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Absolute waarde

{displaystyle y=mathrm {abs} (x)}

unten Absolutwert oder Modul von a Real Nummer oder andere ehrgeizig wird allgemein verstanden Länge oder Größe davon, wodurch andere Eigenschaften, wie Schild oder Richtung. Man kann auch sagen, dass der Absolutwert angibt, wie weit diese reelle Zahl von Null entfernt ist.

In der Mathematik wird ein absoluter Wert notiert, indem das Argument zwischen zwei vertikalen Balken eingeschlossen wird: ${Anzeigestil |x|}$

Gewöhnlicher absoluter Wert

Reale Nummern

Der absolute Wert von a reelle Zahl ${Anzeigestil x}$ , angezeigt durch ${Anzeigestil |x|}$ , oder auch von ${displaystyle mathrm {abs} (x)}$ , ist ${Anzeigestil x}$ selbst als ${Anzeigestil x}$ ein positiv Nummer ist und ${displaystyle -x}$ wenn ${Anzeigestil x}$ ein Negativ Nummer. Der Absolutwert ist also immer positiv (oder 0). Um genau zu sein:

{displaystyle |x|={ egin{cases}x&{mbox{if }}xgeq 0//-x&{mbox{if }}x<0end{cases}}}

Eigenschaften

${Anzeigestil |xcdot y|=|x|cdot |y|}$
${Anzeigestil |x y|leq |x| |y|}$
${Anzeigestil |,|x|-|y|,|leq |x-y|}$
${Anzeigestil |x-y|leq |x| |y|}$

Beispiele

${displaystyle |5|=mathrm {abs} (5)=5}$
${displaystyle |-2|=mathrm {abs} (-2)=2}$

Mit dem Absolutwert kann man schreiben:

{displaystyle {sqrt {x^{2}}}=|x|}

Dies beruht darauf, dass die Quadratwurzel ist als positive Zahl definiert.

Komplexe Zahlen

Die Definition für reelle Zahlen kann erweitert werden auf komplexe Zahlen. Der Absolutwert oder Modul einer komplexen Zahl ${Anzeigestil z}$ , angezeigt durch ${Anzeigestil |z|}$ oder auch von ${displaystyle mathrm {abs} (z)}$ , ist definiert als:

{displaystyle |z|={sqrt {mathrm {Re} (z)^{2}mathrm {Im} (z)^{2}}}={sqrt {z{overline {z}}}}}

.

Hier ist ${displaystyle {overline {z}}}$ die notation für die komplex konjugiert von ${Anzeigestil z}$ .

Der Wert ${Anzeigestil |z|}$ kann als die Länge der "Vektor ${Anzeigestil z}$ " in dem komplexe Ebene. Dies wird mit dem berechnet Satz des Pythagoras.

Verallgemeinerter absoluter Wert

Ein verallgemeinerter Absolutwert auf a Integritätsdomäne ${Anzeigestil D}$ ist ein Bild ${Anzeigestil |x|}$ von ${Anzeigestil D}$ zu ${displaystyle mathbb {R} }$ so dass:

${displaystyle |x|geq 0}$
${Anzeigestil |x|=0LinksRechtsPfeil x=0}$
${Anzeigestil |xy|=|x|;|y|}$
${Anzeigestil |x y|leq |x| |y|}$

Dies ist möglich über ${Anzeigestil (-x)(-x)=x;x}$ daraus geschlossen werden ${Anzeigestil |-x|=|x|}$ .

Trivialer absoluter Wert

Der triviale Absolutwert ist definiert durch ${Anzeigestil |x|=0}$ wenn ${Anzeigestil x=0}$ und ${Anzeigestil |x|=1}$ wenn ${displaystyle xeq 0}$ .

Dies induziert die diskrete Metrik.

Äquivalenz absoluter Werte

Zwei absolute Werte ${displaystyle |.|_{1}}$ und ${displaystyle |.|_{2}}$ auf einer Sammlung ${Anzeigestil V}$ sind äquivalent zu ${displaystyle |x|_{1}<1Pfeil nach links |x|_{2}<1}$ .