WikiDer > Matrixmultiplikation

In dem Lineare Algebra ist Matrix-Multiplikation eine Operation zwischen zwei Matrizen was als Ergebnis eine neue Matrix ergibt, die als das (Matrix-)Produkt der beiden bezeichnet wird. Nehmen wir die beiden Matrizen als lineare Bilder, dann ist das Matrixprodukt die lineare Abbildung, die zur Zusammensetzung der beiden linearen Abbildungen gehört.

Definition

Matrixmultiplikation einer Matrix ${Anzeigestil A}$ mit einer Matrix ${Anzeigestil B}$ ist nur möglich, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist. Nehmen Sie daher an, dass ${Anzeigestil A}$ ein ${displaystyle mimen n}$-Matrix ist und ${Anzeigestil B}$ ein ${Anzeigestil n imes p}$-Matrix. Es Matrixprodukt${Anzeigestil AB}$ ist dann a ${displaystyle m imes p}$Matrix gegeben durch:

${displaystyle (AB)_{ij}=Summe _{r=1}^{n}a_{ir}b_{rj}=a_{i1}b_{1j} a_{i2}b_{2j} cdots a_{in }b_{nj}}$

für jedes Paar ${Anzeigestil i}$ und ${Anzeigestil j.}$ Hier steht ${Displaystil (AB)_{ij}}$ für das Element in Position ${Anzeigestil (i, j)}$ im Matrixprodukt ${Displaystil AB.}$

Die folgende Abbildung veranschaulicht die Verwendung des Elements ${Displaystil (AB)_{12}}$ von ${Anzeigestil AB}$ bestimmt, wenn ${Anzeigestil AB}$ ist eine 4x2-Matrix und ${Anzeigestil B}$ eine 2脳3-Matrix. Jedes Paar auf dem Pfad des Pfeils wird multipliziert und die Produkte werden addiert. Die Position der resultierenden Zahl in ${Anzeigestil AB}$ entspricht der berücksichtigten Zeile und Spalte.

${displaystyle (AB)_{12}=Summe _{r=1}^{2}a_{1r}b_{r2}=a_{11}b_{12} a_{12}b_{22}}$

Ein funktionierendes Beispiel für die Matrixmultiplikation ist das folgende:

${displaystyle { egin{bmatrix}1&2/4&3end{bmatrix}}{ egin{bmatrix}1&2&3/3&-4&7end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}1 imes 1 2 imes 3&1 imes 2 2 imes (-4)&1 imes 3 2 mal 7/4 mal 1 3 mal 3&4 mal 2 3 mal (-4)&4 mal 3 3 mal 7end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}7&-6&17/13&-4&33end{bmatrix}}}$

Lineares Bild

EIN ${displaystyle mimen n}$-matrix kann als lineare Abbildung des Raums von Spaltenvektoren mit ${displaystyle n}$ Elemente in den Raum von Spaltenvektoren mit ${displaystyle m}$ Elemente, oder durch die trivialen Isomorphismen zwischen Spaltenvektoren und Tupeln, als lineare Abbildung von ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ zu ${displaystyle mathbb {R} ^{m}}$. Das Matrixprodukt zweier Matrizen ist dann die Zusammensetzung beider Bilder.

In der folgenden Berechnung repräsentiert die genannte Matrix beispielsweise den Spaltenvektor ${displaystyle { egin{bmatrix}x/y/send{bmatrix}}}$ aus an:

${displaystyle { egin{bmatrix}1&2&3/3&-4&7end{bmatrix}}{ egin{bmatrix}x/y/zend{bmatrix}}={ egin{bmatrix}x 2y 3z/3x-4y 7zend{bmatrix}}}$

Die Matrix in der folgenden Berechnung zeigt ${displaystyle { start{bmatrix}a/bend{bmatrix}}}$ aus an:

${displaystyle { egin{bmatrix}1&2/4&3end{bmatrix}}{ egin{bmatrix}a/bend{bmatrix}}={ egin{bmatrix}a 2b/4a 3bend{bmatrix}}}$.

Zum Bild von ${displaystyle { egin{bmatrix}x/y/send{bmatrix}}}$ unterhalb der ersten Matrix fügt die zweite also hinzu:

${displaystyle { egin{bmatrix}1&2/4&3end{bmatrix}}{ egin{bmatrix}x 2y 3z/3x-4y 7zend{bmatrix}}={ egin{bmatrix}(x 2y 3z) 2(3x-4y 7z)/ 4(x 2y 3z) 3(3x-4y 7z)end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}7x-6y 17z/13x-4y 33transmit{bmatrix}}}$

Das ist genau das Bild von ${displaystyle { egin{bmatrix}x/y/send{bmatrix}}}$ unter dem Produkt der beiden Matrizen:

${displaystyle { egin{bmatrix}7&-6&17/13&-4&33end{bmatrix}}{ egin{bmatrix}x/y/zend{bmatrix}}={ egin{bmatrix}7x-6y 17z/13x-4y 33zend{bmatrix} }}$

Grundfunktionen

Die Matrixmultiplikation hat die folgenden Eigenschaften:

• ${Anzeigestil A(BC)=(AB)C}$ (Assoziativität)
• ${Anzeigestil A(B C)=AB AC}$ (Verteilungsfähigkeit links)
• ${Anzeigestil (B C)A=BA CA}$ (Verteilungsfähigkeit Recht)
• ${Anzeigestil r(AB)=(rA)B=A(rB)}$ für jede Zahl ${displaystyle r}$
• ${Anzeigestil IA=A=AI}$, in welchem ${Anzeigestil I}$ das Einheitenmatrix schlägt vor.
• ${displaystyle (AB)^{ ext{T}}=B^{ ext{T}}A^{ ext{T}}}$, in welchem ${displaystyle {}^{ ext{T}}}$ steht für die transponierte Matrix.

Die Matrixmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ, d. h. im Allgemeinen sein ${Anzeigestil AB}$ und ${displaystyle BA}$ einander nicht gleich.

wenn ${displaystyle AB=-BA}$, die Matrizen heißen Anti-Pendelverkehr.

Struktureigenschaften von quadratischen Matrizen

Wenn die Anzahl der Zeilen und die Anzahl der Spalten in einer Matrix gleich sind, wird diese Matrix als Quadrat bezeichnet. Wenn wir uns beschränken auf quadratische Matrizen gleicher Größe mit Elementen in a algebraisches Zahlenfeld (Niederländisch) oder Zahlenfeld (Belgisch) ${Anzeigestil K,}$ dann bilden diese a assoziative Algebra.

Nicht jede quadratische Matrix hat a inverses Element für die Multiplikation. Eine Matrix ist invertierbar oder reversibel dann und nur dann, wenn das bestimmend dieser Matrix ist nicht null. Die reversiblen Matrizen gleicher Größe bilden a Gruppe für die Matrixmultiplikation: de lineare Gruppe.

Formale Matrixmultiplikation

Manchmal ist die Formel für die Matrixmultiplikation einer Matrix ${Anzeigestil A}$ mit einer Matrix ${Anzeigestil B}$ angewendet, wenn die Elemente der Matrizen nicht alle Elemente eines Feldes/Feldes sind. Dies ist möglich, wenn die beteiligten Multiplikationen und Additionen definiert sind, beispielsweise wenn die Elemente von ${Anzeigestil A}$ sind einfach die Elemente eines Körpers/Feldes, aber die ${displaystyle b_{j}}$ Vektoren sind aus dem Vektorraum ${Anzeigestil V}$ über dem gleichen Körper/Feld. Eine gewöhnliche Matrix wird also mit einem Spaltenvektor multipliziert, von dem jedes Element aus einem Vektor besteht ${Anzeigestil V}$ ist. Das Ergebnis ist wieder ein Spaltenvektor, von dem jedes Element aus einem Vektor besteht ${Anzeigestil V}$ ist. Siehe zum Beispiel Grundlegende Transformation.

Es gilt mit ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ normale Matrizen noch

• ${Anzeigestil A(Bc)=(AB)c}$,

also wenn A auch invertierbar ist

• ${Anzeigestil A(A^{-1}c)=c}$

Des Weiteren:

• ${displaystyle (Ab)^{ ext{T}}=b^{ ext{T}}A^{ ext{T}}}$

wobei ein Vektor mal ein Skalar definiert ist als der Skalar mal dem Vektor.

Siehe auch

• Spaltenvektor, indem man eine Matrix mit einem Vektor multipliziert
• Matrixaddition
• Hadamard-Produkt