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EIN Vektor (lateinisch: Träger) ist in der Mathematik ein Element von a Vektorraum, und damit ein wenig spezifisches Konzept. Vektorräume sind Verallgemeinerungen des gewöhnlichen dreidimensionalen Raums, in denen Punkte durch ihre drei Koordinaten${Anzeigestil x}$, ${Anzeigestil y}$ und ${Anzeigestil z}$. Solche Punkte, gedacht als Pfeile des Ursprung auf den Punkt ${Anzeigestil(x,y,z)}$, waren die ersten, die Vektor genannt wurden, ein Begriff, der durch William Rowan Hamilton im Jahr 1837. Ein solcher Pfeil setzt in die Geometrie und der Physik eine Größe, die sowohl Betrag als auch Richtung hat, wie z Verschiebung, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Leistung, und derartige. Nur der Nullvektor hat keine Richtung.

Darstellung eines Vektors

Um Vektoren von zu unterscheiden Skalar Mengen, Vektoren werden als Buchstaben mit einem Pfeil darüber notiert, wie z ${displaystyle {vec {a}}}$, manchmal auch als fetter Buchstabe, zum Beispiel ${displaystyle mathbf {a} }$. In dieser Notationskonvention ist die Länge des Vektors (${displaystyle |mathbf {a} |}$ oder ${displaystyle |{vec{a}}|}$) als von einem gewöhnlichen . angegeben ${Anzeigestil a}$.Ein Vektor wird ausgehend von seinem Anwendungspunkt als Pfeil gezeichnet.

Bei den verschiedenen Anwendungen wird unterschieden zwischen: freie Vektoren, Gleitvektoren, gebundene Vektoren und Platzieren von Vektoren.

Kostenlose Vektoren

Ein freier Vektor wird durch eine Richtung und eine Länge definiert. Ein freier Vektor kann überall in der Ebene oder im Raum gezeichnet werden: er bleibt derselbe Vektor Umgekehrt: Alle freien Vektoren mit gleicher Richtung und Länge sind eine Darstellung ein und desselben Vektors.

Gleitvektoren

Ein Gleitvektor hat eine feste Richtung und Länge, kann aber nur über seine Stütz- bzw. Traggeraden frei gleiten bzw. gleiten, also in Richtung des Vektors und in Gegenrichtung. Ein gleitender Vektor kann überall auf der Linie gezeichnet werden: Er bleibt derselbe Vektor. Zum Beispiel im Fall von a Paar Das Verschieben der beiden Kräfte über ihre Träger beeinflusst das Kupplungsmoment nicht, während eine seitliche Verschiebung dies tun würde.

Gebundener Vektor

Ein gebundener Vektor hat einen festen Angriffspunkt und eine feste Richtung und Länge.Der Angriffspunkt ist der Punkt, von dem der Vektor "abgeht". Beliebiger Funktionswert von a Vektorfeld kann als gebundener Vektor dargestellt werden.

Vektor platzieren

sehen Platzieren Sie den Vektor für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Ein Ortsvektor ist ein gebundener Vektor mit dem Ursprung als Ziel.Bei der Berechnung mit Ortsvektoren werden die Bezeichnungen für einen Punkt und seinen entsprechenden Ortsvektor oft synonym verwendet. Beispiel in einem xyz-Koordinatensystem: ${displaystyle {vec {OP}}=P=(p_{x},p_{y},p_{z})}$.

Der Vektor ${displaystyle mathbf {a} }$ in der nebenstehenden Abbildung kann geschrieben werden als ${displaystyle {vec {PQ}}}$. Wenn der Vektor ${displaystyle mathbf {a} }$ ist ein gebundener Vektor, is ${Anzeigestil P}$ das Ziel von ${displaystyle mathbf {a} }$.Die Figur repräsentiert einen Vektor im zweidimensionalen Raum. Man kann auch Vektoren in Räumen mit anderen Dimensionen betrachten.Beachte, dass man einen freien Vektor auf verschiedene Weise zeichnen kann. Wenn Sie den gleichen Vektor mehrmals auf das gleiche Bild zeichnen, haben Sie mehrere parallele Pfeile gleicher Länge, die in die gleiche Richtung zeigen.Zwei freie Vektoren sind gleich, wenn sie die gleiche Größe und Richtung haben. Für gebundene Vektoren gibt es eine zusätzliche Anforderung, dass sie das gleiche Ziel haben müssen. Dadurch ist die grafische Darstellung eines gebundenen Vektors vollständig festgelegt: man kann den gleichen gebundenen Vektor nicht zweimal (an verschiedenen Stellen) auf ein Bild zeichnen. Die Vektoren ${displaystyle mathbf {a} }$ und ${displaystyle mathbf {b} }$ in der folgenden Abbildung sind bei freien Vektoren ähnlich, aber anders bei gebundenen Vektoren, da sie unterschiedliche Ziele haben.

Vektoren im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum

Ein Vektor im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum (der dreidimensionale euklidischer Raum, klassischer physikalischer Raum) kann nach Wahl von a Base, vertreten sein durch ${Anzeigestil 3}$Komponenten. Lassen Sie die Vektoren ${displaystyle mathbf {u} _{1}}$, ${displaystyle mathbf {u} _{2}}$ und ${displaystyle mathbf {u} _{3}}$ bilden die Basis des Raumes. Dann (nach Definition der Basis) jeder Vektor .can ${displaystyle mathbf {a} }$ geschrieben werden als lineare Kombination von ${displaystyle mathbf {u} _{1}}$, ${displaystyle mathbf {u} _{2}}$ und ${displaystyle mathbf {u} _{3}}$. Das bedeutet, dass es Zahlen gibt ${displaystyle a_{1}}$, ${displaystyle a_{2}}$ und ${displaystyle a_{3}}$ sei so ${displaystyle mathbf {a} =a_{1}mathbf {u} _{1} a_{2}mathbf {u} _{2} a_{3}mathbf {u} _{3}}$.^[1] Die Vektoren ${displaystyle a_{1}mathbf {u} _{1}}$, ${displaystyle a_{2}mathbf {u} _{2}}$ und ${displaystyle a_{3}mathbf {u} _{3}}$sind die Komponenten des Vektors ${displaystyle mathbf {a} }$. Die Zahlen ${displaystyle a_{1}}$, ${displaystyle a_{2}}$ und ${displaystyle a_{3}}$ heißt der Koordinaten oder Schlüsselfiguren von ${displaystyle mathbf {a} }$ relativ zur Basis ${displaystyle (mathbf {u} _{1},mathbf {u} _{2},mathbf {u} _{3})}$. Die Reihenfolge von ${displaystyle a_{1}}$, ${displaystyle a_{2}}$ und ${displaystyle a_{3}}$ ist wichtig. Wenn klar ist, um welche Basis es sich handelt, wird die Basis oft nicht erwähnt.

Zahlenraum

Im realen dreidimensionalen Koordinatenraum ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ ist die Standardbasis ${displaystyle (mathbf {e} _{1},mathbf {e} _{2},mathbf {e} _{3})}$ mit den Basisvektoren

${displaystyle {mathbf {e} }_{1}=(1,0,0), {mathbf {e} }_{2}=(0,1,0), {mathbf {e} }_{3} =(0,0,1),}$.

Geometrisch werden sie durch zueinander senkrechte Vektoren der Länge 1 dargestellt. Hierin können Längen und Winkel (siehe unten) definiert werden, die den geometrischen Konzepten entsprechen, was zu einem dreidimensionalen euklidischen Raum führt.

Umgekehrt kann man von einem dreidimensionalen ausgehen euklidischer Raum, mit gegebenen Begriffen von "Länge" und "Senkrecht", drei zueinander senkrechte Vektoren ${displaystyle {mathbf {e} }_{1}}$, ${displaystyle {mathbf {e} }_{2}}$ und ${displaystyle {mathbf {e} }_{3}}$ der Länge 1 als Basisvektoren, so dass ein Vektor mit seinen drei Koordinaten beschrieben werden kann.

In beiden Fällen ist das Ergebnis a Kartesisches Koordinatensystem mit den drei im ersten Satz genannten Basisvektoren, wobei jeder Vektor ${displaystyle mathbf {a} }$ kann als Linearkombination der Einheitsvektoren geschrieben werden:

${displaystyle {mathbf {a} }=a_{1}{mathbf {e} }_{1} a_{2}{mathbf {e} }_{2} a_{3}{mathbf {e} }_{3 }}$.

Die Richtung von ${displaystyle mathbf {e} _{1}}$ ist diejenige, in der die erste Koordinate zunimmt usw. Die Standardbasis wird auch genannt ${displaystyle (mathbf {e} _{x},mathbf {e} _{y},mathbf {e} _{z}).}$ Manchmal ist die Notation ${displaystyle (mathbf {i} ,mathbf {j} ,mathbf {k} )}$ benutzt. Alle drei haben die Länge 1.

Ein Vektor ${displaystyle mathbf {a} in mathbb {R} ^{3}}$ mit Koordinaten ${displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3})}$ ist nicht identisch mit dem Zeilenvektor${displaystyle { egin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}end{bmatrix}}}$ oder zum Spaltenvektor${displaystyle { egin{bmatrix}a_{1}/a_{2}/a_{3}end{bmatrix}}}$. Die Vektorräume der 1×3-Zeilenvektoren und der 3×1-Spaltenvektoren sind jedoch trivial isomorph mit dem ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$.

Gleichberechtigung

Zwei Vektoren sind verbunden, wenn sie den gleichen Betrag und die gleiche Richtung haben.^[2]

Äquivalent ist: Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie die gleichen Komponenten haben. Zwei Vektoren

${displaystyle {mathbf {a} }=a_{1}{mathbf {e} }_{1} a_{2}{mathbf {e} }_{2} a_{3}{mathbf {e} }_{3 }}$

und

${displaystyle {mathbf {b} }=b_{1}{mathbf {e} }_{1} b_{2}{mathbf {e} }_{2} b_{3}{mathbf {e} }_{3 }}$

sind also genau dann gleich, wenn

${displaystyle a_{1}=b_{1},quad a_{2}=b_{2},quad a_{3}=b_{3}}$

Addition von Vektoren, Parallelogrammregel

Die Addition von Vektoren kann anhand einer Zeichnung in einer Ebene erfolgen, in der beide liegen, die sogenannte Parallelogrammregel:

Zu ${displaystyle {vec {a}} {vec {b}}}$ konstruieren, man zeichnet ${displaystyle {vec {a}}}$ und ${displaystyle {vec {b}}}$ so dass die Pfeile, die diese Vektoren darstellen, vom gleichen Punkt abweichen. Dann wird ein Parallelogramm erstellt, wie in der Zeichnung gezeigt. Wenn man einen Pfeil zeichnet, der an der gleichen Stelle beginnt, wo ${displaystyle {vec {a}}}$ und ${displaystyle {vec{b}}}$ beginnend, und das geht zur gegenüberliegenden Ecke des Parallelogramms, erhält man eine Darstellung von ${displaystyle {vec {a}} {vec {b}}}$.

Summe mehrerer Vektoren^[3]

Es gibt auch eine andere Möglichkeit, ${displaystyle {vec {a}} {vec {b}}}$ konstruieren (Kopf-an-Schwanz-Methode): wenn der Pfeil, der ${displaystyle {vec {a}}}$ repräsentiert, geht von P nach Q, du zeichnest ${displaystyle {vec {b}}}$ damit der Pfeil, der ${displaystyle {vec {b}}}$ repräsentiert, beginnt in Q. Wenn dann der Pfeil, der ${displaystyle {vec{b}}}$ repräsentiert, stoppt in R, der Pfeil von P nach R ist eine Darstellung des Vektors ${displaystyle {vec {a}} {vec {b}}}$. Das folgende Bild veranschaulicht dies:

Diese Zeichnung illustriert auch sofort die Chasles-Möbius-Gleichheit:

${displaystyle {overrightarrow {PQ}} {overrightarrow {QR}}={overrightarrow {PR}}}$

Dieses Verfahren ist auch auf mehrere Vektoren anwendbar.

Der Differenzvektor der Vektoren ${displaystyle mathbf {a} }$ und ${displaystyle mathbf {b} }$

Unterschied der Vektoren

Der Unterschied ${displaystyle mathbf {a} -mathbf {b} }$ der Vektoren ${displaystyle mathbf {a} }$ und ${displaystyle mathbf {b} }$ ist definiert als ${displaystyle mathbf {a} (-mathbf {b} )}$, in welchem ${displaystyle -mathbf {b} }$ der entgegengesetzte Vektor von ${displaystyle mathbf {b} }$ das heißt, der Vektor der gleichen Größe wie ${displaystyle mathbf {b} }$, jedoch mit entgegengesetzter Richtung (siehe Beispiel der Skalarmultiplikation).

Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Die Skalarmultiplikation sollte nicht mit dem Skalarprodukt verwechselt werden (siehe unten).

Um den Unterschied zwischen Zahlen und Vektoren anzuzeigen, wird eine Zahl auch als „Skalar“ bezeichnet: Die Indexzahlen eines Vektors sind Skalare. Wenn man ein Vektor ist ${displaystyle mathbf {a} }$ multipliziert mit einem Skalar ${displaystyle k}$, erhält man einen neuen Vektor ${displaystyle kmathbf {a} }$. Die Größe von ${displaystyle kmathbf {a} }$ ist ${displaystyle |k||mathbf {a} |}$ und die Richtung ist gleich der von ${displaystyle mathbf {a} }$ wenn ${displaystyle k>0}$, und wird umgekehrt, wenn ${Anzeigestil k<0}$. Das folgende Bild veranschaulicht die Konzepte:

Hier ist ${displaystyle -mathbf {a} }$ gleicht ${displaystyle (-1)cdot mathbf {a} }$. wenn ${displaystyle mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})}$ in Bezug auf eine bestimmte Grundlage, in Bezug auf dieselbe Grundlage, ${displaystyle kmathbf {a} =(ka_{1},ka_{2},ka_{3})}$.

Norm eines Vektors

Das Länge, Größe oder Norm des Vektors ${displaystyle mathbf {a} }$ wird bezeichnet mit ${displaystyle |mathbf {a} |}$ oder, seltener, mit ${displaystyle |mathbf {a} |}$. Die Norm eines Vektors ist nicht zu verwechseln mit der Absolutwert (eine skalare "Norm").

Dies entspricht dem gängigen Abstandskonzept, dem Euklidische Entfernung, der Begriff der Distanz bestimmt durch die Innenprodukt von Vektoren (siehe unten). Der Standard des Vektors ${displaystyle mathbf {a} }$ kann berechnet werden mit:

${displaystyle |mathbf {a} |={sqrt {a_{1}^{2} a_{2}^{2} a_{3}^{2}}}={sqrt {mathbf {a} cdot mathbf {a } }}}$

was eine Folge davon ist Satz des Pythagoras da die Basisvektoren${displaystyle mathbf {e} _{1},mathbf {e} _{2},mathbf {e} _{3}}$ sind orthogonale Einheitsvektoren.

Internes Produkt

sehen internes Produkt für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Es internes Produkt (ebenfalls Innenprodukt, Skalarprodukt oder Skalarprodukt genannt) zweier Vektoren ${displaystyle mathbf {a} }$ und ${displaystyle mathbf {b} }$ sagt etwas über die Ecke zwischen den Vektoren. Das ist weil:

${displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} =|mathbf {a} ||mathbf {b} |cos {heta }}$,

in welchem ${Anzeigestil-Heta}$ der Winkel zwischen ${displaystyle mathbf {a} }$ und ${displaystyle mathbf {b} }$ ist. Manchmal wird diese Formel als Definition verwendet und der Winkelbegriff muss bereits bekannt sein. Als Definition wird auch verwendet:

${displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} =a_{1}b_{1} a_{2}b_{2} a_{3}b_{3}}$,

in welchem ${displaystyle mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})}$ und ${displaystyle mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})}$.

Die Ecke ${Anzeigestil-Heta}$ zwischen den Vektoren ${displaystyle mathbf {a} }$ und ${displaystyle mathbf {b} }$ ist dann:

${displaystyle heta = arccos left({frac {mathbf {a} cdot mathbf {b} }{|mathbf {a} ||mathbf {b} |}}ight)}$.

Wenn mindestens einer der beiden Vektoren der Nullvektor ist, ist das Skalarprodukt Null und der Winkel unbestimmt.

Kreuzprodukt

sehen Kreuzprodukt für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Für zwei Vektoren ${displaystyle {vec {a}}}$ und ${displaystyle {vec{b}}}$ im gewöhnlichen dreidimensionaleuklidischVektorraum existiert auch das Kreuzprodukt (auch genannt Vektorprodukt, aus produkt, externes Produkt oder vektorielles Produkt erwähnt)

${displaystyle {vec {a}} imes {vec {b}}}$.

Das Kreuzprodukt ist ein Vektor aufrecht auf beiden Größenvektoren gleich der Fläche der Parallelogramm durch die beiden Vektoren gebildet, und die Richtung nach Korkenzieherregel (auch Rechts-Hand-Regel genannt).

Ausgedrückt in der Koordinaten von ${displaystyle {vec {a}}}$ und ${displaystyle {vec {b}}}$ das Kreuzprodukt ist:

${displaystyle {vec {a}} imes {vec {b}}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},a_{3}b_{1}-a_{1}b_{ 3},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})}$.

Beachten Sie, dass das Kreuzprodukt nicht kommutativ ist, aber antikommutativ:

${displaystyle {vec {b}} imes {vec {a}}=-({vec {a}} imes {vec {b}})}$.

Einheitsvektor

Die Normierung eines Vektors ${displaystyle mathbf {a} }$ in einem Einheitsvektor ${displaystyle mathbf {hut {a}} }$

sehen Einheitsvektor für den Hauptartikel zu diesem Thema.

EIN Einheitsvektor ist ein Vektor mit a Norm gleich 1. Einheitsvektoren werden hauptsächlich verwendet, um eine Richtung anzuzeigen. Ein Vektor mit beliebiger Norm ungleich 0 kann durch seine Norm geteilt werden, um einen Einheitsvektor zu erzeugen. Dieser Vorgang wird als normalisieren eines Vektors. Ein Einheitsvektor wird manchmal durch ein Caretzeichen angezeigt, wie in ${displaystyle mathbf {hut {a}} }$ oder auch von ${displaystyle {vec {e_{a}}}}$.

Zu einem Vektor ${displaystyle mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})}$ zum Normalisieren dividiere den Vektor durch seine Länge ${displaystyle |mathbf {a} |}$:

${displaystyle mathbf {hat {a}} ={frac {1}{|mathbf {a} |}}mathbf {a} =left({frac {a_{1}}{|mathbf {a} |}},{ frac {a_{2}}{|mathbf {a} |}},{frac {a_{3}}{|mathbf {a} |}}ight)}$

Nullvektor

sehen Nullvektor für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Das Nullvektor ist der Vektor der Länge Null. Im dreidimensionalen euklidischen Raum ist es der Vektor mit allen Koordinaten gleich 0, also der Vektor (0,0,0). Der Nullvektor wird allgemein mit bezeichnet ${displaystyle {vec {0}}}$, mit ${displaystyle mathbf {0} }$, oder einfach mit 0. Im Gegensatz zu allen anderen Vektoren hat der Nullvektor keine Richtung und kann nicht normalisiert werden (d. h. es gibt keinen Einheitsvektor, der a mehrere ist vom Nullvektor). Die Summe des Nullvektors und des einzigen Vektors ${displaystyle mathbf {a} }$ ist ${displaystyle mathbf {a} }$ selbst, das heißt, das ${displaystyle mathbf {0} mathbf {a} =mathbf {a} }$.

Vektoren in der Physik

In der Physik wird unterschieden zwischen "skalaren" Größen" und "vektorielle Größen". Der Unterschied besteht darin, dass eine skalare Größe keine Richtung hat und eine vektorielle Größe. Sie sind grundsätzlich dreidimensional, aber für Dinge, die in einer Ebene stattfinden, können sie auch als zweidimensional angesehen werden.

Beispiele für Skalare aus der Physik sind: Masse, Volumen, Temperatur, elektrisches Potenzial, Gravitationspotential.

Beispiele für Vektorgrößen sind:

• Übersetzungsvektor, Verschiebungsvektor
• Geschwindigkeit
• Beschleunigung
• Leistung
• Impuls
• schlagen
• Drehimpuls
• Kraftmoment

In der Physik gibt es auch Vektorfelder. Dies sind Felder im Raum, bei denen der Betrag und die Richtung des Vektors an einem Punkt ${Anzeigestil(x,y,z)}$ eine Funktion der Position sein ${Anzeigestil(x,y,z)}$.Beispiele sind:

• Windfeld: Dieses Vektorfeld zeigt die Windrichtung und -stärke an jedem Standort an.
• Platzieren Sie den Vektor
• Schwerkraftfeld
• Magnetfeld
• elektrisches Feld
• elektrische Stromdichte

Bei den meisten Vektoren in der Physik ist der Betrag (Norm, siehe oben) keine dimensionslose Zahl, sondern eine Größe, die sich als Zahl mit einer Einheit ausdrücken lässt, bei einem Windfeld beispielsweise 20 km /h.

Vektorräume allgemein

Im Rahmen der Lineare Algebra ist ein Vektor ein Element von a Vektorraum.

Der Fall des dreidimensionalen euklidischen Raums wurde oben diskutiert. Der zweidimensionale euklidische Raum verläuft analog, außer dass es kein Kreuzprodukt gibt.

Für einen Vektorraum über a endlicher Körper (Ned) / endlicher Körper (Be) oder darüber Körper (niederländischer Begriff; in Belgien: Feld) der komplexe Zahlen Vektoren haben weder Betrag noch Richtung. Es ist auch schwierig, diese Vektoren zu zeichnen.

Siehe auch

• Zeilenvektor
• Spaltenvektor

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