WikiDer > Arifmetik giperbolik 3-manifold

Yilda matematika, aniqrog'i guruh nazariyasi va giperbolik geometriya, Arifmetik klein guruhlari ning maxsus sinfi Klein guruhlari yordamida qurilgan buyurtmalar yilda kvaternion algebralari. Ular alohida misollardir arifmetik guruhlar. An arifmetik giperbolik uch qirrali qismidir giperbolik bo'shliq ${displaystyle mathbb {H} ^ {3}}$ arifmetik Kleinian guruhi tomonidan. Ushbu manifoldlar orasida juda chiroyli yoki ajoyib misollar mavjud.

Ta'rif va misollar

Kvaternion algebralari

Maydon ustidagi kvaternion algebra ${displaystyle F}$ to'rt o'lchovli markaziy oddiy ${displaystyle F}$-algebra. Kvaternion algebrasi asosga ega ${displaystyle 1, i, j, ij}$ qayerda ${displaystyle i ^ {2}, j ^ {2} F ^ {imes}} da$ va ${displaystyle ij = -ji}$.

Kvaternion algebrasi ikkiga bo'lingan deyiladi ${displaystyle F}$ agar u an kabi izomorfik bo'lsa ${displaystyle F}$-algebra matritsalar algebrasiga ${displaystyle M_ {2} (F)}$; algebraik yopiq maydon ustidagi kvaternion algebra har doim bo'linadi.

Agar ${displaystyle sigma}$ ning joylashtirilishi ${displaystyle F}$ dalaga ${displaystyle E}$ biz belgilaymiz ${displaystyle Aotimes _ {sigma} E}$ tomonidan olingan algebra skalerlarni kengaytirish dan ${displaystyle F}$ ga ${displaystyle E}$ biz qaerda ko'rayapmiz ${displaystyle F}$ ning pastki maydoni sifatida ${displaystyle E}$ orqali ${displaystyle sigma}$.

Arifmetik klein guruhlari

Ning kichik guruhi ${displaystyle mathrm {PGL} _ {2} (mathbb {C})}$ deb aytilgan kvaternion algebrasidan olingan agar uni quyidagi qurilish orqali olish mumkin bo'lsa. Ruxsat bering ${displaystyle F}$ bo'lishi a raqam maydoni ichiga aniq ikkita ko'milgan narsa kiradi ${displaystyle mathbb {C}}$ uning tasviri mavjud emas ${displaystyle mathbb {R}}$ (biri ikkinchisiga konjugat). Ruxsat bering ${displaystyle A}$ quaternion algebra bo'ling ${displaystyle F}$ har qanday ko'mish uchun ${displaystyle au: F o mathbb {R}}$ algebra ${displaystyle Aotimes _ {au} mathbb {R}}$ uchun izomorfik Xemilton kvaternionlari. Keyin bizga buyurtma kerak ${displaystyle {mathcal {O}}}$ yilda ${displaystyle A}$. Ruxsat bering ${displaystyle {mathcal {O}} ^ {1}}$ elementlar guruhi bo'ling ${displaystyle {mathcal {O}}}$ kamaytirilgan norma 1 ga ruxsat bering ${displaystyle Gamma}$ uning tasviri bo'lishi ${displaystyle M_ {2} (mathbb {C})}$ orqali ${displaystyle phi}$. Keyin olingan Kleinian guruhini rasm sifatida ko'rib chiqamiz ${displaystyle mathrm {PGL} _ {2} (mathbb {C})}$ ning ${displaystyle phi ({mathcal {O}} ^ {1})}$.

Ushbu guruhlarning asosiy haqiqati shundaki, ular alohida kichik guruhlar bo'lib, ular uchun cheklangan kovolume mavjud Haar o'lchovi kuni ${displaystyle mathrm {PGL} _ {2} (mathbb {C})}$. Bundan tashqari, yuqorida ko'rsatilgan qurilish, agar algebra bo'lsa, kokompakt kichik guruhni beradi ${displaystyle A}$ bo'linmagan ${displaystyle F}$. Diskretlik haqiqatning darhol natijasidir ${displaystyle A}$ faqat o'zining murakkab ko'milishlarida bo'linadi. Kovulumning cheklanganligini isbotlash qiyinroq.^[1]

An arifmetik Kleinian guruhi ning har qanday kichik guruhi ${displaystyle mathrm {PGL} _ {2} (mathbb {C})}$ qaysi mutanosib kvaternion algebrasidan olingan guruhga. Ushbu ta'rifdan darhol kelib chiqadiki, arifmetik klein guruhlari diskret va cheklangan kovulyumdir (demak, ular panjaralar yilda ${displaystyle mathrm {PGL} _ {2} (mathbb {C})}$).

Misollar

Misollar olish orqali keltirilgan ${displaystyle F}$ bo'lish xayoliy kvadratik maydon, ${displaystyle A = M_ {2} (F)}$ va ${displaystyle {mathcal {O}} = M_ {2} (O_ {F})}$ qayerda ${displaystyle O_ {F}}$ bo'ladi butun sonlarning halqasi ning ${displaystyle F}$ (masalan ${displaystyle F = mathbb {Q} (i)}$ va ${displaystyle O_ {F} = mathbb {Z} [i]}$). Shunday qilib olingan guruhlar quyidagilardir Byanki guruhlari. Ular kokompakt emas va Byanki guruhining konjugatiga mos kelmaydigan har qanday arifmetik Kleinian guruhi kokompaktdir.

Agar ${displaystyle A}$ xayoliy kvadratik sonlar maydoni bo'yicha har qanday kvaternion algebra ${displaystyle F}$ matritsa algebra uchun izomorf bo'lmagan, keyin buyruqlarning birlik guruhlari ${displaystyle A}$ ixchamdir.

Arifmetik manifoldlarning iz maydoni

O'zgarmas iz maydoni Klein guruhining (yoki asosiy guruhning monodromiya tasviri orqali, giperbolik manifoldning) - bu uning elementlari kvadratlari izlari natijasida hosil bo'lgan maydon. Asosiy guruhlari sonli maydon bo'yicha kvaternion algebrasidan olingan kollektor bilan mutanosib bo'lgan arifmetik manifoldda ${displaystyle F}$ o'zgarmas iz maydoni tenglashadi ${displaystyle F}$.

Aslida arifmetik manifoldlarni ularning asosiy guruh elementlari izlari orqali tavsiflash mumkin. Kleinian guruhi bu quyidagi uchta shart bajarilgan taqdirdagina arifmetik guruhdir:

• Uning o'zgarmas iz maydoni ${displaystyle F}$ to'liq bitta murakkab joyga ega bo'lgan raqamli maydon;
• Uning elementlari izlari algebraik butun sonlar;
• Har qanday kishi uchun ${displaystyle gamma}$ guruhda, ${displaystyle t = mathrm {Trace} (gamma ^ {2})}$ va har qanday ko'mish ${displaystyle sigma: F o mathbb {R}}$ bizda ... bor ${displaystyle | sigma (t) | leq 2}$.

Arifmetik giperbolik uch manifoldlarning geometriyasi va spektri

Hajmi formulasi

Hajmi uchun uchta arifmetik arifmetik ${displaystyle M = Gamma _ {mathcal {O}} ackslash mathbb {H} ^ {3}}$ kvaternion algebrasida maksimal tartibdan kelib chiqqan ${displaystyle A}$ raqam maydonida ${displaystyle f}$ bizda shunday ibora bor:^[2]

${displaystyle mathrm {vol} (M) = {frac {2 | D_ {F} | ^ {frac {3} {2}} cdot zeta _ {F} (2)} {2 ^ {2r + 1} cdot pi ^ {2r}}} cdot prod _ {{mathfrak {p}} | D_ {A}} (N ({mathfrak {p}}) - 1).}$

qayerda ${displaystyle D_ {A}, D_ {F}}$ ular diskriminantlar ning ${displaystyle A, F}$ mos ravishda, ${displaystyle zeta _ {F}}$ bo'ladi Dedekind zeta funktsiyasi ning ${displaystyle F}$ va ${displaystyle r = [F: mathbb {Q}]}$.

Yakuniy natijalar

Oldingi xatboshidagi hajm formulasining natijasi shuki

Berilgan ${displaystyle v> 0}$ eng katta sonli arifmetik giperbolik 3-manifoldlar mavjud, ularning hajmi kamroq ${displaystyle v}$.

Bu haqiqatdan farq qiladi giperbolik Dehn operatsiyasi cheksiz hajmli izometrik bo'lmagan giperbolik 3-manifoldlarni ishlab chiqarish uchun ishlatilishi mumkin. Xususan, xulosa shuki, giperbolik ko'p qirrali kollektor berilgan bo'lsa, eng ko'p sonda Dehn operatsiyalari arifmetik giperbolik manifoldni keltirib chiqarishi mumkin.

Ajoyib arifmetik giperbolik uch manifold

The Bir necha hafta eng kichik hajmning giperbolik uch qirrali qismidir^[3] va Meyerhoff ko'p qirrali keyingi eng kichik jildlardan biri.

Uch sohasidagi to'ldiruvchi sakkizinchi raqamli tugun arifmetik giperbolik uch - ko'p qirrali^[4] va barcha giperbolik uch manifoldlar orasida eng kichik hajmga ega.^[5]

Spektr va Ramanujan taxminlari

The Ramanujan gumoni avtomorfik shakllar uchun ${displaystyle mathrm {GL} (2)}$ sonli maydonda arifmetik uchta ko'p qirrali (kvaternion algebrasidan olingan) har qanday muvofiqlik qopqog'i uchun Laplas operatorining spektri mavjudligini bildiradi. ${displaystyle [1, + infty)}$.

Uch o'lchovli topologiyadagi arifmetik manifoldlar

Thurstonning ko'plab taxminlari (masalan, deyarli Haken gumoni), endi barchasi haqiqat ekanligi ma'lum Yan Agol,^[6] birinchi navbatda arifmetik manifoldlar uchun maxsus usullar yordamida tekshirildi.^[7] Ba'zi arifmetik holatlarda Virtual Haken gipotezasi umumiy usullar bilan tanilgan, ammo uning echimiga faqat arifmetik vositalar bilan erishish mumkinligi ma'lum emas (masalan, birinchi Betti raqami bilan muvofiqlik kichik guruhini topish orqali).

Arifmetik manifoldlardan birinchi Betti soni yo'qolib ketadigan katta in'ektsiya radiusi bo'lgan manifoldlarga misollar keltirish uchun foydalanish mumkin.^[8][9]

Izoh Uilyam Thurston bu arifmetik manifoldlar "... ko'pincha o'ziga xos go'zallikka ega bo'lib tuyuladi".^[10] Buni ushbu manifoldlar uchun topologiya va geometriya o'rtasidagi bog'liqlik umuman olganda ancha bashorat qilinishini ko'rsatadigan natijalar bilan tasdiqlash mumkin. Masalan:

• Berilgan bir jins uchun g eng ko'p sonli arifmetik (uyg'unlik) giperbolik 3-manifoldlar mavjud, ular aylana bo'ylab tola bilan tola qiladi. g.^[11]
• Berilgan Heegaard turiga ega bo'lgan ko'p sonli arifmetik (muvofiqlik) giperbolik 3-manifoldlar mavjud.^[12]

Izohlar

Adabiyotlar

• Maklachlan, Kolin; Reid, Alan V. (2003), Giperbolik 3-manifoldlarning arifmetikasi, Matematikadan magistrlik matnlari, 219, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98386-8, JANOB 1937957