalgalanma - bu Furye konvertatsiyasi bo'lgan funktsiya