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In dem Lineare Algebra, eine Unterregion der Mathematik, ist ein Blockmatrix oder partitioniertes Array ein Matrix die durch eine Anzahl kleinerer Matrizen gegeben ist, die Blöcke, die in mancher Hinsicht die gleiche Rolle spielen wie die Elemente. Eine Blockmatrix wird erstellt, indem eine Matrix sowohl vertikal als auch horizontal geteilt wird und das resultierende Rechtecke als Matrizen.
Beispiel
Die Matrix
lässt sich beispielsweise wie folgt unterteilen:
in den Blöcken:
Die Matrix p kann dann als Blockmatrix geschrieben werden als
Multiplikation von Blockmatrizen
Das Matrixprodukt von Blockmatrizen mit passenden Partitionen hat die gleiche Struktur wie das reguläre Matrixprodukt mit den Blöcken als Elementen. Das Produkt der Blockmatrix ein mit q Zeilenpartitionen und so Spaltenpartitionen.
und die BlockmatrixB mit so Zeilenpartitionen und r Spaltenaufteilungen
- ,
ist die Blockmatrix C mit q Zeilenpartitionen und r Spaltenpartitionen und als Blöcke:
Diagonalmatrizen blockieren
sehen Blockdiagonalmatrix für den Hauptartikel zu diesem Thema.Eine Blockdiagonalmatrix ist a Quadrat Blockmatrix mit quadratischen Blöcken auf dem Hauptdiagonale und jeder andere Block gleich dem Nullmatrix.
EIN tridiagonale Matrix blockieren ist eine weitere spezielle Blockmatrix, die wie die Blockdiagonalmatrix a quadratische Matrix ist die quadratische Matrizen (Blöcke) im unteren Bereich hat, de Main und die obere Diagonale, während alle anderen Blöcke Nullmatrizen sein. Es ist im Wesentlichen ein tridiagonale Matrix, aber statt Skalare diese Matrix hat Untermatrizen. Eine dreieckige Blockmatrix ein hat die form
wahr eink, Bk und Ck quadratische Untermatrizen befinden sich jeweils auf der unteren, großen und oberen Diagonalen.
Block-Tridiagonalmatrizen werden häufig bei numerischen Lösungen von Ingenieurproblemen angetroffen (z Computational Fluid Dynamics). Es gibt optimierte numerische Verfahren für LU-Zerlegung und effiziente Lösungsalgorithmen für Gleichungssysteme mit einer tridiagonalen Blockmatrix als Koeffizientenmatrix. Es Thomas-Algorithmus, verwendet zum Finden effizienter Lösungen für Gleichungssysteme mit a tridiagonale Matrix, kann auch angewendet werden, indem Matrixoperationen verwendet werden, die tridiagonale Matrizen blockieren (siehe auch LU-Zerlegung blockieren).
Direkte Summe
Für beliebige Matrizen ein (von der Größe) ich × nein) und B (von der Größe) p × q), wir haben ein direkte Summe von ein und B, angezeigt durch ein B und definiert als
Beispielsweise,
Diese Operation lässt sich natürlich auf Arrays beliebiger Größe verallgemeinern (vorausgesetzt natürlich, dass ein und B die gleiche Anzahl von Dimensionen haben).
Beachten Sie, dass jedes Element im direkte Summe von zwei Vektorräume von Matrizen kann als direkte Summe zweier Matrizen dargestellt werden.
Mit anderen Worten, es ist der direkte Summe von ein1, …, einnein. Es kann auch deklariert werden als ein1 ein2 einnein oder diag(ein1, ein2,, einnein) (letzteres ist derselbe Formalismus wie für die diagonale Matrix).
Anwendungen
Im Lineare Algebra Ausdrücke, die Verwendung einer Blockmatrix entspricht der Durchführung von a lineare Transformation, die durch entsprechendes beschrieben werden kann Bündel von grundlegende Vektoren. Das entspricht der Idee des Unterscheidens direkte Summe Zerlegungen der Domain und der erreichen. Besonders bedeutsam ist es immer, wenn ein Block gleich dem Nullmatrix.
Angesichts der Interpretation durch lineare Transformationen und direkte Summen gibt es eine spezielle Art von Blockmatrix, die bei quadratischen Matrizen auftritt (wenn ich = nein). Für diese Art von Matrizen können wir eine Interpretation von Endomorphismus akzeptieren nein-dimensionaler Raum V; Die Blockstruktur, in der die Bündel von Zeilen und Spalten ist gleich wichtig, weil es einer einfachen direkten Summenzerlegung auf entspricht V (statt zwei). In diesem Fall ist die Diagonale Blöcke zum Beispiel sind in einem klaren Sinne alle quadratisch. Diese Art von Struktur ist für die Jordanische Normalform.
Diese Technik wird verwendet, um die Anzahl der Berechnungen in Matrizen, in Spalten-Reihen-Erweiterungen und für viele zu begrenzen InformatikBewerbungen, auch in VLSI Chip-Designs. Beispiele sind es Strassen-Algorithmus für schnell Matrix-Multiplikation und der Hamming(7.4) Codierung zur Fehlererkennung und -behebung bei Datenübertragungen.