WikiDer > Volkenborn integral

Bu maqola bu yetim, boshqa maqolalar singari unga havola. Iltimos havolalar bilan tanishtirish dan ushbu sahifaga tegishli maqolalar; harakat qilib ko'ring Havola vositasini toping takliflar uchun. (2013 yil dekabr)

Bu maqola mavzu bilan tanish bo'lmaganlar uchun etarli bo'lmagan kontekstni taqdim etadi. Iltimos yordam bering maqolani takomillashtirish tomonidan o'quvchi uchun ko'proq kontekstni taqdim etish. (2013 yil dekabr) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Matematikada p-adik tahlil, Volkenborn integral usuli hisoblanadi integratsiya p-adic funktsiyalari uchun.

Ta'rif

Keling:${ displaystyle f: mathbb {Z} _ {p} to mathbb {C} _ {p}}$ funktsiyasi bo'lishi p-adic p-adik sonlarda qiymatlarni qabul qiladigan butun sonlar. Volkenborn integrali, agar u mavjud bo'lsa, chegara bilan belgilanadi:

${ displaystyle int _ { mathbb {Z} _ {p}} f (x) , { rm {d}} x = lim _ {n to infty} { frac {1} {p ^ {n}}} sum _ {x = 0} ^ {p ^ {n} -1} f (x).}$

Umuman olganda, agar

${ displaystyle R_ {n} = left { left.x = sum _ {i = r} ^ {n-1} b_ {i} x ^ {i} right | b_ {i} = 0, ldots, p-1 { text {for}} r$

keyin

${ displaystyle int _ {K} f (x) , { rm {d}} x = lim _ {n to infty} { frac {1} {p ^ {n}}} sum _ {x in R_ {n} cap K} f (x).}$

Ushbu integral Arnt Volkenborn tomonidan aniqlangan.

Misollar

${ displaystyle int _ { mathbb {Z} _ {p}} 1 , { rm {d}} x = 1}$

${ displaystyle int _ { mathbb {Z} _ {p}} x , { rm {d}} x = - { frac {1} {2}}}$

${ displaystyle int _ { mathbb {Z} _ {p}} x ^ {2} , { rm {d}} x = { frac {1} {6}}}$

${ displaystyle int _ { mathbb {Z} _ {p}} x ^ {k} , { rm {d}} x = B_ {k}}$

qayerda ${ displaystyle B_ {k}}$ k-chi Bernulli raqami.

Yuqoridagi to'rtta misol to'g'ridan-to'g'ri ta'rifi va yordamida osonlikcha tekshirilishi mumkin Faolxabarning formulasi.

${ displaystyle int _ { mathbb {Z} _ {p}} {x select k} , { rm {d}} x = { frac {(-1) ^ {k}} {k + 1}}}$

${ displaystyle int _ { mathbb {Z} _ {p}} (1 + a) ^ {x} , { rm {d}} x = { frac { log (1 + a)} { a}}}$

${ displaystyle int _ { mathbb {Z} _ {p}} e ^ {ax} , { rm {d}} x = { frac {a} {e ^ {a} -1}}}$

So'nggi ikkita misol rasmiy ravishda kengaytma orqali tekshirilishi mumkin Teylor seriyasi va termal jihatdan integratsiya qilish.

${ displaystyle int _ { mathbb {Z} _ {p}} log _ {p} (x + u) , { rm {d}} u = psi _ {p} (x)}$

bilan ${ displaystyle log _ {p}}$ p-adik logaritmik funktsiya va ${ displaystyle psi _ {p}}$ p-adik digamma funktsiyasi.

Xususiyatlari

${ displaystyle int _ { mathbb {Z} _ {p}} f (x + m) , { rm {d}} x = int _ { mathbb {Z} _ {p}} f ( x) , { rm {d}} x + sum _ {x = 0} ^ {m-1} f '(x)}$

Shundan kelib chiqadiki, Volkenborn-integral tarjima o'zgarmas emas.

Agar ${ displaystyle P ^ {t} = p ^ {t} mathbb {Z} _ {p}}$ keyin

${ displaystyle int _ {P ^ {t}} f (x) , { rm {d}} x = { frac {1} {p ^ {t}}} int _ { mathbb {Z } _ {p}} f (p ^ {t} x) , { rm {d}} x}$

Shuningdek qarang

• P-adik taqsimoti

Adabiyotlar

• Arnt Volkenborn: E-p-adisches Integral und seine Anwendungen I. In: Mathematica qo'lyozmasi. Bd. 7, Nr. 4, 1972 yil, [1]
• Arnt Volkenborn: E-p-adisches Integral und seine Anwendungen II. In: Mathematica qo'lyozmasi. Bd. 12, Nr. 1, 1974 yil, [2]
• Anri Koen, "Raqamlar nazariyasi", II jild, 276-bet

Bu matematik tahlil- tegishli maqola a naycha. Siz Vikipediyaga yordam berishingiz mumkin uni kengaytirish. v t e