WikiDer > Yagona iz

Matematikada a yagona iz a iz bo'shliqda chiziqli operatorlar ajratiladigan Hilbert maydoni yo'qolib ketadigan operatorlar cheklangan daraja. Singular izlari - bu bo'shliq kabi cheksiz o'lchovli Hilbert bo'shliqlarining xususiyati kvadrat yig'iladigan ketma-ketliklar va bo'shliqlar kvadrat bilan birlashtiriladigan funktsiyalar. Sonli o'lchovli Hilbert fazosidagi chiziqli operatorlar yagona iz sifatida faqat nol funktsiyaga ega, chunki barcha operatorlar cheklangan darajaga ega. Masalan, matritsali algebralar hech qanday ahamiyatsiz birlik izlari yo'q va matritsa izi masshtablashgacha bo'lgan noyob iz.

Amerikalik matematik Gari Vayss va keyinchalik britaniyalik matematik Nayjel Kalton ning idealida ahamiyatsiz singular izlar borligi cheksiz o'lchovli holatda kuzatilgan iz sinf operatorlari.^[1][2]Shuning uchun, cheklangan o'lchovli holatga ko'ra, cheksiz o'lchovlarda kanonik operator izi masshtablashgacha bo'lgan yagona iz emas. Operator izi - bu matritsa izining chekli darajadagi operatorlardan barcha iz sinflari operatorlariga uzluksiz ravishda uzaytirilishi va singular atamasi matritsa izi qo'llab-quvvatlanadigan joyda yo'qolganligi sababli singular termini kelib chiqadi. birlik o'lchovi Lebesgue o'lchovi qo'llab-quvvatlanadigan joyda yo'qoladi.

Singular izlar operatorlarning assimtotik spektral xatti-harakatlarini o'lchaydi va noaniq geometriya frantsuz matematikasi Alen Konnes.^[3][4]Evristik nuqtai nazardan, yagona iz raqamlarni yig'ish usuliga mos keladi a₁, a₂, a₃, ... bu odatiy yig'indiga nisbatan butunlay orgonal yoki "singular" a₁ + a₂ + a₃ + ... .Bu matematiklarga quyidagi kabi ketma-ketlikni yig'ishga imkon beradi harmonik ketma-ketlik (va shunga o'xshash spektral xatti-harakatga ega operatorlar) odatdagidek farq qiladi sum. Shunga o'xshash atamalarda a (umumiy bo'lmagan) o'lchov nazariyasi yoki ehtimollik kabi tarqatish uchun nazariyani qurish mumkin Koshi taqsimoti (va shunga o'xshash spektral xatti-harakatga ega bo'lgan operatorlar) odatdagi ma'noda cheklangan umidga ega emaslar.

Kelib chiqishi

1950 yilga kelib frantsuz matematikasi Jak Dikmier, ning yarim cheksiz nazariyasining asoschisi fon Neyman algebralari,^[5]ajratiladigan Xilbert fazosining chegaralangan operatorlarida iz avtomatik ravishda normal bo'ladi deb o'ylardi^{[tushuntirish kerak]} ba'zi ahamiyatsiz qarshi misollarga qadar.^[6]:217 15 yil davomida Dixmier, Nakman Aronszaynning taklifi va Jozef Xersch tomonidan isbotlangan tengsizliklar yordami bilan, ahamiyatsiz, ammo normal bo'lmagan misolni yaratdi.^{[tushuntirish kerak]} iz iz-sinfning zaif operatorlari,^[7]Diksierning qurilishiga asoslangan yagona izlar deyiladi Dixmier izlari.

Mustaqil ravishda va turli xil usullar bilan nemis matematikasi Albrecht Pietsch (de) Banach fazosidagi operatorlarning ideallari izlarini o'rganib chiqdi.^[8]1987 yilda Nayjel Kalton Pietschning savoliga operator izi - bu Xilbert maydonidagi iz klassi operatorlarining kvazi-normalangan to'g'ri subideallarida noyob iz emasligini ko'rsatib javob berdi.^[9] Jozef Varga shu kabi savolni mustaqil ravishda o'rganib chiqdi.^[10]Trace-klass operatorlarining to'liq idealida izning o'ziga xosligi masalasini hal qilish uchun Kalton spektral shartni ishlab chiqdi kommutator subspace Gari Vayss natijalaridan kelib chiqqan mikroelementlar operatorlari.^[1] Vayss natijalari va Kaltonning spektral holatining natijasi trace-klass operatorlarida ahamiyatsiz singular izlarning mavjudligi bo'ldi.^[2][6]:185

Shuningdek, Marius Vodzki mustaqil ravishda va boshqa yo'nalish bo'yicha tekshiruv o'tkazdi umumiy bo'lmagan qoldiq, ixcham manifoldda klassik psevdo-diferensial operatorlarda iz, manifold o'lchovining manfiyidan kamroq tartibli iz psevdo-differentsial operatorlarida yo'qoladi.^[11]

Ta'rif

Ikki tomonlama idealda iz φ J chegaralangan chiziqli operatorlar B(H) ajratiladigan Hilbert fazosida Hchiziqli funktsional functional:J → ℂ shunday qilib φ (AB) = φ (BA) barcha operatorlar uchun A dan J va B dan B(H). Ya'ni, iz - bu chiziqli funktsionaldir J bu yo'qoladi kommutator subspace Com (J) ning J.

Φ izi yakka agar φ(A) Har biri uchun = 0 A sonli darajali operatorlar subidealidan F(H) ichida J.

Mavjudligi va tavsiflanishi

Singular izlar spektrallik bilan tavsiflanadi Calkin yozishmalari chegaralangan operatorlarning Hilbert fazosidagi ikki tomonlama ideallari va o'zgarmas ketma-ketlik bo'shliqlarini qayta tashkil etish. Spektral tavsifidan foydalanib kommutator subspace Ken Dyukema, Tadeush Figiel, Gari Vayss va Mariush Voditski tufayli,^[12]har bir izga φ ikki tomonlama idealga J noyob narsa bor nosimmetrik funktsional f tegishli Calkin ketma-ketlik maydonida j shu kabi

${ displaystyle varphi (A) = { rm {f}} ( mu (A))}$

(1)

har bir ijobiy operator uchun A tegishli J.^[6]Bu erda m: J₊ → j₊ ijobiy operatordan uning xaritasigacha birlik qiymatlari. Singular iz φ nosimmetrik funktsionalga mos keladi f ketma-ketlik oralig'ida j yo'q bo'lib ketadi v₀₀, nolga teng bo'lmagan sonli sonli sonli ketma-ketliklar.

Xarakteristikasi odatiy qurilish bilan parallel operator izi qayerda

${ displaystyle { rm {Tr}} (A) = sum _ {n = 0} ^ { infty} mu (n, A) = sum mu (A)}$

uchun A ijobiy izlash klassi operatori. Izlanish klassi operatorlari va ning ketma-ketlik maydoni jamlanadigan ketma-ketliklar Calkin yozishmalarida. (∑ yig'indisi - yig'iladigan ketma-ketliklar makonidagi nosimmetrik funktsionaldir.)

Mavjudlik

Ikki tomonlama idealda nolga teng bo'lmagan iz mavjud J bo'linadigan Hilbert fazosidagi operatorlarning koeffitsienti kommutator subspace nol emas. Cheksiz chiziqli mustaqil nolga teng bo'lmagan singular izlarni tan oladigan ideallar mavjud. Masalan, idealining kommutator subspace iz-sinfning zaif operatorlari trace class operatorlarining idealini o'z ichiga oladi va zaif izlar sinfining kommutator subspace-dagi har bir ijobiy operator trace class hisoblanadi.^[12]Binobarin, zaif izlar klassi idealidagi har bir iz birlik va kuchsiz izlar sinf ideal komutator pastki maydonining ko-o'lchovi cheksizdir.^[6]:191 Zaif izlar klassi idealidagi singular izlarning hammasi ham Dixmier izlari emas.^[6]:316

Lidskiyni shakllantirish

Kvadrat matritsaning izi uning o'ziga xos qiymatlari yig'indisidir. Lidskiy formulasi bu natijani funktsional tahlilga etkazadi va trace class operatorining izini bildiradi A uning o'ziga xos qiymatlari yig'indisi bilan berilgan,^[13]

${ displaystyle { rm {Tr}} (A) = sum _ {n = 0} ^ { infty} lambda (n, A) = sum ( lambda (A)).}$

Xarakteristikasi (1) ikki idealning ijobiy operatorlarida φ izi J singular qiymatlarga tatbiq etiladigan nosimmetrik funktsional sifatida har qanday operatorda φ izi paydo bo'lishi mumkin J qo'llaniladigan bir xil nosimmetrik funktsional tomonidan berilgan o'ziga xos qiymatlar ketma-ketligi, barcha operatorlarning o'zaro qiymatlari J Calkin ketma-ketlik makoniga tegishli j.^[14]Xususan, agar cheklangan operator bo'lsa A tegishli J har doim cheklangan operator mavjud bo'lganda B yilda J shu kabi

${ displaystyle prod _ {k = 0} ^ {n} mu (k, A) leq prod _ {k = 0} ^ {n} mu (k, B)}$

(2)

har bir tabiiy son uchun n, keyin har bir iz uchun φ on J noyob nosimmetrik funktsional mavjud f Kalkin kosmosida j bilan

${ displaystyle varphi (A) = { rm {f}} ( lambda (A))}$

(3)

qaerda λ (A) - operatorning o'ziga xos qiymatlari ketma-ketligi A yilda J o'zaro qiymatlarning mutlaq qiymati kamayib borishi uchun qayta tashkil etilgan. Agar A bu yarim nolpotent keyin λ (A) nol qatori. Ikki tomonlama ideallarning aksariyati mulkni qondiradi (2), shu jumladan barcha Banach ideallari va kvazi-Banach ideallari.

Tenglama (3) - singular izlar operatorlarning asimptotik spektral xatti-harakatlarini o'lchaydigan aniq gap.

Fredxolmni shakllantirish

Kvadrat matritsaning izi uning diagonal elementlari yig'indisidir. Funktsional tahlilda trace class operatorlari uchun mos keladigan formula

${ displaystyle { rm {Tr}} (A) = sum _ {n = 0} ^ { infty} langle Ae_ {n}, e_ {n} rangle = sum ( { langle Ae_ {) n}, e_ {n} rangle } _ {n = 0} ^ { infty})}$

qayerda { e_n }_n=0^∞ o'zboshimchalik bilan ortonormal asos ajratiladigan Hilbert makonining H.Yagona izlarda ixtiyoriy asoslar uchun ekvivalent formulalar mavjud emas. Faqat when (A) = 0 operator bo'ladi A umuman qondirish

${ displaystyle varphi (A) = { rm {f}} ( { langle Ae_ {n}, e_ {n} rangle } _ {n = 0} ^ { infty})}$

bitta iz uchun va o'zboshimchalik bilan ortonormal asos uchun { e_n }_n=0^∞.^[6]:242

Lidskii formulasi o'rniga diagonali formuladan ko'pincha mahsulotlarning izlarini hisoblash uchun foydalaniladi, chunki mahsulotlarning o'ziga xos qiymatlarini aniqlash qiyin. kvant statistik mexanika kuzatiladigan narsani kutish S aniq zichlikdagi energiya zichligi operatoriga nisbatan hisoblanadi T formula bo'yicha

${ displaystyle langle S rangle = { rm {Tr}} (ST) = sum _ {n = 0} ^ { infty} langle Se_ {n}, e_ {n} rangle lambda (n) , T) = v_ {T} ( { langle Se_ {n}, e_ {n} rangle } _ {n = 0} ^ { infty})}$

qayerda v_T tegishli (l_∞)_* ≅ l₁. Kutish kutish qiymatlari bo'yicha hisoblanadi ⟨Se_n, e_n⟩ Va ehtimollikP_n⟩ = Λ (n,T) bog'langan kvant holatida bo'lgan tizimning e_n. Bu yerda P_n - energiya ta'sirida joylashgan bir o'lchovli pastki fazoga proektsion operator o'z davlati e_n. Mahsulotning o'ziga xos qiymatlari, λ (n,ST), o'xshash sharhga ega emas.

Mahsulotlarning yagona izlari uchun natijalar mavjud.^[15] Mahsulot uchun ST qayerda S chegaralangan va T bu o'zaro qo'shilish va ikki tomonlama idealga tegishli J keyin

${ displaystyle varphi (ST) = { rm {f}} ( { langle Se_ {n}, e_ {n} rangle lambda (n, T) } _ {n = 0} ^ { infty}) = v _ { varphi, T} ( { langle Se_ {n}, e_ {n} rangle } _ {n = 0} ^ { infty})}$

har qanday iz uchun φ on J. Ortonormal asos { e_n }_n=0^∞ shunday buyurtma berish kerak Te_n = m (n,T)e_n, n= 0,1,2 .... Φ birlik va φ (T) = 1 keyin v_φ,T chiziqli funktsionaldir l_∞ kengaytiradigan cheksizlikda chegara konvergent ketma-ketliklar bo'yicha v. Kutish ⟨S⟩ = Φ (ST) bu holda ⟨xususiyatiga egaP_nHar biri uchun ph = 0 nyoki bog'langan kvant holatida bo'lish ehtimoli yo'qligi. Bu

${ displaystyle langle S rangle = { text {"abadiylikdagi chegara"}} langle Se_ {n}, e_ {n} rangle}$

singular izlar orasidagi bog'liqlikni keltirib chiqardi yozishmalar printsipiva klassik chegaralar.^{[6]:ch 12}

Kommutativ bo'lmagan geometriyada foydalaning

Singular izlarning birinchi qo'llanilishi umumiy bo'lmagan qoldiq, ixcham manifoldda klassik psevdo-diferensial operatorlarda iz, manifold o'lchovining manfiyidan kamroq tartibli psevdo-differentsial operatorlar izida yo'q bo'lib ketadigan Marius Vodzki va Viktor Guillemin mustaqil ravishda.^[11][16]Alen Konnes tarkibidagi nodavlat qoldiqni tavsifladi noaniq geometriya, Konnesning Dixmier izlari yordamida differentsial geometriyani umumlashtirishi.^[3]

Singular iz va iz qoldirmaydigan sinf zichligini o'z ichiga olgan umidda foydalaniladi noaniq geometriya,

${ displaystyle int S = { rm {Tr}} _ { omega} (S | D | ^ {- d}).}$

(4)

Bu yerda S - Hilbert fazosidagi chegaralangan chiziqli operator L₂(X) kvadrat bo'yicha integral funktsiyalar d- o'lchovli yopiq kollektor X, Tr_ω bu zaif izlar sinfidagi Dixmier izidir va zichlik |D.|^−d zaif iz sinfida ideal bu d"chiziq elementi" ning kuchi |D.|⁻¹ qayerda D. a Dirac turi operatori mos ravishda normalizatsiya qilingan, shuning uchun Tr_ω(|D.|^−d)=1.

Kutish (4) - bu ko'paytirish orqali ta'sir qiladigan, asosan chegaralangan funktsiyalarning komutativ algebrasidagi Lebesg integralining kengaytmasi. L₂(X) to'liq nojo'ya chegaralangan operatorlar algebrasi L₂(X).^[15] Anavi,

${ displaystyle int M_ {f} = int _ {X} f (x) , dx.}$

qayerda dx bo'ladi hajm shakli kuni X, f mohiyatan chegaralangan funktsiya va M_fchegaralangan operator M_f h(x) = (fh)(x) har qanday kvadrat bilan integrallanadigan funktsiya uchun h yilda L₂(XBir vaqtning o'zida kutish (4) - bu kvant kutishlarining cheksizligidagi chegara S → ⟨Se_n,e_n. Ning xos vektorlari bilan aniqlanadi Laplasiya kuni X. Aniqrog'i, ko'plab cheklangan operatorlar uchun L₂(X), barcha nol tartibli klassikalarni o'z ichiga oladi psevdo-differentsial operatorlar va shakl operatorlari M_f qayerda f bu mohiyatan chegaralangan funktsiya, ketma-ketlik ⟨Se_n, e_n⟩ Logaritmik ravishda yaqinlashadi va^[6]:384

${ displaystyle int S = lim _ {n to infty} { frac { sum _ {k = 0} ^ {n} { frac {1} {1 + k}} langle Se_ {k }, e_ {k} rangle} { sum _ {k = 0} ^ {n} { frac {1} {1 + k}}}}}$

Ushbu xususiyatlar Dixmier izlari bilan emas, balki Dirac tipidagi operatorlar spektri bilan bog'liq; Dixmier izi (4) zaif trace class operatorlarida har qanday iz bilan almashtiriladi.^[15]

Misollar

Aytaylik H ajratiladigan cheksiz o'lchovli Hilbert fazosi.

Izlarsiz ideallar

• Chegaralangan operatorlar. Pol Halmos 1954 yilda ajratiladigan cheksiz o'lchovli Hilbert fazosidagi har bir chegaralangan operator ikkita komutatorning yig'indisi ekanligini ko'rsatdi.^[17] Ya'ni, Com (B(H)) = B(H) ning kommutatori subspace-ning ko-o'lchovi B(H) nolga teng. Chegaralangan chiziqli operatorlar yo'q deb tan olishadi hamma joyda aniqlangan izlar. Malaka tegishli; kabi fon Neyman algebra B(H) yarim yarim (kuchli zich aniqlangan) izlarni tan oladi.

Kommutator pastki makonining zamonaviy tekshiruvi uni tekshirishni o'z ichiga oladi spektral xarakteristikasi. Quyidagi ideallarda beri hech qanday iz yo'q Cesàro degani Calkin mos keladigan ketma-ketlik maydonidagi ijobiy ketma-ketliklar ketma-ketlik maydoniga tegishli bo'lib, ideal va uning kommutatori pastki fazosi tengligini ko'rsatadi.

• Yilni operatorlar. Kommutator subspace Com (K(H)) = K(H) qayerda K(H) belgisini bildiradi ixcham chiziqli operatorlar. Yilni operatorlarning ideallari hech qanday iz qoldirmaydi.
• Shatten p- g'oyalar. Kommutator subspace Com (L_p) = L_p, p > 1, qaerda L_p belgisini bildiradi Shatten p-idal,

${ displaystyle L_ {p} = {A in K (H): left ( sum _ {n = 0} ^ { infty} mu (n, A) ^ {p} right) ^ { frac {1} {p}} < infty },}$

va m (A) ixcham operatorning birlik qiymatlari ketma-ketligini bildiradi A. Shatten ideallari p > 1 ta iz yo'qligini tan oling.

• Lorents p-idallar yoki kuchsiz-L_p ideallar. Kommutator subspace Com (L_p,∞) = L_p,∞, p > 1, qaerda

${ displaystyle L_ {p, infty} = {A in K (H): mu (n, A) = O (n ^ {- { frac {1} {p}}}) }}$

zaif -L_p ideal. ZaiflarL_p ideallar, p > 1, iz qoldirmang. ZaiflarL_p ideallar Lorentz ideallariga teng (quyida) konkav funktsiyasi bilan ψ (n)=n^1−1/p.

Izlar bilan ideal

• Sonli darajadagi operatorlar. Ning yadrosi spektral holatidan tekshiriladi operator izi Tr va cheklangan darajadagi operatorlarning kommutator kichik maydoni teng, ker Tr = Com (F(H)). Bundan kelib chiqadiki, komutator pastki fazosi Com (F(H)) 1 o'lchovli o'lchovga ega F(H). Tr - o'lchovgacha - bu noyob iz F(H).
• Izlash klassi operatorlari. Trace class operatorlari L₁ bor Com (L₁) qat'iy ravishda Tr Tr-da mavjud. Ning ko-o'lchovi kommutator subspace shuning uchun bittadan kattaroq va cheksiz ekanligi ko'rsatilgan.^[18] Tr - o'lchovgacha noyob noyob iz L₁ norma uchun || A ||₁ = Tr (| A |), iz klassi operatorlarining idealiga cheksiz ko'p chiziqli mustaqil va ahamiyatsiz singular izlar kiradi.

• Izlash sinfining zaif operatorlari. Com beri (L_1,∞)₊ = (L₁)₊ zaiflarning kommutator subspace-ning ko'lamiL₁ ideal cheksizdir. Trace class operatorlarida zaif iz operatorlarining har bir izi yo'qoladi va shu sababli singulardir. Zaif iz klassi operatorlari eng kichik idealni hosil qiladi, bu erda idealdagi har bir iz birlik bo'lishi kerak.^[18] Dixmier izlari zaif iz operatorlari ustida izlarning aniq qurilishini ta'minlash.

${ displaystyle { rm {Tr}} _ { omega} (A) = omega left ( left {{ frac {1} { log (1 + n)}} sum _ {k = 0} ^ {n} lambda (k, A) right } _ {n = 0} ^ { infty} right), quad A in L_ {1, infty}.}$

Ushbu formula har bir zaif trace-klass operatori uchun amal qiladi A va absolyut qiymatning pasayishida tartiblangan o'ziga xos qiymatlarni o'z ichiga oladi. Bundan tashqari, to har qanday kengaytmasi bo'lishi mumkin l_∞ oddiy chegaradan kelib chiqqan holda, Dixmierning asl formulasida bo'lgani kabi kengayish o'zgarmas bo'lishi shart emas. Zaif izlar klassi idealidagi singular izlarning hammasi ham Dixmier izlari emas.^[6]:316

• k-tensor zaif izlash sinf ideallari. ZaiflarL_p ideallar, p > 1, yuqorida aytib o'tilganidek iz qoldirmang. Ular zaif izlar klassi idealidagi izlarni yuqori darajadagi faktorizatsiya qilish uchun to'g'ri sozlamalar emas L_1,∞. Tabiiy raqam uchun k ≥ 1 ideal

${ displaystyle E _ { otimes k} = {A in K (H): mu (n, A) = O ( log ^ {k-1} (n) / n) }}$

tegishli sozlamani yarating. Ularda shunday zanjir hosil qiladigan cheksiz ko-o'lchovli kommutator kichik bo'shliqlari mavjud E_⊗k-1 ⊂ Com (E_⊗k) (bu konventsiya bilan E₀ = L₁). Dixmier izlari E_⊗k shaklga ega

${ displaystyle { rm {Tr}} _ { omega} ^ {k} (A) = omega left ( left {{ frac {1} { log ^ {k} (1 + n) }} sum _ {j = 0} ^ {n} lambda (j, A) right } _ {n = 0} ^ { infty} right), quad A in E _ { otimes k }.}$

• Lorents-ideallari. Dikmier izlari uchun tabiiy sozlama Lorentz g-idealida konkavning ortib boruvchi funktsiyasi ψ: [0, ∞) → [0, ∞),

${ displaystyle L _ { psi} = {A in K (H): { frac {1} { psi (1 + n)}} sum _ {j = 0} ^ {n} mu ( n, A) < infty }.}$

Lar bor biroz oddiy chegarani kengaytiradigan ω l_∞ shu kabi

${ displaystyle { rm {Tr}} _ { omega} ^ { psi} (A) = omega left ( left {{ frac {1} { psi (1 + n)}}} sum _ {j = 0} ^ {n} lambda (j, A) right } _ {n = 0} ^ { infty} right), quad A in L _ { psi}}$

agar shunday bo'lsa, faqat bitta iz^[6]:225

${ displaystyle liminf _ {n to infty} { frac { psi (2n)} { psi (n)}} = 1.}$

Har qanday ixcham operator tomonidan ishlab chiqarilgan asosiy ideal A m bilan (A) = ψ 'ichidagi "kichik ideal" deb nomlanadi L_ψ. The k-tensor zaif iz klassi - Lorents idealining ichidagi kichik ideal, b = log bilan^k.

• To'liq nosimmetrik ideallar Lorents ideallarini umumlashtirish. Dixmier izlari Lorents idealidagi barcha to'liq nosimmetrik izlarni masshtabgacha hosil qiladi va zaif * zich to'liq nosimmetrik ideal bo'yicha to'liq nosimmetrik izlarning pastki qismi. Ma'lumki, to'liq nosimmetrik izlar to'liq nosimmetrik idealdagi ijobiy izlarning qat'iy qismidir.^[6]:109 Shuning uchun Dikmier izlari Lorents ideallari bo'yicha ijobiy izlarning to'liq to'plami emas.

Izohlar

Adabiyotlar

• S. Lord, F. A. Sukochev. D. Zanin (2012). Yagona izlar: nazariya va qo'llanmalar. Berlin: De Gruyter. doi:10.1515/9783110262551. ISBN 978-3-11-026255-1.

• B. Simon (2005). Ideallarni izlash va ularni qo'llash. Providence, RI: Amer. Matematika. Soc. ISBN 978-0-82-183581-4.

• A. Pietsch (1981). "Operator ideallari iz bilan". Matematik Nachrichten. 100: 61–91. doi:10.1002 / mana.19811000105.

• A. Pietsch (1987). O'ziga xos qiymatlar va s-raqamlar. Kembrij, Buyuk Britaniya: Kembrij universiteti matbuoti. ISBN 978-0-52-132532-5.

• S. Albeverio; D. Gido; A. Ponosov; S. Skarlatti (1996). "Yagona izlar va ixcham operatorlar" (PDF). Funktsional tahlillar jurnali. 137 (2): 281–302. doi:10.1006 / jfan.1996.0047.

• M. Vodzikki (2002). "Vestigia Investanda" (PDF). Moskva matematik jurnali. 2 (4): 769–798. doi:10.17323/1609-4514-2002-2-4-769-798.

• A. Konnes (1994). Kommutativ bo'lmagan geometriya. Boston, MA: Akademik matbuot. ISBN 978-0-12-185860-5.

Shuningdek qarang

• Dixmier izi