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Discriminant

In dem Algebra ist der diskriminierend (Latein: diskriminierend, unterscheiden) von a Polynom ein besonderer Ausdruck in der Koeffizienten die wichtige Informationen über die Anzahl der Nullen. Die Diskriminante ist nur dann gleich Null, wenn das Polynom eine oder mehrere mehrfache (komplexe) Nullen hat.

Die Diskriminante ist hauptsächlich aus der Theorie der . bekannt quadratische Gleichungen, um die Nullstellen von Polynomen zweiten Grades zu bestimmen.

Quadratische Gleichung

Standort von a Parabel bei welchem

{Anzeigestil a>0}

(Talparabel), für Diskriminante

{Anzeigestil D}

positiv, 0 und negativ

Die allgemeine Form von a quadratische Gleichung mit Real Koeffizienten ${Anzeigestil a, b}$ und ${Anzeigestil c}$ ist:

{displaystyle ax^{2} bx c=0}

Die Diskriminante ist in diesem Fall die Zahl:

{displaystyle D=a^{2}(x_{1}-x_{2})^{2}=b^{2}-4ac}

in welchem ${displaystyle x_{1},x_{2}}$ sind die (komplexen) Wurzeln.

Der Wert von ${Anzeigestil D}$ sagt etwas über die Lösungssatz der Gleichung:

wenn ${Anzeigestil D>0}$ ist, es gibt zwei verschiedene Real Lösungen ${displaystyle x_{1}}$ und ${displaystyle x_{2}}$ (Abb.: Fall ein).
wenn ${Anzeigestil D=0}$ , gibt es zwei gleiche reelle Lösungen ${displaystyle x_{1}=x_{2}}$ (Abb.: Fall B).
wenn ${Anzeigestil D<0}$ d.h. es gibt keine reellen Lösungen der Gleichung (Abb.: Fall C), es gibt zwei konjugieren Komplex Lösungen.

Beispiele

Fall A: d > 0

Betrachten Sie die folgende Gleichung:

{Anzeigestil x^{2}-5x 6=0}

Dies ist eine quadratische Gleichung mit ${Anzeigestil a=1,b=-5}$ und ${Anzeigestil c=6.}$ Die Diskriminante lautet also:

{displaystyle D=b^{2}-4ac=25-4 imes 6=1>0}

Die obige Gleichung hat also zwei Lösungen, nämlich ${displaystyle x_{1}=3}$ und ${displaystyle x_{2}=2.}$ Diese finden Sie mit dem Wurzelformel.

Fall B: d = 0

Betrachten Sie nun die quadratische Gleichung:

{Anzeigestil x^{2}-4x 4=0}

Jetzt ist ${displaystyle a=1}$ und ${displaystyle b=-4}$ und ${Anzeigestil c=4}$ . Es folgt dem ${Anzeigestil D=0.}$ Die Gleichung hat also eine (mehrfache) reelle Lösung, nämlich ${Anzeigestil x=2.}$

Fall C: d < 0

Betrachten Sie abschließend die Gleichung:

{Anzeigestil 2x^{2} 4=0}

Dann gilt ${Anzeigestil a=2,b=0}$ und ${Anzeigestil c=4.}$ Es folgt dem ${Anzeigestil D=-32<0.}$ Die Gleichung hat also keine reellen Lösungen. Die Gleichung lässt sich komplex lösen:

{displaystyle x=pm i{sqrt {2}}}

Gleichung dritten Grades

Die allgemeine kubische Gleichung in kanonischer Form lautet:

{Anzeigestil z^{3} pz q=0}

Die Diskriminante davon ist die Zahl:

{Displaystil D=-4p^{3}-27q^{2}}

Wenn die Diskriminante einer solchen Gleichung mit reellen Koeffizienten streng negativ ist, hat die Gleichung genau eine reelle Wurzel. Wenn die Diskriminante streng positiv ist, genau drei verschiedene reelle Nullstellen. Der Wert Null entspricht zwei übereinstimmenden Wurzeln, die Anzahl der verschiedenen Wurzeln ist dann eins oder zwei.

Beispiele

Die folgenden Gleichungen haben genau eine reelle Wurzel. Ihre Diskriminanten sind jeweils ${Anzeigestil -2}$ und ${Anzeigestil -1.}$

{Anzeigestil z^{3} z 1=0}

{Anzeigestil z^{3}-1=(z-1)(z^{2} z 1)=0}

Die erste Gleichung hat eine eindeutige irrationale reelle Wurzel zwischen ${Anzeigestil -1}$ und ${Anzeigestil 0,}$ die zweite Gleichung hat die einzige reelle Wurzel ${Anzeigestil z=1.}$

Die folgenden Gleichungen haben genau drei reelle Wurzeln. In der ersten Gleichung sind es die ganzen Zahlen ${Anzeigestil 0,-1}$ und ${Anzeigestil 1;}$ die zweite Gleichung beinhaltet irrationale Wurzeln.