WikiDer > Uchta kichik guruh lemma

Three subgroups lemma

Yilda matematika, aniqrog'i guruh nazariyasi, uchta kichik guruh lemma bilan bog'liq natija komutatorlar. Bu natijadir Filipp Xoll va Ernst Vittismli shaxs.

Notation

Keyinchalik, quyidagi yozuvlar qo'llaniladi:

Agar H va K bor kichik guruhlar a guruh G, ning komutatori H va K, [bilan belgilanadiH, K], ning kichik guruhi sifatida aniqlanadi G tomonidan yaratilgan komutatorlar ikkita kichik guruhdagi elementlar o'rtasida. Agar L uchinchi kichik guruh, bu konventsiya [H,K,L] = [[H,K],L] ta'qib qilinadi.
Agar x va y guruhning elementlari G, birlashtirmoq ning x tomonidan y bilan belgilanadi ${ displaystyle x ^ {y}}$ .
Agar H guruhning kichik guruhidir G, keyin markazlashtiruvchi ning H yilda G bilan belgilanadi C_G(H).

Bayonot

Ruxsat bering X, Y va Z guruhning kichik guruhlari bo'lish Gva taxmin qiling

{ displaystyle [X, Y, Z] = 1}

va

{ displaystyle [Y, Z, X] = 1.}

Keyin ${ displaystyle [Z, X, Y] = 1}$ .^[1]

Umuman olganda, a oddiy kichik guruh ${ displaystyle N}$ ning ${ displaystyle G}$ , agar ${ displaystyle [X, Y, Z] subseteq N}$ va ${ displaystyle [Y, Z, X] subseteq N}$ , keyin ${ displaystyle [Z, X, Y] subseteq N}$ .^[2]

Dalil va Xoll-Vittning shaxsiyati

Xoll-Vittning shaxsiyati

Agar ${ displaystyle x, y, z in G}$ , keyin

{ displaystyle [x, y ^ {- 1}, z] ^ {y} cdot [y, z ^ {- 1}, x] ^ {z} cdot [z, x ^ {- 1}, y ] ^ {x} = 1.}

Uchta kichik guruh lemmaning isboti

Ruxsat bering ${ displaystyle x in X}$ , ${ displaystyle y in Y}$ va ${ displaystyle z in Z}$ . Keyin ${ displaystyle [x, y ^ {- 1}, z] = 1 = [y, z ^ {- 1}, x]}$ Va yuqoridagi Xoll-Vitt shaxsiyatiga binoan, shundan kelib chiqadi ${ displaystyle [z, x ^ {- 1}, y] ^ {x} = 1}$ va hokazo ${ displaystyle [z, x ^ {- 1}, y] = 1}$ . Shuning uchun, ${ displaystyle [z, x ^ {- 1}] subseteq mathbf {C} _ {G} (Y)}$ Barcha uchun ${ displaystyle z in Z}$ va ${ displaystyle x in X}$ . Ushbu elementlar hosil bo'lganligi sababli ${ displaystyle [Z, X]}$ , degan xulosaga keldik ${ displaystyle [Z, X] subseteq mathbf {C} _ {G} (Y)}$ va shuning uchun ${ displaystyle [Z, X, Y] = 1}$ .