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Das Effektivzins ist der interne Rendite jährlich um speichern und ausleihen, Dies ist das Diskontsatz wenn der Barwert der Leistungen dem der Aufwendungen entspricht, d. h. wenn die Barwert der Cashflows (zu denen auch die Fluss genannt) ist null.

Durch die Einzahlung von Kapital und die Entnahme des durch fortlaufende Zinsabgrenzung angesammelten Kapitals wird ein Effektivzins in Höhe des tatsächlichen Zinssatz.^[1][2]

Der effektive Zinssatz kann von dem Nominalzins, weil in einem Finanzprodukt die Interesse zu einem anderen Zeitpunkt als nach einem Jahr gezahlt wird (oder verzinst wird) und weil Kosten anfallen.

Der Effektivzins ist eine gute Möglichkeit, verschiedene Finanzprodukte (Kredite, Sparkonten) zu vergleichen. Das Problem dabei ist, dass viele Menschen den Effektivzins nicht selbst berechnen können. Bei Krediten geben die Kreditgeber daher in der Regel den Effektivzins an.

Im Kontext von Verbraucherkreditverträgen ist der offizielle Begriff in der EU effektiver Jahreszins (APR). Dies ist in diesen Vereinbarungen anzugeben.^[3][4][5][6] Bei einem Kredit für ein eigenes Haus ist der Vorteil der Zinsabzug nicht im effektiven Jahreszins enthalten.

Beispiele

Ein paar Beispiele zur Veranschaulichung.

1. Wenn ich mir 1000 € zu einem nominalen Jahreszins von 6% leihe, aber ich stimme zu, dass diese Zinsen monatlich zu einem Zwölftel beglichen wird, beträgt die Verzinsung effektiv mehr als 6%. Immerhin würden diese 6% bedeuten, dass ich am Ende des Jahres 60 € schulde, aber jetzt schulde ich der Bank früher einen Teil.

Der Effektivzinssatz kann berechnet werden, indem erst zum Jahresende eine Zahlung an die Bank geleistet wird und die monatlich geschuldeten Beträge zu gleichen Konditionen aufgenommen werden. Nach dem ersten Monat wurde die Kreditsumme bereits um 5 € (1/12 von 6% von 1000 €) auf 1005 € erhöht. Nach dem zweiten Monat kommen weitere 0,5% von € 1005,– hinzu usw. Zum Jahresende war die Verschuldung auf 1061,68 € gestiegen. Der effektive Zinssatz beträgt also 6,168 %.

2. Angenommen, die Bank erhebt für die Aufnahme des gleichen Kredits zusätzlich eine Abschlussgebühr von 10 €. Obwohl ich € 1000,- leihe, bekomme ich nur € 990. Wenn ich nach einem Jahr alles auf einmal abbezahle, entsprechen diese Konditionen einem Kredit von 990 € und zu zahlenden Zinsen zuzüglich einer Nachzahlung von 61,68 € 10 €, was einem Effektivzins von 7,24% entspricht.

Effektivzins aus Nominalzins

Der Effektivzinssatz bei einem bestimmten Nominalzinssatz und einer bestimmten Anzahl von Perioden, auf die die Zinsabrechnung aufgeteilt wird (siehe auch Zinseszins) ist:

${displaystyle r_{mathrm {eff} }=left(1 {frac {r_{mathrm {nom} }}{n}}ight)^{n}-1}$

Darin ist r_eff der Effektivzins (als Dezimalbruch geschrieben, im Beispiel 0,06168), r_nom der Nominalzinssatz (im Beispiel 0,06) und nein die Anzahl der Abrechnungsmomente pro Jahr (im Beispiel 12). Die Formel berücksichtigt keine Transaktionskosten.

Der Effektivzins erhöht sich mit der Anzahl der Teilperioden. Der Erhöhung sind jedoch Grenzen gesetzt. Mit sehr vielen Teilperioden. oder tatsächlich in der Grenze zu unendlich vielen Teilperioden:

${displaystyle r_{mathrm {eff} }=mathrm {e} ^{r_{mathrm {nom} }}-1}$

Darin ist e = 2,718… eine mathematische Konstante.

Bei einem Nominalzins von 6% ergibt dies einen Effektivzins von 6,1837%. Die Zinsen fließen dann kontinuierlich mit einer augenblicklichen "Flussrate" pro Jahr von 6% des Kapitals in das Kapital, d relative Wachstumsrate des Kapitals beträgt kontinuierlich 6% pro Jahr. Die tägliche Zinsgutschrift ergibt fast den gleichen effektiven Zinssatz von 6,1831%.

Numerische Werte

Bei monatlichen Zinszahlungen ist die Differenz zwischen Effektivzins und Nominalzins in erster Näherung (die nächste Laufzeit im Newtons Binomial) 5,5 Monate Zinsen auf den Zins, zB bei einem Nominalzins von 4% sind das 11/24 mal 0,16%, das sind 22/300%, also ca. 0,07%. Der effektive Zinssatz beträgt also etwa 4,07 %. Die Differenz nimmt quadratisch mit steigendem Zins zu, sodass sie mit 6% bereits mehr als doppelt so hoch ist, siehe oben.

Die oben genannten 5,5 Monate sind die Differenz zwischen 6 Monaten (durchschnittlicher Zinsaufschub bei jährlicher Nachzahlung im Vergleich zu fortlaufenden Zinsen) und 0,5 Monaten (durchschnittlicher Zinsaufschub bei monatlicher Nachzahlung im Vergleich zu fortlaufenden Zinsen) oder anders berechnet : der durchschnittliche Aufschub der Zinszahlung bei nachträglicher Zahlung pro Jahr, verglichen mit der Zinszahlung pro Monat im Nachhinein, dh der Durchschnitt von 11, 10, .. , 0 Monaten.

Ab 10 % ist der Fehler in dieser Näherung größer als eins Basispunkt.^[7]

Effektivzins auf Transaktionskosten

Im zweiten Beispiel haben wir gesehen, dass Transaktionskosten als zusätzliche Zinszahlung angesehen werden können, wodurch der Effektivzins höher wird.

Der effektive Zinssatz ist der Diskontsatz d bei welchem so ist null, mit:^{[8][9][10][11]}

${displaystyle S=sum _{k=1}^{n}A_{k}(1 d)^{-t_{k}}}$

bei welchem:

• so ist das Gleichgewicht der Barwerte von dem, was der Kreditnehmer zahlt, wenn ein erhaltener Betrag als Zahlung eines negativen Betrags angesehen wird
• nein ist die Anzahl der Zahlungen
• ein_k ist die Zahlung (positiv, wenn der Kreditnehmer einen Betrag zahlt und negativ, wenn der Kreditnehmer einen Betrag erhält) mit fortlaufender Nummer k
• t_k ist das Intervall, ausgedrückt in Jahren und Teilen davon, zwischen dem Datum der ersten Zahlung und dem Datum der Zahlung k (${displaystyle t_{1}}$ ist also null)

Beträge ein_k heißen auch die Fluss erwähnt. so ist dann der Barwert des Flusses. Wenn es null ist, wird es auch als "der Fluss ist äquivalent" ausgedrückt.

Für den Effektivzins gibt es in der Regel keine explizite Formel, er wird dann durch den numerisch lösen des Vergleichso = 0, also

${Anzeigestilsumme _{k=1}^{n}A_{k}(1 d)^{-t_{k}}=0}$

mit d als unbekannt.

Äquivalent ist die Gleichung

${Anzeigestilsumme _{k=1}^{n}A_{k}(1 d)^{t_{n}-t_{k}}=0}$

mit nicht negativen Exponenten und

${Anzeigestilsumme _{k=1}^{n}A_{k}g^{t_{n}-t_{k}}=0}$

mit Wachstumsfaktor G = 1 p > 0.

Eine einfache Möglichkeit, die Gleichung halbautomatisch numerisch zu lösen, besteht darin, dies in a Kalkulationstabelle berechnen aus so für eine Liste aufsteigender Werte von d, und dann sehen wo so wechselt das Vorzeichen. Zum Beispiel, wenn d drei Nachkommastellen sind erwünscht (eine Nachkommastelle für die Anzahl der Prozentsätze), dann kann man d die Werte 0,0005, 0,0015, 0,0025. .., 0,1995 (oder zumindest eine solche Werteliste um den Erwartungswert des Effektivzinses). wenn so als zum Beispiel positiv ist für d = 0,0725 und negativ für d = 0,0735, dann liegt der Effektivzins dazwischen und wird auf 0,073 (7,3%) gerundet.

Auch manchmal ein Löser / Löser Modul vorhanden.

Wenn die Kosten einen Prozentsatz des Kapitals ausmachen, erhöhen sie den Effektivzins bei einer kurzen Laufzeit stärker als bei einer langfristigen. Wenn bei einem Kredit ein fester Betrag an Kosten anfällt, erhöhen diese auch bei einem Kleinkredit den Effektivzins stärker als bei einem Großkredit.

Sonderfälle

Wenn aufeinanderfolgende Zahlungen ein Jahr auseinander liegen, lautet die Gleichung

${Anzeigestilsumme _{k=1}^{n}A_{k}g^{n-k}=0}$

Vor dem nein = 3 das wird der quadratische Gleichung

${Displaystil A_{1}g^{2} A_{2}g A_{3}=0}$

mit möglichen Lösungen

${displaystyle g_{1,2}={frac {-A_{2}pm {sqrt {A_{2}^{2}-4A_{1}A_{3}}}}{2A_{1}}}}$

wenn ${Displaystil A_{1}}$ und ${Displaystil A_{3}}$ mit entgegengesetzten Vorzeichen ergibt dies eine Lösung mit g > 0. Bei einem Kredit, der in zwei Raten zurückgezahlt wird (${Displaystil A_{1}<0}$, ${Displaystil A_{2},A_{3}>0}$) ist das

${displaystyle g={frac {A_{2} {sqrt {A_{2}^{2}-4A_{1}A_{3}}}}{-2A_{1}}}}$

In einigen anderen Fällen (mit einem Kredit in einer Periode und einer Schuld in der anderen) gibt es keine oder zwei Lösungen, siehe die Beispiele in Interne Rendite. Bei einem Spar-/Kreditprogramm, bei dem der Saldo zum Teil positiv und zum Teil negativ ist, ist die Berechnung des Effektivzinses auf Basis der Ein- und Auszahlungen auch weniger sinnvoll, da nicht klar ist, ob ein hoher oder niedriger Prozentsatz ist günstig.

Wenn sich beispielsweise jemand 210 € netto (nach Abzug der Kosten) leiht und 121 € in zwei Raten zurückzahlt, dann G = 1,1 und der effektive Jahreszins beträgt 10 %. Das lässt sich leicht überprüfen: Die Barwerte der Raten betragen 110 € und 100 €, zusammen 210 €.

Auch für nein = 4 und nein = 5 gibt es explizite Formeln für die Lösungen, siehe Cardanos Formel und quadratische Gleichung. Die Verwendung separater Formeln für eine bestimmte Anzahl von Termen ist in vielen Fällen weniger bequem als die Verwendung einer allgemeinen Methode der numerischen Lösung.

Die allgemeine Gleichung kann auch vereinfacht werden, wenn die Ratenbeträge gleich sind und die Zeiträume dazwischen gleich sind. Dies ist in der Regel der Fall, da Sie in der Regel monatlich zurückzahlen müssen. In diesem Fall können die Summen mit der Formel für die Summe von a . eliminiert werden geometrische Folge. Dies führt jedoch in der Regel nicht zu einer expliziten Formel für den Effektivzins.

Externer Link

• https://web.archive.org/web/20070506065427/http://www.reken sample.nl/content/view/27/27 - Berechnung des Effektivzinssatzes aus dem Nominalzinssatz, zum Beispiel bei monatlicher Zahlung