WikiDer > Komplexe Vielfalt

Im Differentialgeometrie, eine Unterregion der Geometrie, ist ein komplexe Vielfalt ein Vielfalt jetzt sofort Atlas von Karten ins offene Einheitsscheibe^[1] im C^nein, sodass die Übergangsbilder Holomorph sein.

Der Begriff komplexe Vielfalt wird im obigen Satz sowohl für eine komplexe Mannigfaltigkeit verwendet (a integrierbar komplexe Vielfalt) sowie für a fast komplexe Vielfalt.

Auswirkungen der komplexen Struktur

Schon seit holomorphe Funktionen viel strenger sein als glatte Funktionen, die Theorien von glatten und komplexen Sorten haben sehr unterschiedliche Geschmäcker: kompakte komplexe Sorten sind viel näher an algebraische Sorten als mit differenzierbare Sorten.

Das Whitney-Einbettungsschema sagt uns zum Beispiel, dass jeder glatte Sorte kann werden eingebettet wie ein glatter Unterart von R^nein, während es "selten" ist, dass eine komplexe Varietät "in" eine holomorphe Einbettung C^nein hast. Betrachten Sie zum Beispiel die kompakt verbundene komplexe Vielfalt ich: jede holomorphe Funktion darauf ist wegen der Satz von Liouville lokal konstant. Haben wir nun eine holomorphe Einbettung von ich "in" C^nein hatte, die koordinierenden Funktionen von C^nein zu nicht konstant wechseln holomorphe Funktionen auf ich Grenze, die der Kompaktheit widerspricht, außer für den Fall, dass ich ist ein einfacher Punkt. Komplexe Sorten, die eingebettet werden können C^nein, einbiegen in Steinsorten und bilden eine ganz besondere Sortenklasse, zu der beispielsweise die glatten komplexen affinen algebraischen Sorten gehören.

Die Klassifizierung komplexer Sorten ist viel subtiler als die der differenzierbaren Sorten. Während in anderen Dimensionen als vier, eine gegebene topologische Vielfalt zum Beispiel höchstens a endlich Nummer glatte Strukturen eine topologische Mannigfaltigkeit, die eine komplexe Struktur trägt, kann oft unzählbar viele komplexe Strukturen tragen. Riemann-Oberflächen, zweidimensionale Mannigfaltigkeiten mit komplexer Struktur, die topologisch nach ihrer Gattung, sind ein wichtiges Beispiel für dieses Phänomen. Das Sammlung komplexer Strukturen auf einem gegebenen orientierbaren Oberfläche, modulo biholomorph Äquivalenz, bildet selbst eine komplexe algebraische Varietät namens Modulraum wird genannt. Die Erforschung seiner Struktur bleibt ein Bereich aktiver Forschung.

Da die Übergangsbilder zwischen Karten da sie biholomorph sind, sind besonders komplexe Varietäten glatt und kanonisch orientiert (nicht nur orientierbar: ein biholomorphes Bild auf (einer Teilmenge von) C^nein gibt eine Orientierung, da biholomorphe Bilder orientierungserhaltend sind).

Beispiele für komplexe Sorten

• Riemann-Oberflächen.
• Es kartesisches Produkt von zwei komplexen Sorten.
• das Gegenteil Statue eines beliebigen unkritischen Wertes eines holomorphen Bildes.

Glatte komplexe algebraische Sorten

Glatter Komplex algebraische Sorten sind komplexe Sorten, darunter:

• Komplexe Vektorräume.
• Komplexe projektive Räume^[2], CP^nein.
• Komplex Grassmannianer.
• Komplex Lügengruppen, wie GL(nein, C) oder Sp(nein, C).

Ebenso die quaternionisch Analoga dieser auch komplexen Varietäten.

Einfache Kohärenz

Das einzigartig verbunden 1-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten sind isomorph entweder:

• , das Einheitsscheibe im C
• C, es komplexe Ebene
• C, das Riemann-Atmosphäre

Beachten Sie, dass es Einschlüsse zwischen diesen gibtΔ ⊆ C ⊆ C, aber das aufgrund der Satz von Liouville keine nicht konstanten Bilder in die andere Richtung existieren.

Fußnoten