WikiDer > Calkin yozishmalari

Calkin correspondence

Matematikada Calkin yozishmalari, matematik nomi bilan atalgan Jon Uilyams Kalkin, ikki tomonlama o'zaro bog'liqlik ideallar cheklangan chiziqli operatorlar ajratiladigan cheksiz o'lchovli Hilbert maydoni va Calkin ketma-ketlik bo'shliqlari (shuningdek, o'zgaruvchan ketma-ketlik oralig'i deb nomlanadi). Xat yozish operatorni unga moslashtirish orqali amalga oshiriladi birlik qiymati ketma-ketlik.

Bu kelib chiqishi Jon fon Neymannosimmetrik me'yorlarni o'rganish matritsali algebralar.^[1] Ning ikki tomonlama ideallarini o'rganish uchun asosiy tasnif va vositani taqdim etadi ixcham operatorlar va ularning izlar, operatorlar bo'shliqlari bilan bog'liq muammolarni ketma-ketlik bo'shliqlaridagi (hal qilinadigan) muammolarga kamaytirish orqali.

Ta'riflar

A ikki tomonlama ideal J chegaralangan chiziqli operatorlar B(H) ajratiladigan Hilbert fazosida H shunday chiziqli pastki bo'shliqdir AB va BA tegishli J barcha operatorlar uchun A dan J va B dan B(H).

A ketma-ketlik maydoni j ichida l_∞ ichiga joylashtirilishi mumkin B(H) o'zboshimchalik bilan ortonormal asos yordamida {e_n }_n=0^∞. Ketma-ketlik bilan bog'lang a dan j chegaralangan operator

{ displaystyle { rm {diag}} (a) = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} | e_ {n} rangle langle e_ {n} |,}

qayerda bra-ket yozuvlari individual asosli vektorlar tomonidan kengaytirilgan pastki bo'shliqlarga bir o'lchovli proektsiyalar uchun ishlatilgan. Ning yozuvlarining mutlaq qiymatlari ketma-ketligi a kamayish tartibida deyiladi qayta tashkil etishni kamaytirish ninga. Kamayib borayotgan tartibni m bilan belgilash mumkin (n,a), n = 0, 1, 2, ... u bilan bir xil ekanligini unutmang birlik qiymatlari operator diag (a). Qayta tartibga solinishning yana bir belgisia*.

A Calkin (yoki o'zgarmas o'zgaruvchan) ketma-ketlik maydoni chiziqli pastki bo'shliqdir j cheklangan ketma-ketliklar l_∞ agar shunday bo'lsa a chegaralangan ketma-ketlik va m (n,a) ≤ m (n,b), n = 0, 1, 2, ..., ba'zi uchun b yilda j, keyin a tegishlij.

Xatlar

Ikki tomonlama ideal bilan bog'laning J ketma-ketlik maydoni j tomonidan berilgan

{ displaystyle j = {a in l _ { infty}: { rm {diag}} ( mu (a)) in J }.}

Ketma-ketlik maydoni bilan bog'laning j ikki tomonlama ideal J tomonidan berilgan

{ displaystyle J = {A in B (H): mu (A) in j }.}

Bu erda m (A) va m (a) birlik qiymatlari operatorlarning A va diag (aKalkin teoremasi^[2] ikki xarita bir-biriga teskari ekanligini bildiradi. Biz olamiz,

Calkin yozishmalari: Ikki tomonlama ideallar chegaralangan operatorlar cheksiz o'lchovli bo'linadigan Hilbert fazosi va Kalkin ketma-ketligi bo'shliqlari ikki tomonlama moslikda.

Faqat ijobiy operatorlar va ijobiy ketma-ketliklar o'rtasidagi bog'liqlikni bilish kifoya, shuning uchun m xaritasi: J₊ → j₊ ijobiy operatordan unga birlik qiymatlari Kalkin yozishmalarini amalga oshiradi.

Kalkin yozishmalarini izohlashning yana bir usuli, chunki ketma-ketlik maydoni j operator idealidagi operatorlarga Banach maydoni sifatida tengdir J o'zboshimchalik bilan ortonormal asosga nisbatan diagonal bo'lganligi, ikki tomonlama ideallar ularning diagonal operatorlari tomonidan to'liq aniqlanishidir.

Misollar

Aytaylik H ajratiladigan cheksiz o'lchovli Hilbert fazosi.

Chegaralangan operatorlar. Noto'g'ri ikki tomonlama ideal B(H) ga mos keladi l_∞.
Yilni operatorlar. Tegishli va me'yor yopiq ikki tomonlama ideal K(H) ga mos keladi v₀, nolga yaqinlashadigan ketma-ketliklar maydoni.
Sonli darajadagi operatorlar. Eng kichik ikki tomonlama ideal F(H) sonli darajali operatorlarga mos keladi v₀₀, cheklangan nol bo'lmagan atamalar bilan ketma-ketliklar maydoni.
Shatten p- g'oyalar. Shatten p- g'oyalar L_p, p ≥ 1, ga mos keladi l_p ketma-ketlik bo'shliqlari. Xususan, trace class operatorlari mos keladi l₁ va Hilbert-Shmidt operatorlari mos keladi l₂ .
Zaif -L_p ideallar. ZaiflarL_p ideallar L_p,∞, p ≥ 1, ga mos keladi kuchsizl_p ketma-ketlik bo'shliqlari.
Lorents-ideallari. Borayotgan konkav funktsiyasi uchun Lorents d-ideallari: [0, ∞) → [0, ∞) ga mos keladi Lorentsning ketma-ketlik bo'shliqlari.

Izohlar

^ J. fon Neyman (1937). "Matritsadagi ba'zi tengsizliklar va matritsalar makonining metrizatsiyasi". Tomsk. Universitet sharhi. 1: 286–300.
^ J. V. Kalkin (1941). "Xyulbert fazosidagi chegaralangan operatorlar rishtasidagi ikki tomonlama ideallar va muvofiqliklar". Ann. Matematika. 2. 42 (4): 839–873. doi:10.2307/1968771. JSTOR 1968771.

Adabiyotlar

B. Simon (2005). Ideallarni izlash va ularni qo'llash. Providence, Rod-Aylend: Amer. Matematika. Soc. ISBN 978-0-8218-3581-4.

S. Lord, F. A. Sukochev. D. Zanin (2012). Yagona izlar: nazariya va qo'llanmalar. Berlin: De Gruyter. ISBN 978-3-11-026255-1.

[vN1-1] J. fon Neyman (1937). "Matritsadagi ba'zi tengsizliklar va matritsalar makonining metrizatsiyasi". Tomsk. Universitet sharhi. 1: 286–300.

[Ca1-2] J. V. Kalkin (1941). "Xyulbert fazosidagi chegaralangan operatorlar rishtasidagi ikki tomonlama ideallar va muvofiqliklar". Ann. Matematika. 2. 42 (4): 839–873. doi:10.2307/1968771. JSTOR 1968771.

[1]

[2]

Navigation