WikiDer > Uch kubikning summasi

Sums of three cubes

Matematikada hal qilinmagan muammo:

4 yoki 5 modul 9 bo'lmagan va uchta kubning yig'indisi sifatida ifodalanmaydigan raqam bormi?

(matematikada ko'proq hal qilinmagan muammolar)

{ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} = n}

butun son uchun

{ displaystyle x}

,

{ displaystyle y}

va

{ displaystyle z}

va

{ displaystyle 0 leq n leq 100}

. Yashil bantlar qiymatlarini bildiradi

{ displaystyle n}

yechimga ega emasligi isbotlangan.

Ning matematikasida vakolatlar summasi, bu ochiq muammo uchlik yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan raqamlarni tavsiflash kublar musbat va manfiy kublarning yig'indisiga ruxsat beruvchi butun sonlar. Uchun zarur shart ${ displaystyle n}$ bunday summani tenglashtirish bu degani ${ displaystyle n}$ 4 yoki 5 ga tenglasha olmaydi modul 9, chunki 9 modulli kublar 0, 1 va -1 ga teng, va bu sonlarning uchalasi ham 9 yoki 9 modullarni yig'a olmaydi.^[1] Ushbu zarur shart etarli yoki yo'qligi noma'lum.

Muammoning o'zgarishiga manfiy bo'lmagan kublar va ratsional kublar yig'indisi kiradi. Barcha butun sonlar ratsional kublar yig'indisi sifatida aks etadi, ammo manfiy bo'lmagan kublar yig'indisi nolga teng bo'lmagan to'plamni tashkil etadimi yoki yo'qmi noma'lum. tabiiy zichlik.

Kichik holatlar

0 ning uchta kubning yig'indisi sifatida noan'anaviy tasviri $ a $ beradi qarshi misol ga Fermaning so'nggi teoremasi Uchinchi daraja uchun, chunki uchta kubning biri boshqa ikkitasi kabi teskari belgiga ega bo'ladi va uning inkor qilinishi qolgan ikkitasining yig'indisiga teng bo'ladi. Shuning uchun, tomonidan Leonhard Eylerbu Fermaning so'nggi teoremasining isboti,^[2] faqat ahamiyatsiz echimlar mavjud

{ displaystyle a ^ {3} + (- a) ^ {3} + 0 ^ {3} = 0.}

1 va 2 ning vakolatxonalari uchun echimlarning cheksiz oilalari mavjud

{ displaystyle (9b ^ {4}) ^ {3} + (3b-9b ^ {4}) ^ {3} + (1-9b ^ {3}) ^ {3} = 1}

(topilgan)^[3] 1936 yilda K. Maler tomonidan)

va

{ displaystyle (1 + 6c ^ {3}) ^ {3} + (1-6c ^ {3}) ^ {3} + (- 6c ^ {2}) ^ {3} = 2.}

(topilgan)^[4] tomonidan A.S. Verebrusov 1908 yilda, L.J.Mordell so'zlarini keltirgan^[5])

Ularni har qanday kub yoki kubdan ikki baravar ko'p bo'lgan har qanday raqam uchun tasavvurlarni olish uchun kattalashtirish mumkin.^[5]1 uchun boshqa vakolatxonalar va boshqa parametrlangan vakolatxonalar oilalari mavjud.^[6] 2 uchun, boshqa ma'lum vakolatxonalar^[6]^[7]

{ displaystyle 1 214 928 ^ {3} +3 480 205 ^ {3} + (- 3 528 875) ^ {3} = 2,}

{ displaystyle 37 404 275 617 ^ {3} + (- 25 282 289 375) ^ {3} + (- 33 071 554 596) ^ {3} = 2,}

{ displaystyle 3 737 830 626 090 ^ {3} +1 490 220 318 001 ^ {3} + (- 3 815 176 160 999) ^ {3} = 2. }

Biroq, 1 va 2 - bu parametrlash mumkin bo'lgan ko'rsatmalarga ega bo'lgan yagona raqamlar kvartik polinomlar shu tarzda, shu ravishda, shunday qilib.^[5]Hatto 3 ta vakolatxonada ham, Lui J. Mordell 1953 yilda "men hech narsa bilmayman" deb yozgan edi, uning kichik echimlaridan tashqari

{ displaystyle 1 ^ {3} + 1 ^ {3} + 1 ^ {3} = 4 ^ {3} + 4 ^ {3} + (- 5) ^ {3} = 3,}

va bu holda uchta kubikli raqamlarning har biri 9-modulga teng bo'lishi kerakligidan ham ko'proq.^[8]^[9]

Hisoblash natijalari

1955 yildan boshlab va Mordellning tashabbusi bilan boshlangan ko'plab mualliflar ushbu vakolatxonalarni hisoblash qidiruvlarini amalga oshirdilar.^[10]^[11]^[7]^[12]^[13]^[14]^[15]^[16]^[17]^[18]Elsenhans va Jahnel (2009) usulidan foydalanilgan Noam Elkies (2000) o'z ichiga olgan panjarani kamaytirish uchun barcha echimlarni izlash Diofant tenglamasi

{ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} = n}

ijobiy uchun ${ displaystyle n}$ ko'pi bilan 1000 va uchun ${ displaystyle max (| x |, | y |, | z |) <10 ^ {14}}$ ,^[17], faqat 33, 42, 74, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 va 975-ni ochiq muammolar sifatida qoldirish ${ displaystyle n leq 1000}$ . Keyin Timoti Broning muammoni yoritdi Sonli fayl, Xyuzman (2016) ushbu qidiruvlarni kengaytirdi ${ displaystyle max (| x |, | y |, | z |) <10 ^ {15}}$ 74-ishni hal qilish bilan hal qilish

{ displaystyle 74 = (- 284 650 292 555 885) ^ {3} +66 229 832 190 556 ^ {3} +283 450 105 697 727 ^ {3}. }

Ushbu qidiruvlar natijasida hamma aniqlandi ${ displaystyle n <100}$ 4 yoki 5-modulga teng bo'lmagan 9-ning echimi bor, eng ko'p ikkita istisno, 33 va 42.^[18]

2019 yilda, Endryu Buker ishni hal qildi ${ displaystyle n = 33}$ buni aniqlash orqali

{ displaystyle 33 = 8 866 128 975 287 528 ^ {3} + (- 8 778 405 442 862 239) ^ {3} + (- 2 736 111 468 807 040) ^ {3}.}

Bunga erishish uchun Booker ish vaqti bilan mutanosib ravishda muqobil qidiruv strategiyasidan foydalandi ${ displaystyle min (| x |, | y |, | z |)}$ maksimal darajada emas,^[19] dastlab Xit-Braun va boshqalar tomonidan taklif qilingan yondashuv.^[20] U buni topdi

{ displaystyle 795 = (- 14 219 049 725 358 227) ^ {3} +14 197 965 759 741 571 ^ {3} +2 337 348 783 323 923 ^ {3},}

va echimlar yo'qligini aniqladilar ${ displaystyle n = 42}$ yoki boshqa har qanday hal qilinmagan ${ displaystyle n leq 1000}$ bilan ${ displaystyle | z | leq 10 ^ {16}}$ .

2019 yil sentyabr oyida Endryu Buker va Endryu Sazerlend joylashdi ${ displaystyle n = 42}$ ishda, 1,3 million soatlik kompyuterdan foydalangan holda Xayriya mexanizmi buni aniqlash uchun global tarmoq

{ displaystyle 42 = (- 80 538 738 812 075 974) ^ {3} +80 435 758 145 817 515 ^ {3} +12 602 123 297 335 631 ^ {3},}

va

{ displaystyle 906 = (- 74 924 259 395 610 397) ^ {3} +72 054 089 679 353 378 ^ {3} +35 961 979 615 356 503 ^ {3},}

va

{ displaystyle 165 = (- 385 495 523 231 271 884) ^ {3} +383 344 975 542 639 445 ^ {3} +98 422 560 467 622 814 ^ {3}.}

^[21]

Booker va Sutherland shuningdek, Charity Engine-da yana 4 million hisoblash soatlaridan foydalangan holda 3 ning uchinchi vakolatxonasini topdilar:

{ displaystyle 3 = 569 936 821 221 962 380 720 ^ {3} + (- 569 936 821 113 563 493 509) ^ {3} + (- 472 715 ) 493 453 327 032) ^ {3}.}

^[21]^[22]

Ushbu kashfiyot 65 yillik savolni hal qildi Lui J. Mordell bu ushbu muammo bo'yicha tadqiqotlarning katta qismini rag'batlantirdi.^[8]

1000gacha bo'lgan yagona ochilmagan ishlar 114, 390, 579, 627, 633, 732, 921 va 975.^[21]^[23]

Ommabop qiziqish

So'nggi yillarda uchta kubikning yig'indisi ommalashgan Brady Xaran, yaratuvchisi YouTube kanal Sonli fayl, 2015 yildagi "33 bilan aniqlanmagan muammo" videosi bilan boshlangan intervyu Timoti Broning.^[24] Shundan so'ng olti oy o'tgach, Braunning ishtirokidagi "74-chi Cracked" videoni tomosha qildi, u Huisman tomonidan 2016-yilda 74-ga echim topishini muhokama qildi.^[25] 2019 yilda Numberphile 33, 42 va uchun echimlar kashf etilganligini yodga olish uchun "42 - yangi 33", "42 ning sirlari echildi" va "3 - 3 kubning yig'indisi sifatida" kabi uchta videoni chop etdi. 3 uchun yangi echim.^[26]^[27]^[28]

33-dagi Booker-ning echimi maqolalarda keltirilgan Quanta jurnali^[29] va Yangi olim^[30], shuningdek, maqolasi Newsweek bu erda Bookerning Sutherland bilan hamkorligi e'lon qilingan edi: "... matematik endi MITdan Endryu Sazerland bilan yuzdan pastroq bo'lgan yakuniy hal qilinmagan raqamning echimini topishga harakat qilmoqda".^[31] Tashqi ko'rinishiga ko'ra 42 raqami qo'shimcha qiziqish uyg'otmoqda Duglas Adams ilmiy-fantastik roman Avtostopchilar uchun Galaktika bo'yicha qo'llanma javob sifatida Hayot, olam va hamma narsaning yakuniy savoli.

Booker va Sutherland e'lonlari^[32]^[33] 42 ta xalqaro matbuot nashrlari, shu jumladan New Scientist maqolalari uchun echim,^[34] Ilmiy Amerika,^[35] Mashhur mexanika,^[36] Ro'yxatdan o'tish,^[37] Die Zeit,^[38] Der Tagesspiegel,^[39] Xelsingin Sanomat,^[40] Der Spiegel,^[41] Yangi Zelandiya Herald,^[42] Indian Express,^[43] Der Standard,^[44] Las-provinsiyalar,^[45] Nettavisen,^[46] Digi24,^[47] va BBC Jahon xizmati.^[48] Populyar mexanika 42-ning echimini "2019 yilgi eng katta 10 ta matematik yutuq" deb nomladi.^[49]

Mordellning bir necha hafta o'tgach, Booker va Sutherland tomonidan bergan savolining echimi yangiliklarning navbatdagi turini keltirib chiqardi.^[22]^[50]^[51]^[52]^[53]^[54]^[55]

O'n to'rtinchi kuni Bookerning taklif qilingan nutqida Algoritmik sonlar nazariyasi simpoziumi u ushbu muammoga bo'lgan ba'zi mashhur qiziqishlarni va 33 va 42 uchun echimlar e'lon qilinishiga jamoatchilik munosabatini muhokama qiladi.^[56]

Yechiluvchanlik va aniqlik

1992 yilda, Rojer Xit-Braun har bir kishi taxmin qilmoqda ${ displaystyle n}$ 4 yoki 5 ga teng bo'lmagan 9 modulida uchta kubning yig'indisi sifatida cheksiz ko'p tasavvurlar mavjud.^[57]Ish ${ displaystyle n = 33}$ tomonidan ishlatilgan ushbu muammoning Byorn Puonen bo'yicha o'tkazilgan so'rovnomaning ochilish misoli sifatida hal qilinmaydigan muammolar yilda sonlar nazariyasi, ulardan Hilbertning o'ninchi muammosi eng mashhur misol.^[58] O'sha vaqtdan beri ushbu aniq ish hal qilingan bo'lsa-da, raqamlarni kublar yig'indisi sifatida ifodalash hal etilishi mumkinmi yoki yo'qmi noma'lum. Ya'ni, algoritm har bir kirish uchun, ma'lum bir sonda bunday tasavvurga ega bo'ladimi yoki yo'qligini cheklangan vaqt ichida sinab ko'rishi mumkinligi ma'lum emas, agar Xit-Braunning gumoni rost bo'lsa, muammo hal qiladi. Bunday holda, algoritm hisoblash orqali muammoni to'g'ri hal qilishi mumkin edi ${ displaystyle n}$ 9-modul, agar bu 4 yoki 5 bo'lsa, noto'g'ri qiymatini qaytaradi va aks holda haqiqiyligini qaytaradi. Xit-Braunning tadqiqotlari, shuningdek, algoritm mavjudligini aniqlash uchun emas, balki aniq tasavvurni topish uchun qancha masofani qidirishi kerakligini aniqroq taxminlarni o'z ichiga oladi.^[57]

O'zgarishlar

Bilan bog'liq ushbu muammoning bir varianti Waring muammosi manfiy bo'lmagan uchta butun kublarning yig'indisi sifatida tasvirlarni so'raydi. 19-asrda, Karl Gustav Yakob Jakobi va hamkorlar ushbu muammoni hal qilish jadvallarini tuzdilar.^[59] Ko'rsatiladigan raqamlar ijobiy deb taxmin qilinadi tabiiy zichlik.^[60]^[61] Bu noma'lum bo'lib qolmoqda, ammo Trevor Vuli buni ko'rsatdi ${ displaystyle Omega (n ^ {0.917})}$ dan raqamlarning ${ displaystyle 1}$ ga ${ displaystyle n}$ bunday vakolatxonalarga ega.^[62]^[63]^[64] Zichlik maksimal darajada ${ displaystyle Gamma (4/3) ^ {3} / 6 taxminan 0.119}$ .^[1]

Har bir butun sonni uchta kubning yig'indisi sifatida ko'rsatish mumkin ratsional sonlar (butun sonlarning kublari yig'indisi sifatida emas).^[65]^[66]

Adabiyotlar

^ ^a ^b Davenport, H. (1939), "Kublar uchun Waring muammosi to'g'risida", Acta Mathematica, 71: 123–143, doi:10.1007 / BF02547752, JANOB 0000026
^ Machis, Yu. Yu. (2007), "Eylerning taxminiy isboti to'g'risida", Matematik eslatmalar, 82 (3): 352–356, doi:10.1134 / S0001434607090088, JANOB 2364600, S2CID 121798358
^ Mahler, Kurt (1936), "Hardy va Littlewood ning K gipotezasi to'g'risida eslatma", London Matematik Jamiyati jurnali, 11 (2): 136–138, doi:10.1112 / jlms / s1-11.2.136, JANOB 1574761
^ Verebrusov, A. S. (1908), "Obek uravnenii $x 3 + y 3 + z 3 = 2 siz 3$ " [Tenglama to'g'risida ${ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} = 2u ^ {3}}$ ], Matematikheskii Sbornik (rus tilida), 26 (4): 622–624, JFM 39.0259.02
^ ^a ^b ^v Mordell, LJ (1942), "Uch kubning yig'indisi to'g'risida", London Matematik Jamiyati jurnali, Ikkinchi seriya, 17 (3): 139–144, doi:10.1112 / jlms / s1-17.3.139, JANOB 0007761
^ ^a ^b Avagyan, Armen; Dallakyan, Gurgen (2018), Uch kubik muammosidagi yangi usul, arXiv:1802.06776, doi:10.13189 / ujcmj.2017.050301 (harakatsiz 2020-09-09)CS1 maint: DOI 2020 yil sentyabr holatiga ko'ra faol emas (havola)
^ ^a ^b Xit-Braun, D. R.; Lioen, V. M.; te Riele, H. J. J. (1993), "Diofant tenglamasini echish to'g'risida ${ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} = k}$ vektorli kompyuterda ", Hisoblash matematikasi, 61 (203): 235–244, Bibcode:1993MaCom..61..235H, doi:10.2307/2152950, JSTOR 2152950, JANOB 1202610
^ ^a ^b Mordell, LJ (1953), "Tenglamaning butun echimlari to'g'risida ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + 2xyz = n}$ ", London Matematik Jamiyati jurnali, Ikkinchi seriya, 28: 500–510, doi:10.1112 / jlms / s1-28.4.500, JANOB 0056619
^ Kublari 3 ga teng bo'lgan 9-sonli modning tengligi J. V. S. Kassellar tomonidan Mordell (1953), ammo uning isboti shu paytgacha nashr etilmagan Kassellar, J. W. S. (1985), "Diofantin tenglamasi haqida eslatma ${ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} = 3}$ ", Hisoblash matematikasi, 44 (169): 265–266, doi:10.2307/2007811, JSTOR 2007811, JANOB 0771049, S2CID 121727002.
^ Miller, J. C. P.; Vullett, M. F. C. (1955), "Diofantin tenglamasining echimlari ${ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} = k}$ ", London Matematik Jamiyati jurnali, Ikkinchi seriya, 30: 101–110, doi:10.1112 / jlms / s1-30.1.101, JANOB 0067916
^ Gardiner, V. L.; Lazarus, R. B.; Stein, P. R. (1964), "Diofantin tenglamasining echimlari ${ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} = z ^ {3} -d}$ ", Hisoblash matematikasi, 18 (87): 408–413, doi:10.2307/2003763, JSTOR 2003763, JANOB 0175843
^ Konn, V.; Vaserstein, L. N. (1994), "Uch integral kublar yig'indisi to'g'risida", Rademacherning matematikadan qolgan merosi (University Park, PA, 1992), Zamonaviy matematika, 166, Providens, Rod-Aylend: Amerika matematik jamiyati, 285–294 betlar, doi:10.1090 / conm / 166/01628, JANOB 1284068
^ Bremner, Endryu (1995), "Uch kubik summasida", Sonlar nazariyasi (Galifaks, NS, 1994), CMS konferentsiyasi materiallari, 15, Providens, Rod-Aylend: Amerika Matematik Jamiyati, 87-91 betlar, JANOB 1353923
^ Koyama, Kenji; Tsuruoka, Yukio; Sekigawa, Xiroshi (1997), "Diofantin tenglamasining echimlarini izlash to'g'risida ${ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} = n}$ ", Hisoblash matematikasi, 66 (218): 841–851, doi:10.1090 / S0025-5718-97-00830-2, JANOB 1401942
^ Elkies, Noam D. (2000), "egri chiziqlar va kichik nolga yaqin bo'lgan ratsional nuqtalar ${ displaystyle | x ^ {3} -y ^ {2} |}$ panjarani kamaytirish orqali ", Algoritmik sonlar nazariyasi (Leyden, 2000), Kompyuter fanidan ma'ruza matnlari, 1838, Springer, Berlin, 33-63 betlar, arXiv:matematik / 0005139, doi:10.1007/10722028_2, JANOB 1850598, S2CID 40620586
^ Bek, Maykl; Qarag'ay, Erik; Tarrant, Ueyn; Yarbrough Jensen, Kim (2007), "Uchta kubning yig'indisi sifatida yangi tamsayılar", Hisoblash matematikasi, 76 (259): 1683–1690, doi:10.1090 / S0025-5718-07-01947-3, JANOB 2299795
^ ^a ^b Elsenxans, Andreas-Stefan; Jahnel, Jörg (2009), "Uch kubikning yangi summalari", Hisoblash matematikasi, 78 (266): 1227–1230, doi:10.1090 / S0025-5718-08-02168-6, JANOB 2476583
^ ^a ^b Xuisman, Sander G. (2016), Uch kubikning yangi summalari, arXiv:1604.07746
^ Booker, Endryu R. (2019), "Muammoni 33 bilan yorish", Raqamlar nazariyasi bo'yicha tadqiqotlar, 5 (26), doi:10.1007 / s40993-019-0162-1, JANOB 3983550
^ Xit-Braun, D. R.; Lioen, VM; te Riele, HJJ (1993), "Diofant tenglamasini echish to'g'risida ${ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} = k}$ vektorli kompyuterda ", Hisoblash matematikasi, 61 (203): 235–244, Bibcode:1993MaCom..61..235H, doi:10.2307/2152950, JSTOR 2152950, JANOB 1202610
^ ^a ^b ^v Booker, Endryu R.; Sutherland, Endryu V. (2020), Mordellning savoliga, arXiv:2007.01209
^ ^a ^b Don, Lu (18 sentyabr, 2019), "Matematiklar 3 raqamini yozishning mutlaqo yangi usulini topadilar", Yangi olim
^ Xyuston, Robin (2019 yil 6-sentabr), "42 nima degan savolga javob (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³?'", Aperiodical
^ Xaran, Brady (2015 yil 6-noyabr), 33 bilan aniqlanmagan muammo, Raqamli fayl
^ Xaran, Brady (2016 yil 31-may), 74 yorilib ketgan, Raqamli fayl
^ Xaran, Brady (2019 yil 12 mart), 42 yangi 33, Raqamli fayl
^ Xaran, Brady (2019 yil 6-sentyabr), 42 ning sirlari hal qilindi, Raqamli fayl
^ Xaran, Brady (2019 yil 24-sentyabr), 3 kublarning yig'indisi sifatida 3, Raqamli fayl
^ Pavlus, Jon (10-mart, 2019-yil), "33-sonli" o'jar "raqam uchun uch kubikning echimi", Quanta jurnali
^ Lu, Donna (2019 yil 14 mart), "Matematik 33-raqamga oid ko'p asrlik muammoni yorib chiqdi", Yangi olim
^ Georgiou, Aristos (3-aprel, 2019-yil), "33 bilan aniqlanmagan muammo: matematik 64 yoshli" Diofantin "jumbog'ini hal qiladi'", Newsweek
^ Haqiqiy hayotdagi sayyora kompyuteridan foydalangan holda 42 kubik uchun uchta kub yig'indisi hal qilindi, Bristol universiteti, 2019 yil 6 sentyabr
^ Miller, Sandi (2019 yil 10-sentyabr), "Hayotga, olamga va hamma narsaga javob: Matematikani o'rganuvchi Drew Sutherland o'nlab yillar davomida uch kubikdan iborat bo'lgan jumboqni echishda yordam beradi." Galaktika bo'yicha avtostopchi qo'llanmasi."", MIT yangiliklari, Massachusets texnologiya instituti
^ Don, Lu (6 sentyabr, 2019), "Matematiklar 42 raqami bilan bog'liq tushunarsiz jumboqni sindirishadi", Yangi olim
^ Delaxay, Jan-Pol (2020 yil 20-sentabr), "Matematik muxlislari uchun: avtostopchi 42 raqamiga ko'rsatma", Ilmiy Amerika
^ Grossman, Devid (6 sentyabr, 2019), "65 yildan so'ng, superkompyuterlar ushbu echilmaydigan matematik muammoni nihoyat hal qilishdi", Mashhur mexanika
^ Kvach, Katyanna (2019 yil 7 sentyabr), "Nihoyat! 42-ga yechim - hayot, olam va hamma narsaning eng so'nggi savollariga javob", Ro'yxatdan o'tish
^ "Matheproblem um die Zahl 42 geknackt", Die Zeit, 2019 yil 16 sentyabr
^ "Das Matheproblem um die Zahl 42 ist geknackt", Der Tagesspiegel, 2019 yil 16 sentyabr
^ Kivimäki, Antti (2019 yil 18 sentyabr), "Matemaatikkojen vaikea laskelma tuotti vihdoin kaivatun luvun 42", Xelsingin Sanomat
^ "Matheproblem um die 42 geknackt", Der Spiegel, 2019 yil 16 sentyabr
^ "Nima uchun 42 raqami hayotga, koinotga va hamma narsaga javob beradi", Yangi Zelandiya Herald, 9-sentyabr, 2019-yil
^ Firakue, Kabir (2019 yil 20-sentyabr), "Tushuntirildi: 65 yoshli matematik muammo qanday hal qilindi", Indian Express
^ Taschwer, Klaus (2019 yil 15 sentyabr), "Endlich: Das Rätsel um die Zahl 42 ist gelöst", Der Standard
^ "Matemáticos resuelven el enigma del número 42 ta reja 65 yoshgacha", Las-provinsiyalar, 2019 yil 18-sentyabr
^ Wærstad, Lars (2019 yil 10-oktabr), "60 yoshdan oshgan supermaskin har", Nettavisen
^ "Fost rezolvată problema care le-a dat bătăi de cap matematicienilor timp de 6 decenii. Fost nevoie de 1 million million de ore procesare", Digi24, 2019 yil 16 sentyabr
^ Pol, Fernanda (2019 yil 12 sentyabr), "Enigma de la suma de 3 cubos: matemáticos encuentran la solución final después de 65 años"., BBC News Mundo
^ Linkletter, Deyv (2019 yil 27-dekabr), "2019 yilgi eng katta 10 ta matematik yutuqlar", Mashhur mexanika
^ Mandelbaum, Rayan F. (2019 yil 18-sentyabr), "Matematiklarni endi 3 raqami adashtirmaydi", Gizmodo
^ "42: n ongelman ratkaisijat löysivät ratkaisun myös 3: lle", Tiede, 2019 yil 23 sentyabr
^ Kivimäki, Antti (2019 yil 22 sentyabr), "Numeron 42 ratkaisseet matemaatikot yllättivät: Löysivät myös luvulle 3 kauan odotetun ratkaisun", Xelsingin Sanomat
^ Jesus Poblacion, Alfonso (3 oktyabr, 2019), "Matemáticos encuentran una nueva forma de llegar al número 3", El Diario Vasko
^ Honner, Patrik (2019 yil 5-noyabr), "Nima uchun uchta kubning yig'indisi matematik masaladir", Quanta jurnali
^ D'Souza, Dilip (2019 yil 28-noyabr), "Isrof qilma, kublar yasashning uchinchi usuli bor", LiveMint
^ Booker, Endryu R. (2020 yil 4-iyul), 33 va bularning barchasi, Algoritmik raqamlar nazariyasi simpoziumi
^ ^a ^b Xit-Braun, D. R. (1992), "Zaif yaqinlashish muvaffaqiyatsiz bo'lgan nollarning zichligi", Hisoblash matematikasi, 59 (200): 613–623, doi:10.1090 / s0025-5718-1992-1146835-5, JSTOR 2153078, JANOB 1146835
^ Puonen, Byor (2008), "Raqamlar nazariyasida noaniqlik" (PDF), Amerika Matematik Jamiyati to'g'risida bildirishnomalar, 55 (3): 344–350, JANOB 2382821
^ Dikson, Leonard Eugene (1920), Raqamlar nazariyasi tarixi, jild. II: Diofantin tahlili, Vashingtonning Karnegi instituti, p. 717
^ Balog, Antal; Brüdern, Yorg (1995), "Uchta uchta progressiyaning uchta kubiklari", Journal for fure die Reine und Angewandte Mathematik, 1995 (466): 45–85, doi:10.1515 / crll.1995.466.45, JANOB 1353314, S2CID 118818354
^ Desuiller, Jan-Mark; Xenekart, Fransua; Landreau, Bernard (2006), "Uch kubning yig'indisi zichligi to'g'risida", Gessda, Florian; Pauli, Sebastyan; Pohst, Maykl (tahr.), Algoritmik raqamlar nazariyasi: 7-Xalqaro simpozium, ANTS-VII, Berlin, Germaniya, 2006 yil 23-28 iyul, Ish yuritish, Kompyuter fanidan ma'ruza matnlari, 4076, Berlin: Springer, 141-155 betlar, doi:10.1007/11792086_11, JANOB 2282921
^ Vuli, Trevor D. (1995), "Waring muammosidagi klassik konveksiyani buzish: kublar yig'indisi va yarim diagonal xatti-harakatlar" (PDF), Mathematicae ixtirolari, 122 (3): 421–451, doi:10.1007 / BF01231451, hdl:2027.42/46588, JANOB 1359599
^ Vuli, Trevor D. (2000), "Uch kubikning yig'indisi", Matematika, 47 (1–2): 53–61 (2002), doi:10.1112 / S0025579300015710, hdl:2027.42/152941, JANOB 1924487
^ Vuli, Trevor D. (2015), "Uch kubikning yig'indisi, II", Acta Arithmetica, 170 (1): 73–100, doi:10.4064 / aa170-1-6, JANOB 3373831, S2CID 119155786
^ Richmond, H.V. (1923), "Ratsional sonlar uchun Waring muammosining analoglari to'g'risida", London Matematik Jamiyati materiallari, Ikkinchi seriya, 21: 401–409, doi:10.1112 / plms / s2-21.1.401, JANOB 1575369
^ Davenport, H.; Landau, E. (1969), "Musbat butun sonlarni musbat ratsional sonlarning uch kubiklari yig'indisi sifatida ko'rsatish to'g'risida", Raqamlar nazariyasi va tahlili (Edmund Landau sharafiga bag'ishlangan hujjatlar), Nyu-York: Plenum, 49-53 betlar, JANOB 0262198

Tashqi havolalar

Ning echimlari $n = x 3 + y 3 + z 3$ uchun $0 \leq n \leq 99$ , Hisanori Mishima
trecubes, Daniel J. Bernshteyn
Uch kubikning summasi, Matematik sahifalar

[d-1] Davenport, H. (1939), "Kublar uchun Waring muammosi to'g'risida", Acta Mathematica, 71: 123–143, doi:10.1007 / BF02547752, JANOB 0000026

[euler-2] Machis, Yu. Yu. (2007), "Eylerning taxminiy isboti to'g'risida", Matematik eslatmalar, 82 (3): 352–356, doi:10.1134 / S0001434607090088, JANOB 2364600, S2CID 121798358

[m36-3] Mahler, Kurt (1936), "Hardy va Littlewood ning K gipotezasi to'g'risida eslatma", London Matematik Jamiyati jurnali, 11 (2): 136–138, doi:10.1112 / jlms / s1-11.2.136, JANOB 1574761

[w08-4] Verebrusov, A. S. (1908), "Obek uravnenii $x 3 + y 3 + z 3 = 2 siz 3$ " [Tenglama to'g'risida ${ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} = 2u ^ {3}}$ ], Matematikheskii Sbornik (rus tilida), 26 (4): 622–624, JFM 39.0259.02

[m42-5] v Mordell, LJ (1942), "Uch kubning yig'indisi to'g'risida", London Matematik Jamiyati jurnali, Ikkinchi seriya, 17 (3): 139–144, doi:10.1112 / jlms / s1-17.3.139, JANOB 0007761

[ad-6] Avagyan, Armen; Dallakyan, Gurgen (2018), Uch kubik muammosidagi yangi usul, arXiv:1802.06776, doi:10.13189 / ujcmj.2017.050301 (harakatsiz 2020-09-09)CS1 maint: DOI 2020 yil sentyabr holatiga ko'ra faol emas (havola)

[hlr-7] Xit-Braun, D. R.; Lioen, V. M.; te Riele, H. J. J. (1993), "Diofant tenglamasini echish to'g'risida ${ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} = k}$ vektorli kompyuterda ", Hisoblash matematikasi, 61 (203): 235–244, Bibcode:1993MaCom..61..235H, doi:10.2307/2152950, JSTOR 2152950, JANOB 1202610

[m53-8] Mordell, LJ (1953), "Tenglamaning butun echimlari to'g'risida ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + 2xyz = n}$ ", London Matematik Jamiyati jurnali, Ikkinchi seriya, 28: 500–510, doi:10.1112 / jlms / s1-28.4.500, JANOB 0056619

[cassels-9] Kublari 3 ga teng bo'lgan 9-sonli modning tengligi J. V. S. Kassellar tomonidan Mordell (1953), ammo uning isboti shu paytgacha nashr etilmagan Kassellar, J. W. S. (1985), "Diofantin tenglamasi haqida eslatma ${ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} = 3}$ ", Hisoblash matematikasi, 44 (169): 265–266, doi:10.2307/2007811, JSTOR 2007811, JANOB 0771049, S2CID 121727002.

[mw-10] Miller, J. C. P.; Vullett, M. F. C. (1955), "Diofantin tenglamasining echimlari ${ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} = k}$ ", London Matematik Jamiyati jurnali, Ikkinchi seriya, 30: 101–110, doi:10.1112 / jlms / s1-30.1.101, JANOB 0067916

[gls-11] Gardiner, V. L.; Lazarus, R. B.; Stein, P. R. (1964), "Diofantin tenglamasining echimlari ${ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} = z ^ {3} -d}$ ", Hisoblash matematikasi, 18 (87): 408–413, doi:10.2307/2003763, JSTOR 2003763, JANOB 0175843

[cv-12] Konn, V.; Vaserstein, L. N. (1994), "Uch integral kublar yig'indisi to'g'risida", Rademacherning matematikadan qolgan merosi (University Park, PA, 1992), Zamonaviy matematika, 166, Providens, Rod-Aylend: Amerika matematik jamiyati, 285–294 betlar, doi:10.1090 / conm / 166/01628, JANOB 1284068

[b-13] Bremner, Endryu (1995), "Uch kubik summasida", Sonlar nazariyasi (Galifaks, NS, 1994), CMS konferentsiyasi materiallari, 15, Providens, Rod-Aylend: Amerika Matematik Jamiyati, 87-91 betlar, JANOB 1353923

[kts-14] Koyama, Kenji; Tsuruoka, Yukio; Sekigawa, Xiroshi (1997), "Diofantin tenglamasining echimlarini izlash to'g'risida ${ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} = n}$ ", Hisoblash matematikasi, 66 (218): 841–851, doi:10.1090 / S0025-5718-97-00830-2, JANOB 1401942

[e-15] Elkies, Noam D. (2000), "egri chiziqlar va kichik nolga yaqin bo'lgan ratsional nuqtalar ${ displaystyle | x ^ {3} -y ^ {2} |}$ panjarani kamaytirish orqali ", Algoritmik sonlar nazariyasi (Leyden, 2000), Kompyuter fanidan ma'ruza matnlari, 1838, Springer, Berlin, 33-63 betlar, arXiv:matematik / 0005139, doi:10.1007/10722028_2, JANOB 1850598, S2CID 40620586

[bpty-16] Bek, Maykl; Qarag'ay, Erik; Tarrant, Ueyn; Yarbrough Jensen, Kim (2007), "Uchta kubning yig'indisi sifatida yangi tamsayılar", Hisoblash matematikasi, 76 (259): 1683–1690, doi:10.1090 / S0025-5718-07-01947-3, JANOB 2299795

[ej-17] Elsenxans, Andreas-Stefan; Jahnel, Jörg (2009), "Uch kubikning yangi summalari", Hisoblash matematikasi, 78 (266): 1227–1230, doi:10.1090 / S0025-5718-08-02168-6, JANOB 2476583

[h-18] Xuisman, Sander G. (2016), Uch kubikning yangi summalari, arXiv:1604.07746

[arb-19] Booker, Endryu R. (2019), "Muammoni 33 bilan yorish", Raqamlar nazariyasi bo'yicha tadqiqotlar, 5 (26), doi:10.1007 / s40993-019-0162-1, JANOB 3983550

[hb2-20] Xit-Braun, D. R.; Lioen, VM; te Riele, HJJ (1993), "Diofant tenglamasini echish to'g'risida ${ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} = k}$ vektorli kompyuterda ", Hisoblash matematikasi, 61 (203): 235–244, Bibcode:1993MaCom..61..235H, doi:10.2307/2152950, JSTOR 2152950, JANOB 1202610

[bs-21] v Booker, Endryu R.; Sutherland, Endryu V. (2020), Mordellning savoliga, arXiv:2007.01209

[newsci3-22] Don, Lu (18 sentyabr, 2019), "Matematiklar 3 raqamini yozishning mutlaqo yangi usulini topadilar", Yangi olim

[lue-23] Xyuston, Robin (2019 yil 6-sentabr), "42 nima degan savolga javob (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³?'", Aperiodical

[uncracked33-24] Xaran, Brady (2015 yil 6-noyabr), 33 bilan aniqlanmagan muammo, Raqamli fayl

[cracked74-25] Xaran, Brady (2016 yil 31-may), 74 yorilib ketgan, Raqamli fayl

[cracked33-26] Xaran, Brady (2019 yil 12 mart), 42 yangi 33, Raqamli fayl

[cracked42-27] Xaran, Brady (2019 yil 6-sentyabr), 42 ning sirlari hal qilindi, Raqamli fayl

[cracked3-28] Xaran, Brady (2019 yil 24-sentyabr), 3 kublarning yig'indisi sifatida 3, Raqamli fayl

[quanta33-29] Pavlus, Jon (10-mart, 2019-yil), "33-sonli" o'jar "raqam uchun uch kubikning echimi", Quanta jurnali

[newsci33-30] Lu, Donna (2019 yil 14 mart), "Matematik 33-raqamga oid ko'p asrlik muammoni yorib chiqdi", Yangi olim

[newsweek-31] Georgiou, Aristos (3-aprel, 2019-yil), "33 bilan aniqlanmagan muammo: matematik 64 yoshli" Diofantin "jumbog'ini hal qiladi'", Newsweek

[bristol42-32] Haqiqiy hayotdagi sayyora kompyuteridan foydalangan holda 42 kubik uchun uchta kub yig'indisi hal qilindi, Bristol universiteti, 2019 yil 6 sentyabr

[mit42-33] Miller, Sandi (2019 yil 10-sentyabr), "Hayotga, olamga va hamma narsaga javob: Matematikani o'rganuvchi Drew Sutherland o'nlab yillar davomida uch kubikdan iborat bo'lgan jumboqni echishda yordam beradi." Galaktika bo'yicha avtostopchi qo'llanmasi."", MIT yangiliklari, Massachusets texnologiya instituti

[newsci42-34] Don, Lu (6 sentyabr, 2019), "Matematiklar 42 raqami bilan bog'liq tushunarsiz jumboqni sindirishadi", Yangi olim

[sciam42-35] Delaxay, Jan-Pol (2020 yil 20-sentabr), "Matematik muxlislari uchun: avtostopchi 42 raqamiga ko'rsatma", Ilmiy Amerika

[pop42-36] Grossman, Devid (6 sentyabr, 2019), "65 yildan so'ng, superkompyuterlar ushbu echilmaydigan matematik muammoni nihoyat hal qilishdi", Mashhur mexanika

[register42-37] Kvach, Katyanna (2019 yil 7 sentyabr), "Nihoyat! 42-ga yechim - hayot, olam va hamma narsaning eng so'nggi savollariga javob", Ro'yxatdan o'tish

[diezeit42-38] "Matheproblem um die Zahl 42 geknackt", Die Zeit, 2019 yil 16 sentyabr

[dertag42-39] "Das Matheproblem um die Zahl 42 ist geknackt", Der Tagesspiegel, 2019 yil 16 sentyabr

[hel42-40] Kivimäki, Antti (2019 yil 18 sentyabr), "Matemaatikkojen vaikea laskelma tuotti vihdoin kaivatun luvun 42", Xelsingin Sanomat

[derspiegel42-41] "Matheproblem um die 42 geknackt", Der Spiegel, 2019 yil 16 sentyabr

[nz42-42] "Nima uchun 42 raqami hayotga, koinotga va hamma narsaga javob beradi", Yangi Zelandiya Herald, 9-sentyabr, 2019-yil

[ind42-43] Firakue, Kabir (2019 yil 20-sentyabr), "Tushuntirildi: 65 yoshli matematik muammo qanday hal qilindi", Indian Express

[derstand42-44] Taschwer, Klaus (2019 yil 15 sentyabr), "Endlich: Das Rätsel um die Zahl 42 ist gelöst", Der Standard

[lasprov42-45] "Matemáticos resuelven el enigma del número 42 ta reja 65 yoshgacha", Las-provinsiyalar, 2019 yil 18-sentyabr

[netta42-46] Wærstad, Lars (2019 yil 10-oktabr), "60 yoshdan oshgan supermaskin har", Nettavisen

[digi24-47] "Fost rezolvată problema care le-a dat bătăi de cap matematicienilor timp de 6 decenii. Fost nevoie de 1 million million de ore procesare", Digi24, 2019 yil 16 sentyabr

[bbc42-48] Pol, Fernanda (2019 yil 12 sentyabr), "Enigma de la suma de 3 cubos: matemáticos encuentran la solución final después de 65 años"., BBC News Mundo

[pop2019-49] Linkletter, Deyv (2019 yil 27-dekabr), "2019 yilgi eng katta 10 ta matematik yutuqlar", Mashhur mexanika

[gizmodo3-50] Mandelbaum, Rayan F. (2019 yil 18-sentyabr), "Matematiklarni endi 3 raqami adashtirmaydi", Gizmodo

[tiede3-51] "42: n ongelman ratkaisijat löysivät ratkaisun myös 3: lle", Tiede, 2019 yil 23 sentyabr

[hel3-52] Kivimäki, Antti (2019 yil 22 sentyabr), "Numeron 42 ratkaisseet matemaatikot yllättivät: Löysivät myös luvulle 3 kauan odotetun ratkaisun", Xelsingin Sanomat

[diario3-53] Jesus Poblacion, Alfonso (3 oktyabr, 2019), "Matemáticos encuentran una nueva forma de llegar al número 3", El Diario Vasko

[quanta3-54] Honner, Patrik (2019 yil 5-noyabr), "Nima uchun uchta kubning yig'indisi matematik masaladir", Quanta jurnali

[mint3-55] D'Souza, Dilip (2019 yil 28-noyabr), "Isrof qilma, kublar yasashning uchinchi usuli bor", LiveMint

[ants-56] Booker, Endryu R. (2020 yil 4-iyul), 33 va bularning barchasi, Algoritmik raqamlar nazariyasi simpoziumi

[hb-57] Xit-Braun, D. R. (1992), "Zaif yaqinlashish muvaffaqiyatsiz bo'lgan nollarning zichligi", Hisoblash matematikasi, 59 (200): 613–623, doi:10.1090 / s0025-5718-1992-1146835-5, JSTOR 2153078, JANOB 1146835

[p-58] Puonen, Byor (2008), "Raqamlar nazariyasida noaniqlik" (PDF), Amerika Matematik Jamiyati to'g'risida bildirishnomalar, 55 (3): 344–350, JANOB 2382821

[dickson-59] Dikson, Leonard Eugene (1920), Raqamlar nazariyasi tarixi, jild. II: Diofantin tahlili, Vashingtonning Karnegi instituti, p. 717

[bb-60] Balog, Antal; Brüdern, Yorg (1995), "Uchta uchta progressiyaning uchta kubiklari", Journal for fure die Reine und Angewandte Mathematik, 1995 (466): 45–85, doi:10.1515 / crll.1995.466.45, JANOB 1353314, S2CID 118818354

[dhl-61] Desuiller, Jan-Mark; Xenekart, Fransua; Landreau, Bernard (2006), "Uch kubning yig'indisi zichligi to'g'risida", Gessda, Florian; Pauli, Sebastyan; Pohst, Maykl (tahr.), Algoritmik raqamlar nazariyasi: 7-Xalqaro simpozium, ANTS-VII, Berlin, Germaniya, 2006 yil 23-28 iyul, Ish yuritish, Kompyuter fanidan ma'ruza matnlari, 4076, Berlin: Springer, 141-155 betlar, doi:10.1007/11792086_11, JANOB 2282921

[w1-62] Vuli, Trevor D. (1995), "Waring muammosidagi klassik konveksiyani buzish: kublar yig'indisi va yarim diagonal xatti-harakatlar" (PDF), Mathematicae ixtirolari, 122 (3): 421–451, doi:10.1007 / BF01231451, hdl:2027.42/46588, JANOB 1359599

[w2-63] Vuli, Trevor D. (2000), "Uch kubikning yig'indisi", Matematika, 47 (1–2): 53–61 (2002), doi:10.1112 / S0025579300015710, hdl:2027.42/152941, JANOB 1924487

[w3-64] Vuli, Trevor D. (2015), "Uch kubikning yig'indisi, II", Acta Arithmetica, 170 (1): 73–100, doi:10.4064 / aa170-1-6, JANOB 3373831, S2CID 119155786

[rich-65] Richmond, H.V. (1923), "Ratsional sonlar uchun Waring muammosining analoglari to'g'risida", London Matematik Jamiyati materiallari, Ikkinchi seriya, 21: 401–409, doi:10.1112 / plms / s2-21.1.401, JANOB 1575369

[dl-66] Davenport, H.; Landau, E. (1969), "Musbat butun sonlarni musbat ratsional sonlarning uch kubiklari yig'indisi sifatida ko'rsatish to'g'risida", Raqamlar nazariyasi va tahlili (Edmund Landau sharafiga bag'ishlangan hujjatlar), Nyu-York: Plenum, 49-53 betlar, JANOB 0262198

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

Navigation