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Greense functie

EIN Grüns-Funktion, benannt nach dem britisch Mathematiker George Green, die diese Funktion um 1830 entwickelt, wird ein bestimmter Funktionstyp verwendet, um inhomogene lineare Differentialgleichungen mit Bedingungen.

Grüne Funktionen spielen in vielen Fragen der Elektromagnetismus, Akustik, Elastizität und so weiter. Sie spielen eine Rolle bei der theoretischen Erarbeitung von Problemen, die in der Praxis auftreten, sowie bei Lösungsmethoden mit numerische Mathematik.

Hintergrund

Die Lösungen von a lineares Gleichungssystem ${displaystyle Ax=b}$ mit einem Singular Matrix ${Anzeigestil A}$ von der Form sein

{displaystyle x=x_{ ext{S}} x_{0}}

in welchem

{displaystyle Ax_{0}=0}

und ${displaystyle x_{ ext{S}}}$ ist eine spezielle Lösung des Systems, die über eine Matrix gefunden werden kann ${Anzeigestil B}$ wofür:

{Anzeigestil AB=I}

.

Dann ist es für ${displaystyle x_{ ext{S}}=Bb}$

{displaystyle Ax_{ ext{S}}=ABb=b}

Analog dazu eine sogenannte private Lösung ${displaystyle f_{ ext{S}}}$ der inhomogenen linearen Differentialgleichung ${Anzeigestil Lf=g}$ mit der greense-Funktion gefunden werden ${Anzeigestil G=G(x,y)}$ wofür:

{Anzeigestil (LG)(x,y)=Delta (x-y)}

(NB. die Differentialgleichung wird viel falsch geschrieben als ${Anzeigestil L{f(x)}=g(x)}$ Anstatt von ${Anzeigestil Lf(x)=g(x)}$ .)

Schon seit

{displaystyle (Lf)(x)=int L(x,y)f(y),mathrm {d} y}

und

{Anzeigestil (LG)(x,z)=int L(x,y)G(y,z),Mathrm {d} y=Delta (x-y)}

,

weil es vorher folgt ${displaystyle f_{ ext{S}}=Gg}$ d.h.

{displaystyle f_{ ext{S}}(x)=(Gg)(x)=int G(x,y)g(y),mathrm {d} y}

Welche

{displaystyle (Lf_{ ext{S}})(x)=int L(x,y)f_{ ext{S}}(y),mathrm {d} y=int L(x,y)(Gg)( y), Mathematik {d} y=}

{displaystyle =int L(x,y)int G(y,z)g(z),mathrm {d} z,mathrm {d} y=int delta (xz)g(z),mathrm {d} z= g(x)}

Das Lösen der Differentialgleichung läuft also darauf hinaus, die entsprechende Greense-Funktion zu finden. Eine Grünfunktion ist nicht immer eine echte Funktion, aber im Allgemeinen ist es eine Verteilung.

Definition

Die Funktion ${Anzeigestil G=G(x,y)}$ heiß Grüns-Funktion des Linearen Differentialoperator ${Anzeigestil L}$ wenn:

{Anzeigestil (LG)(x,y)=Delta (x-y)}

Mit dieser Grüns-Funktion ist eine private Lösung een ${displaystyle f_{ ext{S}}}$ der inhomogenen linearen Differentialgleichung

{Anzeigestil Lf=g}

kann geschrieben werden als:

{displaystyle f_{ ext{S}}(x)=int G(x,y)g(y),mathrm {d} y}

.

Eigenwerte

Wenn der Differentialoperator ${Anzeigestil L}$ ein komplettes System Eigenvektoren ${displaystyle psi_{n}}$ eine Grüns-Funktion kann somit gefunden werden. Für das Gesamtsystem der Eigenvektoren ${displaystyle psi_{n}}$ es gilt nämlich:

{Displaystyle-Summe _{n=0}^{infty}psi _{n}(x)psi _{n}(y)=Delta (x-y)}

Für die Grüns-Funktion ${Anzeigestil G}$ kann dann genommen werden:

{displaystyle G(x,y)=sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{lambda _{n}}}psi _{n}(x)psi _{n}(y)}

,

in welchem ${displaystyle lambda_{n}}$ die Biene ${displaystyle psi_{n}}$ gehören Selbstachtung ist.

Lösungsmethoden

Eine praktische Methode zur Berechnung der Greense-Funktion G(x,y) besteht darin, G in die Differentialoperator.

{Anzeigestil LG=Delta(x-y)}

Als Ergebnis ist die Domain nun zweigeteilt: ${Anzeigestil x$ und ${Anzeigestil x>y.}$ In diesen beiden Bereichen ist die Differentialgleichung homogen und (oft) einfacher mit Standardtechniken zu lösen. Rund um die Koeffizienten um zu finden, ist es notwendig, die Differentialgleichung einmal in ihrer Gesamtheit zu testen integrieren.

Auferlegen der Voraussetzungen, Kontinuität auf ${Anzeigestil x=y}$ und die Beziehung aus der integrierten Differentialgleichung liefert die Koeffizienten (den von ${displaystyle y}$ abhängen).