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EIN Automorphismus, aus dem Griechischen: αὐτός, selbst und . bilden, ist in der Mathematik ein bijektivBild von einem Objekt zu sich selbst, das die Struktur des Objekts, mit anderen Worten, a Isomorphismus vom Objekt zu sich selbst.

Automorphismus-Gruppe

Weil die Komposition von zwei Automorphismen ist wieder ein Automorphismus und die invers eines Automorphismus ist auch ein Automorphismus, die Automorphismen eines festen Objekts bilden a Gruppe, das Automorphismus-Gruppe, des Objekts. Das Studium dieser Gruppen spielt in vielen Zweigen der Mathematik eine wichtige Rolle, insbesondere in der Galois-Theorie ist das zentrale Untersuchungsobjekt eine Gruppe von Automorphismen von a Körper.

Die Automorphismusgruppe einer Gruppe ${Anzeigestil G}$ wird bezeichnet mit ${displaystyle mathrm {Aut} (G)}$ und ist somit definiert durch:

${displaystyle mathrm {Aut} (G)={varphi :G o Gmid varphi (gh)=varphi (g)varphi (h){ ext{ für alle }}g,hin G}.}$

Dass dies tatsächlich selbst eine Gruppe ist ${displaystyle (mathrm {Aut} (G),circ )}$ ist, mit wenn Gruppenbearbeitung die Zusammensetzung der Bilder, folgt aus dem Beweis unten.

• ${displaystyle mathrm {Aut} (G)eq varnothing }$, weil die identisches Bild${Displaystil-ID_{G}}$ ist ein Automorphismus (${Displaystil-ID_{G}(g)=g}$).
• ${displaystyle mathrm {Aut} (G)}$ wurde im Rahmen der Operation geschlossen ${displaystyle circ }$, denn die Zusammensetzung zweier Automorphismen ist auch ein Automorphismus: für ${displaystyle varphi ,psi in Mathrm {Aut} (G)}$ weil es für alle gilt ${displaystyle g,hin G}$

${Displaystyle (varphi circ psi) (gh) = varphi (psi (gh)) = varphi (psi (g)psi (h)) = varphi (psi (g)) varphi (psi (h)) = (varphi circ psi )(g)(varphi zirku psi )(h),}$So ${displaystyle varphi circ psi in Mathrm {Aut} (G)}$.

• Die Gruppenbearbeitungsbildkomposition ist assoziativ.
• Es gibt ein Einheitselement, das das identische Bild ist ${Displaystil-ID_{G}}$, denn für ${Displaystyle Varphi in Mathrm {Aut} (G)}$ und alles ${displaystyle Gin G}$ gilt:

${displaystyle (id_{G}circ varphi)(g)=varphi (g)=(varphi circ id_{G})(g)}$.

• Jeder Isomorphismus und damit auch jeder Automorphismus ist invertierbar. Auch diese Inverse ist ein Automorphismus und damit Element von ${displaystyle mathrm {Aut} (G)}$.

Beispiele

• In dem Mengenlehre ist ein Automorphismus einer Menge ${Anzeigestil X}$ eine zufällige Permutation des Elemente von ${Anzeigestil X}$. Die Automorphismusgruppe von ${Anzeigestil X}$ wird auch als . bezeichnet Symmetriegruppe auf ${Anzeigestil X.}$

• In dem Grundrechenarten, wird die Menge von ganze Zahlen, ${displaystyle mathbb {Z} }$, gilt als eine Gruppe unter dem OperationZusatz. Diese Menge hat einen eindeutigen nicht-trivialen Automorphismus: Negation. Als ein Ring die Menge der ganzen Zahlen kennt nur den trivialen Automorphismus. Im Allgemeinen ist die Negation ein Automorphismus von any abelsche Gruppe, aber ist Negation kein Automorphismus eines Rings oder von a Feld.

• Ein Gruppenautomorphismus ist a Gruppenisomorphismus einer Gruppe für sich. Informell gesprochen kann ein Gruppenautomorphismus als Permutation der Gruppenelemente gesehen werden, so dass die Struktur bleibt unverändert. Für jede Gruppe ${Anzeigestil G}$ gibt es eine natürliche Gruppenhomomorphismus${displaystyle Go mathrm {Aut} (G)}$, dessen Bild die Gruppe ist ${displaystyle G o Mathrm {Gasthaus} (G)}$von interne Automorphismen ist und von denen die Ader es Center aus der Gruppe ${Anzeigestil G}$ ist. wenn ${Anzeigestil G}$ also a trival Zentrum kann die Gruppe in eine eigene Automorphismusgruppe eingebettet werden.

• In dem Lineare Algebra ist ein Endomorphismus von a Vektorraum${Anzeigestil V}$ ein linearer Operator${Anzeigestil V oder V}$. Ein Automorphismus ist a invertierbar linearer Operator an ${Anzeigestil V}$. Wenn der Vektorraum endlichdimensional ist, ist die Automorphismusgruppe von ${Anzeigestil V}$ ist das gleiche wie die allgemeine lineare Gruppe, ${displaystyle mathrm {GL} (V)}$.

• In dem Graphentheorie ist ein Automorphismus eines Graphen eine Permutation des Knoten der Seiten und Nichtseiten hält. Wenn zwei Knoten durch eine Seite verbunden sind, dann sind es auch ihre Bilder unter einer Permutation.

Siehe auch

• Homomorphismus
• Isomorphismus
• Endomorphismus