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Faktorenanalyse ist ein multivariat statistisch Methode, die eine kleinere Anzahl von zugrunde liegenden Variablen für eine große Anzahl von beobachteten Variablen identifiziert. Diese unbeobachteten zugrunde liegenden Variablen werden Faktoren genannt. Wichtig ist, dass die Faktoren fast genauso viel der Variation erklären wie die beobachteten Variablen. Die Faktorenanalyse wird verwendet für Datenreduzierung und einen Einblick in die Struktur des Datensatzes zu gewinnen.

Eine gute Faktorenlösung bestimmt eine relativ kleine Anzahl von Faktoren, die zusammen einen großen Teil der in den ursprünglichen Variablen vorhandenen Varianz erklären. Matrixalgebra ist ein wesentlicher Bestandteil der Faktorenanalyse. Die Faktorlösung erhält man durch Manipulation des Korrelationsmatrix.

Beispiel mit 2 Variablen und 1 Faktor, jeder Punkt steht für die Punktzahl A und B eines Faches.

Beispiel

Ein sehr vereinfachtes Beispiel verdeutlicht die Dinge.

Angenommen, eine Gruppe von Probanden auf einem Fragebogen beantwortet zwei Fragen, A und B. Die Analyse zeigt, dass es eine Beziehung zwischen A und B gibt. Dies könnte auf den Einfluss von A auf B, den Einfluss von B auf A oder darauf zurückzuführen sein, dass eine andere unbekannte Variable C im Spiel ist. Die Faktorenanalyse ermöglicht das Unbekannte Variable C verfolgt werden.

Es ist deutlich zu erkennen, dass die beiden Variablen A und B korreliert sein. Die Linie, die gut zu dem passt Punktwolke Vergangenheit repräsentiert diese Beziehung zwischen A und B. Die größte Abweichung tritt entlang der Linie auf, die kleinste senkrecht dazu. Die Linie stellt eine neue Variable dar, in diesem Fall Faktor genannt, die an die Stelle von A und B treten kann. Ein niedriger Wert bei dieser Variablen entspricht einem niedrigen Wert sowohl bei A als auch B und einem hohen Wert einem hohen Wert bei A und B. Ziel der Faktorenanalyse ist in diesem Fall, diese Linie und damit den unbekannten Faktor zu bestimmen.

Als Beispiel nehmen wir ein Experiment, bei dem die Länge der Arme und die Länge der Beine von mehreren Personen gemessen werden. Diese scheinen gut korreliert zu sein. Der unbekannte Faktor könnte hier die Größe der Person sein.

Ziel

Das Auffinden einer oder mehrerer zugrunde liegender (möglicherweise hypothetischer) Variablen ist das Ziel der Faktorenanalyse. Theoretisch kann die Anzahl der Faktoren von einem bis zur Anzahl der ursprünglichen Variablen reichen. wenn Faustregel oft kann ein Drittel bis ein Fünftel der Anzahl der ursprünglichen Variablen eine nützliche Faktorlösung darstellen.

Bei der Durchführung einer Faktorenanalyse ist zu jedem Zeitpunkt des Prozesses viel persönliche Interpretation vom Executor erforderlich. Zwei verschiedene Personen können also mit exakt demselben Datensatz zu unterschiedlichen Schlussfolgerungen kommen. Wo eine Person glaubt, dass drei Faktoren unterschieden werden können, kann eine andere glauben, dass es tatsächlich fünf Faktoren gibt. Aus diesem Grund hat die Faktorenanalyse in einer Reihe von wissenschaftlichen Disziplinen an Bedeutung verloren.

Die Faktorenanalyse ist sehr ähnlich zu Hauptkomponentenanalyse. Was in der Faktorenanalyse Faktoren wird in der Hauptkomponentenanalyse erwähnt Komponenten erwähnt. Der Unterschied zwischen den beiden Analysetechniken besteht darin, dass die Faktorenanalyse nur die gemeinsame Varianz der ursprünglichen Variablen untersucht, während die Hauptkomponentenanalyse auch die eindeutige Varianz untersucht. In den meisten Fällen sind die Unterschiede zwischen den beiden Methoden nicht sehr groß. Wenn es Unterschiede gibt, liegt dies an der einzigartigen Varianz innerhalb (einer) der beobachteten Variablen. Eine dritte Analysetechnik, die nach zugrunde liegenden Variablen sucht, ist die Korrespondenzanalyse, in denen nicht a priori lineare Zusammenhänge vorausgesetzt werden.

• Kommunalitäten: Die Kommunalität einer beobachteten Variablen repräsentiert den Anteil der vom Faktor vorhergesagten Varianz. Da eine Kommunalität ein Anteil an der Gesamtvarianz ist, kann sie theoretisch nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Als Faustregel wird allgemein verwendet, dass eine Variable nur dann richtig auf einen Faktor geladen wird, wenn sie eine Kommunalität von mehr als 0,45 hat. In Situationen, in denen zu wenig Daten zur Verfügung stehen, die Startwerte falsch gewählt sind oder die Anzahl der extrahierten Faktoren falsch ist, können in der Praxis Variablen mit Kommunalitäten größer 1 auftreten. In einer solchen Situation spricht man von einem Heywood-Fall. In diesem Fall muss die gewählte Faktorlösung als problematische Lösung interpretiert werden.

Geröllgrundstück von 18 Variablen, wobei 3 Faktoren einen Eigenwert größer 1 haben (im Bild über der blauen Linie).
Anhand des Screeplots kann auch der 'Ellbogen' des Graphen bestimmt werden. In diesem Beispiel handelt es sich um eine 2-Faktor-Lösung; der Graph fällt ab diesem Punkt viel weniger stark ab

• Anzahl der Faktoren: Die Anzahl der Faktoren kann unter anderem auf der Eigenwerte der Faktoren bestimmt werden. Der Eigenwert gibt an, wie viel zusätzliche Varianz durch den zusätzlichen Faktor erklärt wird. Da es sich um standardisierte Variablen handelt, addiert jeder zusätzliche Faktor eine Varianz von 1. Faktoren mit einem Eigenwert kleiner 1 erklären daher weniger Varianz, als sie sich selbst addieren. Dieses Faustregel wird auch als Kaiser-Kriterium oder Guttman-Kriterium bezeichnet. Der Nachteil der Faustregel ist die Gefahr der Überschätzung der Anzahl der Faktoren. Eine alternative Entscheidungsregel für die Anzahl der Faktoren kann auf a . basieren Geröllgrundstück erhältlich (siehe Abbildung). Hier schauen wir uns anhand des Graphen an, wo der sogenannte 'Ellbogen' der Eigenwerte auftritt. Dies ist der Punkt, an dem die Steigung der Linie durch die Eigenwerte zeigt einen Knick.
• Faktorladungen sind die Korrelationskoeffizienten zwischen den gemessenen Variablen und den erklärenden Faktoren.

Links eine Faktorlösung, die beide Faktoren hoch belastet; Rechts die (schrägen) rotierten Faktoren, die zeigen, dass es zwei Faktoren gibt

• Rotation: Nachdem Faktoren aus der Korrelationsmatrix extrahiert wurden, ist es möglich, die Faktoren zu rotieren, um die Interpretation der Faktoren zu erleichtern. Die Faktorrotation ändert die Lösung nicht, sondern bezeichnet Kombinationen der ursprünglichen Faktoren als neue Faktoren. Gerade wenn die Faktoren nicht grafisch, sondern in tabellarischer Form interpretiert werden, hat die Rotation oft eine klärende Wirkung. Die Matrix kann so rotiert werden, dass die Korrelation zwischen Variablen, die in der ursprünglichen Matrix der Faktorladungen niedrig waren, noch geringer wird und die Korrelation zwischen hohen Faktorladungen noch höher wird. Es gibt viele Methoden, um eine Faktorrotation durchzuführen, unterteilt in senkrecht und schräg Drehungen; beim ersten Typ werden die verschiedenen Faktoren als strikt unabhängig voneinander angenommen, bei schrägen Methoden können die Faktoren korreliert werden. In den gängigen Statistiksoftwarepaketen wie SPSS und SAS sind eine Reihe spezifischer Rotationsmethoden enthalten. Beispiele für Rotationsmethoden sind Varimax, Direct Oblimin, Quartimax, Equamax und Promax.
• Faktorwerte: Die hypothetischen Werte von Individuen zu den gefundenen Faktoren. Diese werden ausgedrückt als Z-Werte, d.h. mit a Standardabweichung von 1 und a Erwartung 0.

Modemodell

Das Modell der Faktorenanalyse besagt, dass die beobachteten Variablen ${Anzeigestil X}$, in einem unerklärlichen Teil, die Einzigartigkeit ${Displaystil U}$, na, können als Linearkombinationen ausgedrückt werden ${Anzeigestil L}$ einer kleineren Anzahl von Variablen die Faktoren ${Anzeigestil F}$.

${Displaystil X=mu LF U}$

Darin ist ${Anzeigestil X}$ der Vektor der ${displaystyle p}$ Variablen, ${Anzeigestil mu}$ der Vektor mit den erwarteten Werten der Variablen, ${Anzeigestil F}$ der Vektor mit dem ${Anzeigestil k(kleq p)}$ Faktoren,${Anzeigestil L}$ die Koeffizientenmatrix, Faktorladungen genannt, und ${Displaystil U}$ der Vektor der Einzigartigkeit. Die Faktoren werden als standardisiert und nicht miteinander korreliert angenommen. Es wird angenommen, dass die Eindeutigkeiten 0 sind und nicht mit den Faktoren korreliert sind.

Für die Kovarianzmatrix ${Anzeigestil Sigma }$ der Variablen folgt dann:

${displaystyle Sigma =Operatorname {E} (X-mu)(X-mu)'=Operatorname {E} (LF U)(LF U)'=LL' W,}$

in welchem ${Anzeigestil W}$ ist die Kovarianzmatrix der Eindeutigkeiten.

Die Aufgabe der Faktorenanalyse ist die Dimension ${displaystyle k}$ und die Faktorladungen ${Anzeigestil L}$ so dass der Beitrag zur Varianz aufgrund der Eindeutigkeit gering bleibt. Der Teil der Varianz einer Variablen ${Anzeigestil I}$ die durch die Faktoren berücksichtigt wird, heißt Gemeinschaft${displaystyle h_{i}}$; sie wird durch die Summe der Quadrate der beteiligten Faktorladungen gebildet:

${displaystyle h_{i}=Summe _{j}L_{ij}^{2}=(LL')_{ii}}$

Eine gängige Analyse ist die Hauptbestandteile von ${displaystyle LL'}$ bestimmt werden, und die ${displaystyle k}$ wichtigsten Faktoren.