WikiDer > Tates algoritmi - Vikipediya

Nazariyasida elliptik egri chiziqlar, Teyt algoritmi kirish sifatida qabul qilinadi ajralmas model egri chiziq egri chizig'ining E ustida ${ displaystyle mathbb {Q}}$, yoki umuman olganda an algebraik sonlar maydoniva asosiy yoki asosiy ideal p. Bu ko'rsatkichni qaytaradi f_p ning p ichida dirijyor ning E, at kamayish turi p, mahalliy indeks

${ displaystyle c_ {p} = [E ( mathbb {Q} _ {p}): E ^ {0} ( mathbb {Q} _ {p})],}$

qayerda ${ displaystyle E ^ {0} ( mathbb {Q} _ {p})}$ guruhidir ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$- kamaytirish nuqtalari p a yagona bo'lmagan nuqta. Shuningdek, algoritm berilgan integral model minimal bo'lganligini yoki yo'qligini aniqlaydi p, va agar bo'lmasa, integral koeffitsientlari bilan integral modelni qaytaradi, ular uchun baho berilgan p diskriminant minimaldir.

Teyt algoritmi shuningdek, Kodaira belgisi yoki Néron belgisi tomonidan berilgan singular tolalarning tuzilishini beradi, buning uchun qarang elliptik yuzalar: o'z navbatida bu ko'rsatkichni aniqlaydi f_p dirijyorning E.

Teyt algoritmini, agar qoldiq sinf maydonining xarakteristikasi 2 yoki 3 bo'lmasa, juda soddalashtirish mumkin; bu holda turi va v va f ning baholaridan o'qish mumkin j va Δ (quyida aniqlangan).

Teyt algoritmi tomonidan kiritilgan Jon Teyt (1975) Neron tomonidan elliptik egri chiziqning Neron modelining tavsifini takomillashtirish sifatida (1964).

Notation

Egri chiziq tenglamasining barcha koeffitsientlari to'liq yotadi deb taxmin qiling diskret baholash rishtasi R bilan mukammal qoldiq maydoni va maksimal ideal tomonidan yaratilgan asosiy π. Elliptik egri chiziq tenglama bilan berilgan

${ displaystyle y ^ {2} + a_ {1} xy + a_ {3} y = x ^ {3} + a_ {2} x ^ {2} + a_ {4} x + a_ {6}.}$

Belgilang:

${ displaystyle a_ {i, m} = a_ {i} / pi ^ {m}}$

${ displaystyle b_ {2} = a_ {1} ^ {2} + 4a_ {2}}$

${ displaystyle b_ {4} = a_ {1} a_ {3} + 2a_ {4} ^ {}}$

${ displaystyle b_ {6} = a_ {3} ^ {2} + 4a_ {6}}$

${ displaystyle b_ {8} = a_ {1} ^ {2} a_ {6} -a_ {1} a_ {3} a_ {4} + 4a_ {2} a_ {6} + a_ {2} a_ {3 } ^ {2} -a_ {4} ^ {2}}$

${ displaystyle c_ {4} = b_ {2} ^ {2} -24b_ {4}}$

${ displaystyle c_ {6} = - b_ {2} ^ {3} + 36b_ {2} b_ {4} -216b_ {6}}$

${ displaystyle Delta = -b_ {2} ^ {2} b_ {8} -8b_ {4} ^ {3} -27b_ {6} ^ {2} + 9b_ {2} b_ {4} b_ {6} }$

${ displaystyle j = c_ {4} ^ {3} / Delta.}$

Algoritm

• 1-qadam: Agar π bo'linmasa Δ, u holda I turi bo'ladi₀, f=0, v=1.
• 2-qadam. Aks holda, koordinatalarni π bo'linadigan qilib o'zgartiring a₃,a₄,a₆. Agar $ infty $ bo'linmasa b₂ u holda I_ν, bilan = v (Δ) va f=1.
• Qadam 3. Aks holda, agar π bo'lsa² bo'linmaydi a₆ u holda II, v= 1 va f= v (Δ);
• Qadam 4. Aks holda, agar π bo'lsa³ bo'linmaydi b₈ u holda III, v= 2 va f= v (ph) -1;
• Qadam 5. Aks holda, agar π bo'lsa³ bo'linmaydi b₆ keyin turi IV, v= 3 yoki 1, va f= v (Δ) -2.
• 6-qadam. Aks holda, koordinatalarni π bo'linadigan qilib o'zgartiring a₁ va a₂, π² ajratadi a₃ va a₄va π³ ajratadi a₆. Ruxsat bering P polinom bo'ling

${ displaystyle P (T) = T ^ {3} + a_ {2,1} T ^ {2} + a_ {4,2} T + a_ {6,3}.}$

Agar P (T) ≡0 muvofiqlik uchta aniq ildizga ega bo'lsa, u holda I turi bo'ladi₀^*, f= v (Δ) -4, va v 1+ (ning ildizlari soni P yilda k).

• Qadam 7. Agar P bitta bitta va bitta juft ildizga ega, keyin turi I_ν^* ba'zi uchun ν> 0, f= v (Δ) -4 "ν, v= 2 yoki 4: bu ish bilan shug'ullanish uchun "sub-algoritm" mavjud.
• Qadam 8. Agar P uchli ildizga ega, o'zgaruvchilarni o'zgartiring, shuning uchun uchta ildiz 0 ga teng, shuning uchun π² ajratadi a₂ va π³ ajratadi a₄va π⁴ ajratadi a₆. Agar

${ displaystyle Y ^ {2} + a_ {3,2} Y-a_ {6,4}}$

aniq ildizlarga ega, turi IV^*, f= v (ph) -6, va v Agar ildizlar ichida bo'lsa, 3 ga teng k, Aks holda 1.

• Qadam 9. Yuqoridagi tenglama er-xotin ildizga ega. Ikkala ildiz 0 ga teng bo'lgan o'zgaruvchilarni o'zgartiring. Keyin π³ ajratadi a₃ va π⁵ ajratadi a₆. Agar π bo'lsa⁴ bo'linmaydi a₄ u holda III^* va f= v (Δ) -7 va v = 2.
• Qadam 10. Aks holda if bo'lsa⁶ bo'linmaydi a₆ u holda II^* va f= v (Δ) -8 va v = 1.
• 11-qadam. Aks holda tenglama minimal emas. Har birini bo'ling a_n π tomonidanⁿ va 1-bosqichga qayting.

Amaliyotlar

Algoritm algebraik sonlar maydonlari uchun amalga oshiriladi PARI / GP kompyuter algebra tizimi, elllocalred funktsiyasi orqali mavjud.

Adabiyotlar

• Cremona, Jon (1997), Modulli elliptik egri chiziqlar algoritmlari (2-nashr), Kembrij: Kembrij universiteti matbuoti, ISBN 0-521-59820-6, Zbl 0872.14041, olingan 2007-12-20
• Laska, Maykl (1982), "Elliptik egri chiziq uchun minimal Weierstrass tenglamasini topish algoritmi", Hisoblash matematikasi, 38 (157): 257–260, doi:10.2307/2007483, JSTOR 2007483, Zbl 0493.14016
• Neron, André (1964), "Modèles minimaux des variétés abèliennes sur les corps locaux et globaux", Mathématiques de l'IHÉS nashrlari (frantsuz tilida), 21: 5–128, doi:10.1007 / BF02684271, JANOB 0179172, Zbl 0132.41403
• Silverman, Jozef H. (1994), Elliptik egri chiziqlar arifmetikasidagi rivojlangan mavzular, Matematikadan aspirantura matnlari, 151, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94328-5, Zbl 0911.14015
• Teyt, Jon (1975), "Elliptik qalamdagi singular tola turini aniqlash algoritmi", yilda Birch, B.J.; Kuyk, V. (tahr.), Bir o'zgaruvchining modulli funktsiyalari IV, Matematikadan ma'ruza matnlari, 476, Berlin / Heidelberg: Springer, 33-52 betlar, doi:10.1007 / BFb0097582, ISBN 978-3-540-07392-5, ISSN 1617-9692, JANOB 0393039, Zbl 1214.14020