WikiDer > Yagona chegara teoremasi

Bir hil teoremaning kuchayishiga qarshi misol, unda bir hil konvergentsiya emas, balki nuqta bo'yicha yaqinlashish nazarda tutilgan. Doimiy yashil funktsiyalar ${ displaystyle scriptstyle scriptstyle sin ^ {n} (x)}$ uzluksiz qizil funktsiyaga yaqinlashadi. Bu faqat konvergentsiya bir xil bo'lmasa sodir bo'lishi mumkin.

Yilda matematika, yagona chegara teoremasi deb ta'kidlaydi yagona chegara ning har qanday ketma-ketligi doimiy funktsiyalar uzluksiz.

Bayonot

Aniqrog'i, ruxsat bering X bo'lishi a topologik makon, ruxsat bering Y bo'lishi a metrik bo'shliqva ƒ ga ruxsat bering_n : X → Y funktsiyaga teng ravishda yaqinlashadigan funktsiyalar ketma-ketligi bo'lsin:X → Y. Yagona limit teoremasiga ko'ra, agar funktsiyalarning har biri ƒ bo'lsa_n doimiy, u holda chegara ƒ ham uzluksiz bo'lishi kerak.

Agar bir hil konvergentsiya bilan almashtirilsa, bu teorema bajarilmaydi nuqtali yaqinlik. Masalan, ƒ ga ruxsat bering_n : [0, 1] → R funktsiyalarning ketma-ketligi bo'ling_n(x) = xⁿ. Keyin har bir funktsiya ƒ_n uzluksiz, lekin ketma-ketlik [0, 1) nolga teng, lekin but (1) = 1 ga ega bo'lgan uzluksiz funktsiya to ga yo'naltirilgan holda yaqinlashadi. Qo'shni rasmda yana bir misol ko'rsatilgan.

Xususida funktsiya bo'shliqlari, bir xil limit teoremasida bo'shliq deyilgan C(X, Y) topologik bo'shliqdan barcha doimiy funktsiyalar X metrik bo'shliqqa Y a yopiq ichki qism ning Y^X ostida yagona metrik. Qaerda bo'lsa Y bu to'liq, bundan kelib chiqadiki C(X, Y) o'zi to'liq metrik bo'shliqdir. Xususan, agar Y a Banach maydoni, keyin C(X, Y) o'zi ostidagi Banach makonidir yagona norma.

Agar uzluksizlik o'rnini bosadigan bo'lsa, bir xil limit teoremasi ham amal qiladi bir xil davomiylik. Ya'ni, agar X va Y metrik bo'shliqlar va ƒ_n : X → Y continuous funktsiyaga teng ravishda birlashtiriladigan bir xil uzluksiz funktsiyalar ketma-ketligi, keyin ƒ bir xil uzluksiz bo'lishi kerak.

Isbot

Isbotlash uchun uzluksizlik ning f, buni har kim uchun ko'rsatishimiz kerak ε > 0, a mavjud Turar joy dahasi U har qanday nuqta x ning X shu kabi:

${ displaystyle d_ {Y} (f (x), f (y)) < epsilon, qquad for all y in U}$

O'zboshimchalik bilan ko'rib chiqing ε > 0. Funktsiyalar ketma-ketligidan beri {f_n} teng ravishda birlashadi f gipoteza bo'yicha tabiiy son mavjud N shu kabi:

${ displaystyle d_ {Y} (f_ {N} (t), f (t)) <{ frac { epsilon} {3}}, qquad forall t in X}$

Bundan tashqari, beri f_N uzluksiz X gipoteza bo'yicha, har bir kishi uchun x u erda mahalla mavjud U shu kabi:

${ displaystyle d_ {Y} (f_ {N} (x), f_ {N} (y)) <{ frac { epsilon} {3}}, qquad forall y in U}$

Oxirgi bosqichda biz uchburchak tengsizligi quyidagi tarzda:

${ displaystyle { begin {aligned} d_ {Y} (f (x), f (y)) & leq d_ {Y} (f (x), f_ {N} (x)) + d_ {Y} (f_ {N} (x), f_ {N} (y)) + d_ {Y} (f_ {N} (y), f (y)) & <{ frac { epsilon} {3} } + { frac { epsilon} {3}} + { frac { epsilon} {3}} = epsilon, qquad forall y in U end {hizalangan}}}$

Demak, biz dalildagi birinchi tengsizlik amal qilishini aniqladik f hamma joyda doimiy X.

Adabiyotlar

• Jeyms Munkres (1999). Topologiya (2-nashr). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.