WikiDer > Gauss kvadrati

Ushbu maqola umumiy ro'yxatini o'z ichiga oladi ma'lumotnomalar, lekin bu asosan tasdiqlanmagan bo'lib qolmoqda, chunki unga mos keladigan etishmayapti satrda keltirilgan. Iltimos yordam bering takomillashtirish tomonidan ushbu maqola tanishtirish aniqroq iqtiboslar. (2018 yil sentyabr) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

2 balli Gauss va trapetsiyal kvadrati o'rtasidagi taqqoslash. Moviy chiziq ko'pburchakdir ${ textstyle y (x) = 7x ^ {3} -8x ^ {2} -3x + 3}$, uning ajralmas qismi [−1, 1] bu ​²⁄₃. The trapezoidal qoida ga teng to'q sariq chiziqning integralini qaytaradi ${ textstyle y (-1) + y (1) = - 10}$. 2-punktli Gauss kvadrati qoidasi qora chiziqli egri chiziqning integralini qaytaradi ${ textstyle y chap (- { sqrt { frac {1} {3}}} o'ng) + y chap ({ sqrt { frac {1} {3}}} o'ng) = { frac {2} {3}}}$. Bunday natija aniq, chunki yashil mintaqa qizil hududlarning yig'indisi bilan bir xil maydonga ega.

Yilda raqamli tahlil, a kvadratsiya qoidasi ning yaqinlashishi aniq integral a funktsiya, odatda a tortilgan summa funktsiya qiymatlari integratsiya sohasidagi belgilangan nuqtalarda. (Qarang raqamli integratsiya ko'proq haqida to'rtburchak qoidalar.) An n- nuqta Gauss kvadrati qoidasinomi bilan nomlangan Karl Fridrix Gauss,^[1] uchun aniq natija berish uchun qurilgan kvadratsiya qoidasi polinomlar daraja 2n − 1 yoki tugunlarning mos tanlovi bilan kamroq x_men va og'irliklar w_men uchun men = 1, ..., n. Ortogonal polinomlardan foydalangan holda zamonaviy formulalar tomonidan ishlab chiqilgan Karl Gustav Jakobi 1826.^[2] Bunday qoida uchun eng keng tarqalgan integratsiya sohasi quyidagicha qabul qilinadi [−1, 1], shuning uchun qoida quyidagicha ko'rsatilgan

${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} f (x) , dx approx sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} f (x_ {i}),}$

daraja polinomlari uchun aniq 2n − 1 yoki kamroq. Ushbu aniq qoida Gauss-Legendre kvadratsiya qoidasi sifatida tanilgan. Kvadratura qoidasi faqat yuqoridagi integralga aniq yaqinlashish bo'ladi, agar f(x) darajadagi polinom bilan yaxshi taqqoslangan 2n − 1 yoki kamroq [−1, 1].

Gauss -Legendre to'rtburchaklar qoidasi odatda so'nggi nuqta bilan integral funktsiyalar uchun ishlatilmaydi o'ziga xoslik. Buning o'rniga, agar integralni quyidagicha yozish mumkin bo'lsa

${ displaystyle f (x) = chap (1-x o'ng) ^ { alfa} chap (1 + x right) ^ { beta} g (x), quad alpha, beta> - 1,}$

qayerda g(x) past darajadagi polinom, so'ngra muqobil tugunlar tomonidan yaxshi taxmin qilingan ${ displaystyle x_ {i} '}$ va og'irliklar ${ displaystyle w_ {i} '}$ odatda aniqroq kvadratsiya qoidalarini beradi. Ular sifatida tanilgan Gauss-Jakobi to'rtligi qoidalar, ya'ni

${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} f (x) , dx = int _ {- 1} ^ {1} left (1-x right) ^ { alpha} left ( 1 + x o'ng) ^ { beta} g (x) , dx approx sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} 'g chap (x_ {i}' o'ng). }$

Umumiy og'irliklar kiradi ${ textstyle { frac {1} { sqrt {1-x ^ {2}}}}}$ (Chebyshev – Gauss) va ${ displaystyle { sqrt {1-x ^ {2}}}}$. Bundan tashqari, kimdir yarim cheksiz birlashishni xohlashi mumkin (Gauss-Laguer kvadrati) va cheksiz intervallar (Gauss-Hermit kvadrati).

Quadrature tugunlari ko'rsatilishi mumkin (Press va boshq., Yoki Stoer va Bulirsch-ga qarang). x_men ular ildizlar sinfiga mansub polinomning ortogonal polinomlar (vaznli ichki mahsulotga nisbatan sinf ortogonal). Bu Gauss kvadrati tugunlari va og'irliklarini hisoblash uchun asosiy kuzatuv.

Gauss-Legendr kvadrati

Legendre polinomlarining grafikalari (gacha) n = 5)

Yuqorida aytib o'tilgan eng oddiy integratsiya muammosi uchun, ya'ni. f(x) on polinomlar tomonidan yaxshi taxmin qilingan ${ displaystyle [-1,1]}$, bog'langan ortogonal polinomlar Legendre polinomlari, bilan belgilanadi P_n(x). Bilan n- berish uchun normallashtirilgan uchinchi polinom P_n(1) = 1, men- Gauss tuguni, x_men, bo'ladi men- ning ildizi P_n va vaznlar (Abramovits va Stegun 1972 yil, p. 887) harv xatosi: maqsad yo'q: CITEREFAbramowitzStegun1972 (Yordam bering)

${ displaystyle w_ {i} = { frac {2} { chap (1-x_ {i} ^ {2} o'ng) chap [P '_ {n} (x_ {i}) o'ng] ^ {2}}}.}$

Ba'zi past darajadagi kvadratsiya qoidalari quyida keltirilgan (intervalgacha) [−1, 1], boshqa intervallar uchun quyidagi bo'limga qarang).

Ballar soni, n	Ballar, xmen		Og'irliklar, wmen
1	0		2
2	${ displaystyle pm { frac {1} { sqrt {3}}}}$	±0.57735...	1
3	0		${ displaystyle { frac {8} {9}}}$	0.888889...
	${ displaystyle pm { sqrt { frac {3} {5}}}}$	±0.774597...	${ displaystyle { frac {5} {9}}}$	0.555556...
4	${ displaystyle pm { sqrt {{ frac {3} {7}} - { frac {2} {7}} { sqrt { frac {6} {5}}}}}}}$	±0.339981...	${ displaystyle { frac {18 + { sqrt {30}}} {36}}}$	0.652145...
	${ displaystyle pm { sqrt {{ frac {3} {7}} + { frac {2} {7}} { sqrt { frac {6} {5}}}}}}}$	±0.861136...	${ displaystyle { frac {18 - { sqrt {30}}} {36}}}$	0.347855...
5	0		${ displaystyle { frac {128} {225}}}$	0.568889...
	${ displaystyle pm { frac {1} {3}} { sqrt {5-2 { sqrt { frac {10} {7}}}}}}$	±0.538469...	${ displaystyle { frac {322 + 13 { sqrt {70}}} {900}}}$	0.478629...
	${ displaystyle pm { frac {1} {3}} { sqrt {5 + 2 { sqrt { frac {10} {7}}}}}}$	±0.90618...	${ displaystyle { frac {322-13 { sqrt {70}}} {900}}}$	0.236927...

Intervalning o'zgarishi

Ajralmas tugadi [a, b] integral sifatida o'zgartirilishi kerak [−1, 1] Gauss kvadratsiya qoidasini qo'llashdan oldin. Ushbu intervalni o'zgartirish quyidagi tarzda amalga oshirilishi mumkin:

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx = { frac {ba} {2}} int _ {- 1} ^ {1} f left ({ frac {) ba} {2}} xi + { frac {a + b} {2}} right) , d xi.}$

Qo'llash ${ displaystyle n}$ Gauss kvadrati ${ displaystyle ( xi, w)}$ qoida quyidagi taxminiy natijalarga olib keladi:

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx taxminan { frac {ba} {2}} sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} f chap ({ frac {ba} {2}} xi _ {i} + { frac {a + b} {2}} o'ng).}$

Boshqa shakllar

Integratsiya muammosi ijobiy tomonlarni kiritish orqali biroz umumiyroq tarzda ifodalanishi mumkin vazn funktsiyasi ω integralga va boshqa intervalgacha ruxsat beriladi [−1, 1]. Ya'ni, muammo hisoblashda

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} omega (x) , f (x) , dx}$

ning ba'zi tanlovlari uchun a, bva ω. Uchun a = −1, b = 1va ω (x) = 1, muammo yuqorida ko'rib chiqilgan bilan bir xil. Boshqa tanlovlar boshqa integratsiya qoidalariga olib keladi. Ulardan ba'zilari quyida keltirilgan. Tenglama raqamlari berilgan Abramovits va Stegun (A & S).

Interval	ω(x)	Ortogonal polinomlar	A & S	Qo'shimcha ma'lumot uchun qarang ...
[−1, 1]	1	Legendre polinomlari	25.4.29	§ Gauss-Legendr kvadrati
(−1, 1)	${ displaystyle chap (1-x o'ng) ^ { alfa} chap (1 + x o'ng) ^ { beta}, quad alpha, beta> -1}$	Yakobi polinomlari	25.4.33 (β = 0)	Gauss-Jakobi to'rtligi
(−1, 1)	${ displaystyle { frac {1} { sqrt {1-x ^ {2}}}}}$	Chebyshev polinomlari (birinchi tur)	25.4.38	Chebyshev-Gauss to'rtligi
[−1, 1]	${ displaystyle { sqrt {1-x ^ {2}}}}$	Chebyshev polinomlari (ikkinchi tur)	25.4.40	Chebyshev-Gauss to'rtligi
[0, ∞)	${ displaystyle e ^ {- x} ,}$	Laguer polinomlari	25.4.45	Gauss-Laguer kvadrati
[0, ∞)	${ displaystyle x ^ { alpha} e ^ {- x}, quad alpha> -1}$	Umumlashtirildi Laguer polinomlari		Gauss-Laguer kvadrati
(−∞, ∞)	${ displaystyle e ^ {- x ^ {2}}}$	Hermit polinomlari	25.4.46	Gauss-Hermit kvadrati

Asosiy teorema

Ruxsat bering p_n darajadagi nontrivial polinom bo'ling n shu kabi

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} omega (x) , x ^ {k} p_ {n} (x) , dx = 0, quad { text {for all}} k = 0,1, ldots, n-1.}$

Agar biz tanlasak n tugunlar x_men ning nollari bo'lish p_n, keyin mavjud n og'irliklar w_men Gauss-kvadraturani hisoblangan integralni barcha polinomlar uchun aniq qiladi h(x) daraja 2n − 1 yoki kamroq. Bundan tashqari, ushbu tugunlarning barchasi x_men ochiq oraliqda yotadi (a, b) (Stoer & Bulirsch 2002 yil, 172–175 betlar).

Polinom p_n daraja ortogonal polinomiga aytiladi n vazn funktsiyasi bilan bog'liq ω(x). Doimiy normallashtirish omiliga qadar noyobdir. Isbot asosida yotgan fikr shundan iboratki, uning etarlicha pastligi tufayli, h(x) ga bo'lish mumkin ${ displaystyle p_ {n} (x)}$ miqdorni ishlab chiqarish q(x) darajasidan qat'iyan pastroq nva qolgan qismi r(x) ikkalasi ham ortogonal bo'lishi uchun hali ham past darajadagi ${ displaystyle p_ {n} (x)}$, ning aniqlovchi xususiyati bo'yicha ${ displaystyle p_ {n} (x)}$. Shunday qilib

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} omega (x) , h (x) , dx = int _ {a} ^ {b} omega (x) , r (x) , dx.}$

Tugunlarni tanlash tufayli x_men, tegishli munosabat

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} h (x_ {i}) = sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} r (x_ {i}) }$

shuningdek ushlab turadi. Uchun hisoblangan integralning aniqligi ${ displaystyle h (x)}$ keyin faqat darajadagi polinomlar uchun mos aniqlikdan kelib chiqadi n yoki undan kam (xuddi shunday) ${ displaystyle r (x)}$).

Og'irliklar uchun umumiy formula

Og'irliklar quyidagicha ifodalanishi mumkin

${ displaystyle w_ {i} = { frac {a_ {n}} {a_ {n-1}}} { frac { int _ {a} ^ {b} omega (x) p_ {n-1 } chap (x o'ng) ^ {2} dx} {p '_ ​​{n} (x_ {i}) p_ {n-1} (x_ {i})}}}$

(1)

qayerda ${ displaystyle a_ {k}}$ ning koeffitsienti ${ displaystyle x ^ {k}}$ yilda ${ displaystyle p_ {k} (x)}$. Buni isbotlash uchun foydalanishni unutmang Lagranj interpolatsiyasi bir kishi ifoda etishi mumkin r(x) xususida ${ displaystyle r (x_ {i})}$ kabi

${ displaystyle r (x) = sum _ {i = 1} ^ {n} r (x_ {i}) prod _ { begin {smallmatrix} 1 leq j leq n j neq i end {smallmatrix}} { frac {x-x_ {j}} {x_ {i} -x_ {j}}}}$

chunki r(x) darajadan kam darajaga ega n va shu bilan erishilgan qiymatlar bilan belgilanadi n turli xil fikrlar. Ikkala tomonni ko'paytiring ω(x) va dan integratsiya a ga b hosil

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} omega (x) r (x) dx = sum _ {i = 1} ^ {n} r (x_ {i}) int _ {a} ^ {b} omega (x) prod _ { begin {smallmatrix} 1 leq j leq n j neq i end {smallmatrix}} { frac {x-x_ {j}} {x_ { i} -x_ {j}}} dx}$

Og'irliklar w_men shunday qilib beriladi

${ displaystyle w_ {i} = int _ {a} ^ {b} omega (x) prod _ { begin {smallmatrix} 1 leq j leq n j neq i end {smallmatrix} } { frac {x-x_ {j}} {x_ {i} -x_ {j}}} dx}$

Uchun bu ajralmas ifoda ${ displaystyle w_ {i}}$ ortogonal polinomlar bilan ifodalanishi mumkin ${ displaystyle p_ {n} (x)}$ va ${ displaystyle p_ {n-1} (x)}$ quyidagicha.

Biz yozishimiz mumkin

${ displaystyle prod _ { begin {smallmatrix} 1 leq j leq n j neq i end {smallmatrix}} left (x-x_ {j} right) = { frac { prod _ {1 leq j leq n} chap (x-x_ {j} o'ng)} {x-x_ {i}}} = { frac {p_ {n} (x)} {a_ {n} chap (x-x_ {i} o'ng)}}}$

qayerda ${ displaystyle a_ {n}}$ ning koeffitsienti ${ displaystyle x ^ {n}}$ yilda ${ displaystyle p_ {n} (x)}$. Limitini olish x ga ${ displaystyle x_ {i}}$ L'Hôpital qoidasidan foydalangan holda hosil beradi

${ displaystyle prod _ { begin {smallmatrix} 1 leq j leq n j neq i end {smallmatrix}} left (x_ {i} -x_ {j} right) = { frac {p '_ ​​{n} (x_ {i})} {a_ {n}}}}$

Shunday qilib biz og'irliklar uchun integral ifodani quyidagicha yozishimiz mumkin

${ displaystyle w_ {i} = { frac {1} {p '_ ​​{n} (x_ {i})}} int _ {a} ^ {b} omega (x) { frac {p_ { n} (x)} {x-x_ {i}}} dx}$

(2)

Integralda yozish

${ displaystyle { frac {1} {x-x_ {i}}} = { frac {1- chap ({ frac {x} {x_ {i}}} o'ng) ^ {k}} { x-x_ {i}}} + chap ({ frac {x} {x_ {i}}} o'ng) ^ {k} { frac {1} {x-x_ {i}}}}$

hosil

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} omega (x) { frac {x ^ {k} p_ {n} (x)} {x-x_ {i}}} dx = x_ {i} ^ {k} int _ {a} ^ {b} omega (x) { frac {p_ {n} (x)} {x-x_ {i}}} dx}$

taqdim etilgan ${ displaystyle k leq n}$, chunki

${ displaystyle { frac {1- chap ({ frac {x} {x_ {i}}} o'ng) ^ {k}} {x-x_ {i}}}}$

daraja polinomidir k - 1 keyin ortogonal bo'lgan ${ displaystyle p_ {n} (x)}$. Shunday qilib, agar q(x) bizda mavjud bo'lgan eng yuqori darajadagi polinom

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} omega (x) { frac {p_ {n} (x)} {x-x_ {i}}} dx = { frac {1} {q ( x_ {i})}} int _ {a} ^ {b} omega (x) { frac {q (x) p_ {n} (x)} {x-x_ {i}}} dx}$

Biz o'ng tomonda integralni baholashimiz mumkin ${ displaystyle q (x) = p_ {n-1} (x)}$ quyidagicha. Chunki ${ displaystyle { frac {p_ {n} (x)} {x-x_ {i}}}}$ daraja polinomidir n - 1, bizda ... bor

${ displaystyle { frac {p_ {n} (x)} {x-x_ {i}}} = a_ {n} x ^ {n-1} + s (x)}$

qayerda s(x) daraja polinomidir ${ displaystyle n-2}$. Beri s(x) ga ortogonaldir ${ displaystyle p_ {n-1} (x)}$ bizda ... bor

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} omega (x) { frac {p_ {n} (x)} {x-x_ {i}}} dx = { frac {a_ {n}} {p_ {n-1} (x_ {i})}} int _ {a} ^ {b} omega (x) p_ {n-1} (x) x ^ {n-1} dx}$

Keyin yozishimiz mumkin

${ displaystyle x ^ {n-1} = chap (x ^ {n-1} - { frac {p_ {n-1} (x)} {a_ {n-1}}} o'ng) + { frac {p_ {n-1} (x)} {a_ {n-1}}}}$

Qavsdagi atama daraja polinomidir ${ displaystyle n-2}$, shuning uchun ortogonaldir ${ displaystyle p_ {n-1} (x)}$. Shunday qilib integralni quyidagicha yozish mumkin

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} omega (x) { frac {p_ {n} (x)} {x-x_ {i}}} dx = { frac {a_ {n}} {a_ {n-1} p_ {n-1} (x_ {i})}} int _ {a} ^ {b} omega (x) p_ {n-1} (x) ^ {2} dx }$

Tenglama bo'yicha (2), og'irliklar buni quyidagiga bo'lish orqali olinadi ${ displaystyle p '_ {n} (x_ {i})}$ va bu tenglamadagi ifodani beradi (1).

${ displaystyle w_ {i}}$ ortogonal polinomlar bilan ham ifodalanishi mumkin ${ displaystyle p_ {n} (x)}$ va hozir ${ displaystyle p_ {n + 1} (x)}$. 3-muddatli takrorlanish munosabatlarida ${ displaystyle p_ {n + 1} (x_ {i}) = (a) p_ {n} (x_ {i}) + (b) p_ {n-1} (x_ {i})}$ bilan atama ${ displaystyle p_ {n} (x_ {i})}$ yo'qoladi, shuning uchun ${ displaystyle p_ {n-1} (x_ {i})}$ tenglamada (1) bilan almashtirilishi mumkin ${ textstyle { frac {1} {b}} p_ {n + 1} chap (x_ {i} o'ng)}$.

Og'irliklar ijobiy ekanligining isboti

Darajaning quyidagi polinomini ko'rib chiqing ${ displaystyle 2n-2}$

${ displaystyle f (x) = prod _ { begin {smallmatrix} 1 leq j leq n j neq i end {smallmatrix}} { frac { left (x-x_ {j} ) o'ng) ^ {2}} { chap (x_ {i} -x_ {j} o'ng) ^ {2}}}}$

bu erda, yuqoridagi kabi, x_j polinomning ildizlari ${ displaystyle p_ {n} (x)}$. Shubhasiz ${ displaystyle f (x_ {j}) = delta _ {ij}}$. Darajasidan beri ${ displaystyle f (x)}$ dan kam ${ displaystyle 2n-1}$, olingan vazn va tugunlarni o'z ichiga olgan Gauss kvadrati formulasi ${ displaystyle p_ {n} (x)}$ amal qiladi. Beri ${ displaystyle f (x_ {j}) = 0}$ i uchun teng bo'lmagan j uchun bizda bor

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} omega (x) f (x) dx = sum _ {j = 1} ^ {N} w_ {j} f (x_ {j}) = sum _ {j = 1} ^ {N} delta _ {ij} w_ {j} = w_ {i}> 0.}$

Ikkalasidan beri ${ displaystyle omega (x)}$ va ${ displaystyle f (x)}$ manfiy bo'lmagan funktsiyalar, bundan kelib chiqadiki ${ displaystyle w_ {i}> 0}$.

Gauss kvadrati qoidalarini hisoblash

Tugunlarni hisoblash uchun ko'plab algoritmlar mavjud x_men va og'irliklar w_men Gauss kvadrati qoidalarining. Golub-Welsch algoritmi talab qilinadigan eng ommabop O(n²) operatsiyalar, Nyutonning hal qilish usuli ${ displaystyle p_ {n} (x) = 0}$ yordamida uch muddatli takrorlanish talab qilinadigan baholash uchun O(n²) operatsiyalar va katta uchun asimptotik formulalar n talab qilmoqda O(n) operatsiyalar.

Takrorlanish munosabati

Ortogonal polinomlar ${ displaystyle p_ {r}}$ bilan ${ displaystyle (p_ {r}, p_ {s}) = 0}$ uchun ${ displaystyle r neq s}$ skaler mahsulot uchun ${ displaystyle (, ,)}$, daraja ${ displaystyle (p_ {r}) = r}$ va etakchi koeffitsient (ya'ni monik ortogonal polinomlar) takrorlanish munosabatini qondiradi

${ displaystyle p_ {r + 1} (x) = (x-a_ {r, r}) p_ {r} (x) -a_ {r, r-1} p_ {r-1} (x) cdots -a_ {r, 0} p_ {0} (x)}$

va skalar mahsuloti aniqlangan

${ displaystyle (f (x), g (x)) = int _ {a} ^ {b} omega (x) f (x) g (x) dx}$

uchun ${ displaystyle r = 0,1, ldots, n-1}$ qayerda n cheksiz deb qabul qilinishi mumkin bo'lgan maksimal daraja va qaerda ${ textstyle a_ {r, s} = { frac { chap (xp_ {r}, p_ {s} o'ng)} { chap (p_ {s}, p_ {s} o'ng)}}}$. Avvalo, bilan boshlangan takrorlanish munosabati bilan aniqlangan polinomlar ${ displaystyle p_ {0} (x) = 1}$ etakchi koeffitsienti bitta va to'g'ri darajaga ega. Tomonidan boshlang'ich nuqtasi berilgan ${ displaystyle p_ {0}}$, ning ortogonalligi ${ displaystyle p_ {r}}$ induktsiya orqali ko'rsatilishi mumkin. Uchun ${ displaystyle r = s = 0}$ bittasi bor

${ displaystyle (p_ {1}, p_ {0}) = (x-a_ {0,0}) (p_ {0}, p_ {0}) = (xp_ {0}, p_ {0}) - a_ {0,0} (p_ {0}, p_ {0}) = (xp_ {0}, p_ {0}) - (xp_ {0}, p_ {0}) = 0.}$

Endi agar ${ displaystyle p_ {0}, p_ {1}, ldots, p_ {r}}$ ortogonal, keyin ham ${ displaystyle p_ {r + 1}}$, chunki

${ displaystyle (p_ {r + 1}, p_ {s}) = (xp_ {r}, p_ {s}) - a_ {r, r} (p_ {r}, p_ {s}) - a_ {r , r-1} (p_ {r-1}, p_ {s}) cdots -a_ {r, 0} (p_ {0}, p_ {s})}$

skaler mahsulotlarning barchasi yo'qoladi, faqat birinchisi va qaerdaligi ${ displaystyle p_ {s}}$ bir xil ortogonal polinom bilan uchrashadi. Shuning uchun,

${ displaystyle (p_ {r + 1}, p_ {s}) = (xp_ {r}, p_ {s}) - a_ {r, s} (p_ {s}, p_ {s}) = (xp_ { r}, p_ {s}) - (xp_ {r}, p_ {s}) = 0.}$

Ammo, agar skalar mahsuloti qondirsa ${ displaystyle (xf, g) = (f, xg)}$ (bu Gauss kvadrati uchun), takrorlanish munosabati uch muddatli takrorlanish munosabatlariga kamayadi: uchun ${ displaystyle s$ ga teng yoki teng daraja polinomidir r − 1. Boshqa tarafdan, ${ displaystyle p_ {r}}$ ga teng yoki teng darajadagi har bir polinomga ortogonaldir r − 1. Shuning uchun, kimdir bor ${ displaystyle (xp_ {r}, p_ {s}) = (p_ {r}, xp_ {s}) = 0}$ va ${ displaystyle a_ {r, s} = 0}$ uchun s < r − 1. Keyin takrorlanish munosabati quyidagini soddalashtiradi

${ displaystyle p_ {r + 1} (x) = (x-a_ {r, r}) p_ {r} (x) -a_ {r, r-1} p_ {r-1} (x)}$

yoki

${ displaystyle p_ {r + 1} (x) = (x-a_ {r}) p_ {r} (x) -b_ {r} p_ {r-1} (x)}$

(konventsiya bilan ${ displaystyle p _ {- 1} (x) equiv 0}$) qayerda

${ displaystyle a_ {r}: = { frac {(xp_ {r}, p_ {r})} {(p_ {r}, p_ {r})}}, qquad b_ {r}: = { frac {(xp_ {r}, p_ {r-1})} {(p_ {r-1}, p_ {r-1})}} = { frac {(p_ {r}, p_ {r}) } {(p_ {r-1}, p_ {r-1})}}}$

(oxirgi tufayli ${ displaystyle (xp_ {r}, p_ {r-1}) = (p_ {r}, xp_ {r-1}) = (p_ {r}, p_ {r})}$, beri ${ displaystyle xp_ {r-1}}$ dan farq qiladi ${ displaystyle p_ {r}}$ darajadan kamroq r).

Golub-Velsch algoritmi

Uch muddatli takrorlanish munosabati matritsa shaklida yozilishi mumkin ${ displaystyle J { tilde {P}} = x { tilde {P}} - p_ {n} (x) times mathbf {e} _ {n}}$ qayerda ${ displaystyle { tilde {P}} = { begin {bmatrix} p_ {0} (x) & p_ {1} (x) & ldots & p_ {n-1} (x) end {bmatrix}} ^ { mathsf {T}}}$, ${ displaystyle mathbf {e} _ {n}}$ bo'ladi ${ displaystyle n}$standart asos vektor, ya'ni, ${ displaystyle mathbf {e} _ {n} = { begin {bmatrix} 0 & ldots & 0 & 1 end {bmatrix}} ^ { mathsf {T}}}$va J Jakobi matritsasi:

${ displaystyle mathbf {J} = { begin {pmatrix} a_ {0} & 1 & 0 & ldots & ldots & ldots b_ {1} & a_ {1} & 1 & 0 & ldots & ldots 0 & b_ {2} & a_ {2} & 1 & 0 & ldots 0 & ldots & ldots & ldots & ldots & 0 ldots & ldots & 0 & b_ {n-2} & a_ {n-2} & 1 ldots & ldots & ldots & 0 & b_ {n-1} & a_ {n-1} end {pmatrix}}}$

Nollar ${ displaystyle x_ {j}}$ darajaga qadar polinomlarning ngauss kvadrati uchun tugun sifatida ishlatiladigan bu qiymatlarni hisoblash orqali topish mumkin. tridiagonal matritsa. Ushbu protsedura sifatida tanilgan Golub-Velsch algoritmi.

Og'irliklar va tugunlarni hisoblash uchun nosimmetrik tridiyagonal matritsani ko'rib chiqish afzaldir ${ displaystyle { mathcal {J}}}$ elementlar bilan

${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {J}} _ {i, i} = J_ {i, i} & = a_ {i-1} && i = 1, ldots, n { mathcal {J}} _ {i-1, i} = { mathcal {J}} _ {i, i-1} = { sqrt {J_ {i, i-1} J_ {i-1, i}} } & = { sqrt {b_ {i-1}}} && i = 2, ldots, n. end {hizalangan}}}$

J va ${ displaystyle { mathcal {J}}}$ bor shunga o'xshash matritsalar va shuning uchun bir xil o'ziga xos qiymatlarga ega (tugunlar). Og'irliklarni mos keladigan xususiy vektorlardan hisoblash mumkin: Agar ${ displaystyle phi ^ {(j)}}$ bu o'z qiymatiga bog'liq bo'lgan normallashtirilgan xususiy vektor (ya'ni, evklid normasi biriga teng bo'lgan xususiy vektor). x_j, mos keladigan og'irlikni ushbu shaxsiy vektorning birinchi komponentidan hisoblash mumkin, ya'ni:

${ displaystyle w_ {j} = mu _ {0} chap ( phi _ {1} ^ {(j)} o'ng) ^ {2}}$

qayerda ${ displaystyle mu _ {0}}$ vazn funksiyasining ajralmas qismidir

${ displaystyle mu _ {0} = int _ {a} ^ {b} omega (x) dx.}$

Masalan, qarang (Gil, Segura va Temme 2007 yil) batafsil ma'lumot uchun.

Xatolarni taxmin qilish

Gauss kvadrati qoidasining xatosi quyidagicha ifodalanishi mumkin (Stoer & Bulirsch 2002 yil, Thm 3.6.24). Ega bo'lgan integral uchun 2n doimiy hosilalar,

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} omega (x) , f (x) , dx- sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} , f (x_ {) i}) = { frac {f ^ {(2n)} ( xi)} {(2n)!}} , (p_ {n}, p_ {n})}$

kimdir uchun ξ yilda (a, b), qayerda p_n monik (ya'ni etakchi koeffitsient 1) darajadagi ortogonal polinom n va qaerda

${ displaystyle (f, g) = int _ {a} ^ {b} omega (x) f (x) g (x) , dx.}$

Muhim maxsus holatda ω(x) = 1, bizda xato taxmin bor (Kahaner, Moler va Nash 1989 yil, §5.2)

${ displaystyle { frac { chap (ba o'ng) ^ {2n + 1} chap (n! o'ng) ^ {4}} {(2n + 1) chap [ chap (2n o'ng)! o'ng] ^ {3}}} f ^ {(2n)} ( xi), qquad a < xi$

Stoer va Bulirschning ta'kidlashicha, bu xato taxmin amalda noqulay, chunki buyurtmani taxmin qilish qiyin bo'lishi mumkin 2n lotin va bundan tashqari haqiqiy xato hosila tomonidan belgilangan chegaradan ancha past bo'lishi mumkin. Yana bir yondashuv - har xil tartibdagi ikkita Gauss kvadrati qoidalaridan foydalanish va xatoni ikkala natija o'rtasidagi farq sifatida baholash. Shu maqsadda Gauss-Kronrod kvadrati qoidalari foydali bo'lishi mumkin.

Gauss-Kronrod qoidalari

Agar interval bo'lsa [a, b] bo'linadi, yangi subintervallarning Gauss baholash nuqtalari hech qachon oldingi baholash nuqtalariga to'g'ri kelmaydi (g'alati sonlar uchun noldan tashqari) va shu sababli integral har bir nuqtada baholanishi kerak. Gauss-Kronrod qoidalari qo'shilish natijasida hosil bo'lgan Gauss kvadratura qoidalarining kengaytmalari n + 1 ga ishora qiladi n-qoidalar, natijada qoida tartibda bo'lishi kerak 2n + 1. Bu quyi darajadagi taxminiy funktsiya qiymatlarini qayta ishlatishda yuqori darajadagi taxminlarni hisoblash imkonini beradi. Gauss kvadraturasi qoidasi va uning Kronrod kengaytmasi o'rtasidagi farq ko'pincha taxminiy xatolarni baholash sifatida ishlatiladi.

Gauss-Lobatto qoidalari

Shuningdek, nomi bilan tanilgan Lobatto kvadrati (Abramovits va Stegun 1972 yil, p. 888) harv xatosi: maqsad yo'q: CITEREFAbramowitzStegun1972 (Yordam bering), Gollandiyalik matematik nomi bilan atalgan Rehuel Lobatto. Quyidagi farqlari bilan u Gauss kvadratatsiyasiga o'xshaydi:

1. Integratsiya nuqtalariga integratsiya oralig'ining so'nggi nuqtalari kiradi.
2. Bu darajaga qadar polinomlar uchun to'g'ri keladi 2n – 3, qayerda n bu integratsiya nuqtalarining soni (Quarteroni, Sacco & Saleri 2000 yil).

Lobatto funktsiyasi kvadrati f(x) oraliqda [−1, 1]:

${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} {f (x) , dx} = { frac {2} {n (n-1)}} [f (1) + f (-1)) ] + sum _ {i = 2} ^ {n-1} {w_ {i} f (x_ {i})} + R_ {n}.}$

Abscissas: x_men bo'ladi ${ displaystyle (i-1)}$st nol ${ displaystyle P '_ {n-1} (x)}$, Bu yerga ${ displaystyle P_ {m} (x)}$m-darajali standart Legendre polinomini, chiziq esa hosilani bildiradi.

Og'irliklar:

${ displaystyle w_ {i} = { frac {2} {n (n-1) chap [P_ {n-1} chap (x_ {i} o'ng) o'ng] ^ {2}}}, qquad x_ {i} neq pm 1.}$

Qolgan:

${ displaystyle R_ {n} = { frac {-n chap (n-1 o'ng) ^ {3} 2 ^ {2n-1} chap [ chap (n-2 o'ng)! o'ng] ^ {4}} {(2n-1) chap [ chap (2n-2 o'ng)! O'ng] ^ {3}}} f ^ {(2n-2)} ( xi), qquad - 1 < xi <1.}$

Ba'zi og'irliklar:

Ballar soni, n	Ballar, xmen	Og'irliklar, wmen
${ displaystyle 3}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle { frac {4} {3}}}$
	${ displaystyle pm 1}$	${ displaystyle { frac {1} {3}}}$
${ displaystyle 4}$	${ displaystyle pm { sqrt { frac {1} {5}}}}$	${ displaystyle { frac {5} {6}}}$
	${ displaystyle pm 1}$	${ displaystyle { frac {1} {6}}}$
${ displaystyle 5}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle { frac {32} {45}}}$
	${ displaystyle pm { sqrt { frac {3} {7}}}}$	${ displaystyle { frac {49} {90}}}$
	${ displaystyle pm 1}$	${ displaystyle { frac {1} {10}}}$
${ displaystyle 6}$	${ displaystyle pm { sqrt {{ frac {1} {3}} - { frac {2 { sqrt {7}}} {21}}}}}$	${ displaystyle { frac {14 + { sqrt {7}}} {30}}}$
	${ displaystyle pm { sqrt {{ frac {1} {3}} + { frac {2 { sqrt {7}}} {21}}}}}$	${ displaystyle { frac {14 - { sqrt {7}}} {30}}}$
	${ displaystyle pm 1}$	${ displaystyle { frac {1} {15}}}$
${ displaystyle 7}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle { frac {256} {525}}}$
	${ displaystyle pm { sqrt {{ frac {5} {11}} - { frac {2} {11}} { sqrt { frac {5} {3}}}}}}}$	${ displaystyle { frac {124 + 7 { sqrt {15}}} {350}}}$
	${ displaystyle pm { sqrt {{ frac {5} {11}} + { frac {2} {11}} { sqrt { frac {5} {3}}}}}}}$	${ displaystyle { frac {124-7 { sqrt {15}}} {350}}}$
	${ displaystyle pm 1}$	${ displaystyle { frac {1} {21}}}$

Ushbu algoritmning moslashuvchan varianti 2 ta ichki tugunga ega^[3] topilgan GNU oktavi va MATLAB kabi quadl va birlashtirmoq.^[4][5]

Adabiyotlar

• Bir hil anizotrop muhitda elastik maydonni topish uchun aniq umumlashtirilgan Gauss kvadrati eritmasini amalga oshirish.
• Abramovits, Milton; Stegun, Irene Ann, tahrir. (1983) [1964 yil iyun]. "25.4-bob, integratsiya". Matematik funktsiyalar uchun formulalar, grafikalar va matematik jadvallar bilan qo'llanma. Amaliy matematika seriyasi. 55 (To'qqizinchi o'ninchi asl nashrning tuzatishlar bilan qo'shimcha tuzatishlar bilan qayta nashr etilishi (1972 yil dekabr); birinchi nashr). Vashington Kolumbiyasi; Nyu-York: Amerika Qo'shma Shtatlari Savdo vazirligi, Milliy standartlar byurosi; Dover nashrlari. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. JANOB 0167642. LCCN 65-12253.
• Anderson, Donald G. (1965). "Gauss kvadrati formulalari uchun ${ displaystyle int _ {0} ^ {1} - ln (x) f (x) dx}$". Matematika. Komp. 19 (91): 477–481. doi:10.1090 / s0025-5718-1965-0178569-1.
• Golub, Gen H.; Velsch, Jon H. (1969), "Gauss kvadrati qoidalarini hisoblash", Hisoblash matematikasi, 23 (106): 221–230, doi:10.1090 / S0025-5718-69-99647-1, JSTOR 2004418
• Gautschi, Valter (1968). "Gauss-Kristoffel kvadrati formulalarini qurish". Matematika. Komp. 22 (102). 251-270 betlar. doi:10.1090 / S0025-5718-1968-0228171-0. JANOB 0228171.
• Gautschi, Valter (1970). "O'zgartirilgan daqiqalardan Gauss kvadrati qoidalarini qurish to'g'risida". Matematika. Komp. 24. 245-260 betlar. doi:10.1090 / S0025-5718-1970-0285117-6. JANOB 0285177.
• Piessens, R. (1971). "Bromvich integralining sonli integratsiyasi va laplas konvertatsiyasining teskari yo'nalishi uchun Gauss kvadrati formulalari". J. Eng. Matematika. 5 (1). 1-9 betlar. Bibcode:1971JEnMa ... 5 .... 1P. doi:10.1007 / BF01535429.
• Danloy, Bernard (1973). "Gauss kvadrati formulalarining sonli konstruktsiyasi ${ displaystyle int _ {0} ^ {1} (- log x) x ^ { alpha} f (x) dx}$ va ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} E_ {m} (x) f (x) dx}$". Matematika. Komp. 27 (124). 861-869 betlar. doi:10.1090 / S0025-5718-1973-0331730-X. JANOB 0331730.
• Kaxaner, Devid; Moler, Kliv; Nash, Stiven (1989), Raqamli usullar va dasturiy ta'minot, Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-627258-8
• Sagar, Robin P. (1991). "Umumlashtirilgan Fermi-Dirak integrallarini hisoblash uchun Gauss kvadrati". Hisoblash. Fizika. Kommunal. 66 (2–3): 271–275. Bibcode:1991CoPhC..66..271S. doi:10.1016 / 0010-4655 (91) 90076-V.
• Yakimiw, E. (1996). "Klassik Gauss-Kristoffel kvadrati qoidalarida og'irliklarni aniq hisoblash". J. Komput. Fizika. 129 (2): 406–430. Bibcode:1996JCoPh.129..406Y. doi:10.1006 / jcph.1996.0258.
• Laurie, Dirk P. (1999), "Gauss kvadrati formulalaridan rekursiya koeffitsientlarini aniq tiklash", J. Komput. Qo'llash. Matematika., 112 (1–2): 165–180, doi:10.1016 / S0377-0427 (99) 00228-9
• Laurie, Dirk P. (2001). "Gauss tipidagi kvadratsiya formulalarini hisoblash". J. Komput. Qo'llash. Matematika. 127 (1–2): 201–217. Bibcode:2001JCoAM.127..201L. doi:10.1016 / S0377-0427 (00) 00506-9.
• Riener, Kordian; Schweighofer, Markus (2018). "Kvadraturani optimallashtirish yondashuvlari: tekislikdagi algebraik egri chiziqlar, tekislik va yuqori o'lchamlarda tugunlari kam bo'lgan to'rtburchaklar va to'rtburchakning yangi xarakteristikalari". Murakkablik jurnali. 45: 22–54. arXiv:1607.08404. doi:10.1016 / j.jco.2017.10.002.
• Stoer, Yozef; Bulirsch, Roland (2002), Raqamli tahlilga kirish (3-nashr), Springer, ISBN 978-0-387-95452-3.
• Temme, Niko M. (2010), "§3.5 (v): Gauss Quadrature", yilda Olver, Frank V. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Klark, Charlz V. (tahr.), NIST matematik funktsiyalar qo'llanmasi, Kembrij universiteti matbuoti, ISBN 978-0-521-19225-5, JANOB 2723248
• Press, WH; Teukolskiy, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "4.6-bo'lim. Gauss kvadraturalari va ortogonal polinomlar", Raqamli retseptlar: Ilmiy hisoblash san'ati (3-nashr), Nyu-York: Kembrij universiteti matbuoti, ISBN 978-0-521-88068-8
• Gil, Amparo; Segura, Xaver; Temme, Niko M. (2007), "§5.3: Gauss kvadrati", Maxsus funktsiyalar uchun raqamli usullar, SIAM, ISBN 978-0-89871-634-4
• Quarteroni, Alfio; Sakko, Rikkardo; Saleri, Fausto (2000). Raqamli matematika. Nyu York: Springer-Verlag. pp.422, 425. ISBN 0-387-98959-5.
• Valter Gautschi: "Gauss kvadraturalari va Kristoffel funktsiyalari uchun dasturiy ta'minot ombori", SIAM, ISBN 978-1-611976-34-2 (2020).

Maxsus

Tashqi havolalar

• "Gauss to'rtburchagi formulasi", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press, 2001 [1994]
• ALGLIB raqamli integratsiya algoritmlari to'plamini o'z ichiga oladi (C # / C ++ / Delphi / Visual Basic / va hokazolarda)
• GNU ilmiy kutubxonasi - o'z ichiga oladi C versiyasi QUADPACK algoritmlari (shuningdek qarang GNU ilmiy kutubxonasi)
• Lobatto Quadrature-dan Eyler doimiyigacha e
• Integratsiyaning Gauss kvadrati qoidasi - Eslatmalar, PPT, Matlab, Mathematica, Maple, Mathcad da Butun sonli usullar instituti
• Vayshteyn, Erik V. "Legendre-Gauss to'rtligi". MathWorld.
• Gauss kvadrati Kris Maes va Anton Antonov tomonidan, Wolfram namoyishlari loyihasi.
• Mathematica manba kodi bilan jadvallangan og'irliklar va abscissalar, yuqori aniqlikdagi (16 va 256 kasrli) Legendre-Gauss kvadrati og'irliklari va abscissalari, uchun n= 2 orqali n= 64, Mathematica manba kodi bilan.
• Mathematica manba kodi GNU LGPL doirasida tarqatiladi o'zboshimchalik bilan tortish funktsiyalari uchun W (x), integratsiya domenlari va aniqliklari uchun abscissalar va vaznlarni yaratish uchun.
• Boost.Math-dagi Gauss kvadrati, o'zboshimchalik bilan aniqlik va taxminiy tartib uchun
• Boost.Math-dagi Gauss-Kronrod Quadrature