WikiDer > Sieb von Turán

In dem Zahlentheorie, eine Unterregion der Mathematik, ist der Sieb von Turán eine Technik zum Schätzen der Größe von "gesiebten Mengen" von positivganze Zahlen die eine Reihe von Bedingungen erfüllen, die in Kongruenzen. Das Turán-Sieb wurde 1934 von de . entwickelt ungarisch Mathematiker Pal Turan.

Beschreibung

In Bezug auf die Siebtheorie ist das Sieb von Turán der kombinatorischer Typ: das Sieb von Turán leitet sich von einer basalen Form des ab Prinzip der Inklusion und Exklusion. Das Ergebnis gibt a Obergrenze für die Größe der gesiebten Sammlung.

spät ein eine Menge von positiven ganzen Zahlen ≤ X sein und spät p eine Menge von Primzahlen sein. spät ein_p für jedes p im p die Menge der Elemente von ein angeben durch . teilbar p und erweitere diese um ein_d der Querschnitt des sein ein_p vor dem p die teilen auf d, wann d ein Produkt der verschiedenen Primzahlen von p ist. lass A₁ des Weiteren ein selbst angeben. spät z bezeichne eine positive reelle Zahl und sei p(z) das Produkt der Primzahlen in p bezeichne, dass ≤ z sein. Der Zweck von Turáns Sieb besteht darin, die folgende Formel abzuschätzen

${displaystyle S(A,P,z)=leftvert Asetminus igcup _{pin P(z)}A_{p}ightvert .}$

Wir nehmen an, dass |ein_d|, wenn d eine Primzahl p ist, kann geschätzt werden durch

${displaystyle leftvert A_{p}ightvert ={frac {1}{f(p)}}X R_{p}}$

und das wann d ein Produkt zweier verschiedener Primzahlen d = pq ist am

${displaystyle leftvert A_{pq}ightvert ={frac {1}{f(p)f(q)}}X R_{p,q}}$

wahr X   =   |ein| und f ist eine Funktion mit der Eigenschaft 0 ≤ f(d) ≤ 1. Nimm

${Anzeigestil U(z)=Summe _{pmid P(z)}f(p).}$

Dann gilt:

${displaystyle S(A,P,z)leq {frac {X}{U(z)}} {frac {2}{U(z)}}sum _{pmid P(z)}leftvert R_{p}ightvert {frac {1}{U(z)^{2}}}Summe _{p,qmid P(z)}linksvert R_{p,q}ightvert .}$