WikiDer > Gleichmäßige Kontinuität

In dem Mathematik man spricht von a gleichmäßig durchgehend Funktion bei kleinen Änderungen des Arguments ${Anzeigestil x}$ auch kleine Veränderungen des Bildes ${Anzeigestil f(x)}$ zur Folge haben. Außerdem ist die Größe der Änderung von ${Anzeigestil f(x)}$ hängen nur von der Größe der Änderung in ab ${Anzeigestil x}$ und nicht vom Wert von ${Anzeigestil x}$ selbst. Folglich ist gleichmäßige Stetigkeit eher eine globale Eigenschaft einer Funktion auf einem Intervall, im Gegensatz zu regulären Kontinuität welches die Funktion lokal beschreibt und daher abhängen kann von ${Anzeigestil x}$.

Definition

Man kann förmlich einheitliche Kontinuität definieren Sie mit einer sogenannten 'Epsilon-Delta'-Definition.

Eine Funktion ${Anzeigestil f:V oder W}$ zwischen metrische Räume heiß gleichmäßig durchgehend wenn für jede reelle Zahl ${Displaystil-Varepsilon >0}$ eine Zahl ${Anzeigestil-Delta >0}$ existiert so, dass für alle ${Anzeigestil x,yin V}$ mit ${Anzeigestil d(x,y)$ zählt das ${Anzeigestil d(f(x),f(y))$.

Eigenschaften

• Jede gleichmäßig stetige Funktion ist stetig, aber nicht umgekehrt. So ist ${displaystyle f:(0,1) oder mathbb {R} :xmapsto 1/x}$ kontinuierlich, aber nicht gleichmäßig kontinuierlich.
• Beliebige stetige Funktion ${displaystyle f}$ über einen geschlossenen und begrenzten Bereich (Compactum) ${Anzeigestil G}$ ist selbst begrenzt und gleichmäßig durchgehend über ${Anzeigestil G}$ (Satz von Heine-Cantor).
• Jeder absolut kontinuierlich Funktion ist auch gleichmäßig stetig.
• Jeder Lipschitz-weiter Funktion ist auch gleichmäßig stetig.
• Eine gleichmäßig stetige Funktion bildet äquivalente Zeilen bis auf äquivalente Zeilen herunter. Formal bedeutet dies, dass wenn ${Anzeigestil f:V oder W}$ eine gleichmäßig stetige Funktion ist und ${Anzeigestil (x_{n})_{n}}$ und ${Anzeigestil (y_{n})_{n}}$ zwei gleichwertige Reihen, ${Anzeigestil (f(x_{n}))_{n}}$ und ${displaystyle (fy_{n}))_{n}}$ sind auch gleichwertig. Das Gegenteil wird oft verwendet, um zu zeigen, dass eine Funktion nicht gleichmäßig stetig ist. Bitte beachten, als Funktion ${displaystyle f}$ zwei äquivalente Zeilen auf zwei äquivalente Zeilen abbilden, liefert dies keine schlüssige Aussage über den gleichmäßig stetigen Charakter von ${displaystyle f}$
• Eine gleichmäßig stetige Funktion bildet a cauchyrij ab in eine Cauchy-Reihe.
• Das Komposition gleichmäßig stetiger Funktionen ist wieder gleichmäßig stetig.