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In dem Lineare Algebra ist ein grundlegende Transformation ein Übergang von einem Base übereinander. Eine grundlegende Transformation wird beschrieben durch die Matrix der Basisänderung, ein Matrix die die Koordinaten relativ zu einer Basis in die Koordinaten relativ zur anderen Basis umwandelt.

Mit einem aktiven Koordinatentransformation die Koordinaten bleiben gleich und das Objekt ändert sich (Lage, Größe und/oder Form usw.), im passiven Modus ändern sich die Koordinaten und das Objekt bleibt gleich. Eine Basistransformation ist also eine passive Koordinatentransformation, also eine lineare.

Definition

Sie ${Anzeigestil V}$ ein Vektorraum mit Dimension ${displaystyle n}$ über die Körper${Anzeigestil K}$ und ${displaystyle B={b_{1},ldots ,b_{n}}}$ und ${displaystyle C={c_{1},ldots ,c_{n}}}$ zwei Basen von ${Anzeigestil V}$. Die Vektoren aus ${Anzeigestil C}$ kann ausgedrückt werden als lineare Kombination der Vektoren in der Basis ${Anzeigestil B}$

${displaystyle c_{r}=mu _{r1}b_{1} ldots mu _{rn}b_{n}=summe _{k=1}^{n}mu _{rk}b_{k}}$.

Darin sind die ${displaystyle n^{2}}$ Zahlen ${displaystyle (mu _{rk})}$ die Koordinaten der Basisvektoren aus ${Anzeigestil C}$ relativ zur Basis ${Anzeigestil B}$.

formell die grundlegende Transformation kann geschrieben werden als:

${displaystyle C^{T}={ egin{bmatrix}c_{1}/c_{2}/vdots /c_{n}end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}mu _{11}&mu _{12} &dots &mu _{1n}/mu _{21}&mu _{22}&dots &mu _{2n}/vdots &vdots &ddots &vdots /mu _{n1}&mu _{n2}&dots &mu _{nn}/end{bmatrix} }{ egin{bmatrix}b_{1}/b_{2}/vdots /b_{n}end{bmatrix}}=M^{T}B^{T}}$

Die Beziehung zwischen den beiden Basen wird also durch die Matrix ${displaystyle M=(mu_{rk})^{T}}$ die als Spalten die Koordinaten der Basisvektoren von hat ${Anzeigestil C}$ relativ zur Basis ${Anzeigestil B}$. Es gilt also:

${Anzeigestil C=BM}$

Koordinatentransformation

Koordinatentransformation ${Anzeigestil M}$

Ein Vektor ${displaystyle vin V}$ hat die Darstellungen bezüglich beider Basen:

${displaystyle v= eta _{1}b_{1} ldots eta _{n}b_{n}=gamma _{1}c_{1} ldots gamma _{n}c_{n}}$

Die Beziehung zwischen den Koordinaten ${displaystyle eta _{1},ldots , eta _{n}}$ relativ zu ${Anzeigestil B}$ und die Koordinaten ${displaystyle gamma _{1},ldots ,gamma _{n}}$ relativ zu ${Anzeigestil C}$ ist aus der Beziehung zu entnehmen:

${displaystyle v=Summe _{k=1}^{n} eta _{k}b_{k}=Summe _{r=1}^{n}gamma _{r}c_{r}=Summe _{r =1}^{n}Gamma _{r}Summe _{k=1}^{n}mu _{rk}b_{k}=Summe _{k=1}^{n}Summe _{r=1 }^{n}gamma _{r}mu _{rk}b_{k}}$

Da ein Vektor nur auf eine Weise als Linearkombination von Basisvektoren geschrieben werden kann, muss daher gelten:

${displaystyle eta _{k}=Summe _{r=1}^{n}gamma _{r}mu _{rk}}$

Diese Beziehung ist eine lineare Abbildung ${Displaystil K^{n} oder K^{n}}$:

${displaystyle eta =( eta _{1}, eta _{2},ldots, eta _{n})=(gamma _{1},gamma _{2},ldots ,gamma _{n})(mu _ {rk})=gamma M^{T}}$,

oder:

${displaystyle eta ^{T}=Mgamma ^{T}}$

Umgekehrt:

${Displaystil-Gamma ^{T}=M^{-1} eta ^{T},}$

eine Relation, die die (neuen) Koordinaten relativ zu . definiert ${Anzeigestil C}$ ausgedrückt in den (alten) Koordinaten bezüglich ${Anzeigestil B}$.

Die beiden durch die Matrizen beschriebenen Bilder ${Anzeigestil M}$ und ${Displaystil M^{-1}}$ werden genannt Koordinatentransformationen, und jede der beiden Matrizen wird zu Matrix der Basisänderung erwähnt. Die Koordinatentransformation kann ausgedrückt werden in Koordinationen${displaystyle mathrm {K} _{B}}$ und ${displaystyle mathrm {K}_{C}}$:

${displaystyle M=mathrm {K} _{B}mathrm {K} _{C}^{-1}}$

Im Vergleich zur Basistransformation

${Anzeigestil C=BM}$

es gilt also:

${Displaystil-Gamma ^{T}=M^{-1} eta ^{T}}$

Dies zeigt, dass die Basisvektoren transformiert werden mit ${Anzeigestil M}$ und die entsprechenden Koordinaten mit ${Displaystil M^{-1}}$. Dies ist nicht verwunderlich, denn wenn Sie beispielsweise die Basisvektoren länger machen, werden die entsprechenden Koordinaten entsprechend kleiner. Aus diesem Grund werden Vektoren zu Kontravariante erwähnt.

Tensor-Notation

Im Tensor-Notation mit Einstein-Notation, wobei ein lateinischer Buchstabe mit Index einen Vektor für jeden Indexwert darstellt, zusammengefasst:

wenn

${displaystyle c_{r}=mu_{r}^{k}b_{k}}$

und

${displaystyle v=eta ^{k}b_{k}=gamma ^{k}c_{k}}$

als

${displaystyle eta ^{k}=gamma ^{r}mu _{r}^{k}}$

Lineare Transformation

EIN lineare Transformation des linearen Raums ${Anzeigestil V}$ wird für die basis ${Anzeigestil B}$ repräsentiert durch die Matrix ${Displaystil A_{B}}$ und für die grundlagen ${Anzeigestil C}$ durch die Matrix ${Displaystil A_{C}}$. Es gilt:

${Displaystil A_{C}=M^{-1}A_{B}M}$

Siehe auch

• Beispiel für einen zweidimensionalen Funktionsraum - mit einem Beispiel einer grundlegenden Transformation