WikiDer > Hilbert-Semyuel funktsiyasi

Yilda komutativ algebra The Hilbert-Semyuel funktsiyasinomi bilan nomlangan Devid Xilbert va Per Samuel,^[1] nolga teng ravishda hosil qilingan modul ${ displaystyle M}$ kommutativ ustidan Noeteriya mahalliy halqa ${ displaystyle A}$ va a asosiy ideal ${ displaystyle I}$ ning ${ displaystyle A}$ xarita ${ displaystyle chi _ {M} ^ {I}: mathbb {N} rightarrow mathbb {N}}$ hamma uchun ${ displaystyle n in mathbb {N}}$,

${ displaystyle chi _ {M} ^ {I} (n) = ell (M / I ^ {n} M)}$

qayerda ${ displaystyle ell}$ belgisini bildiradi uzunlik ustida ${ displaystyle A}$. Bu bilan bog'liq Hilbert funktsiyasi ning tegishli darajali modul ${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} (M)}$ shaxsiga ko'ra

${ displaystyle chi _ {M} ^ {I} (n) = sum _ {i = 0} ^ {n} H ( operatorname {gr} _ {I} (M), i).}$

Etarli darajada katta ${ displaystyle n}$, ga teng darajadagi polinom funktsiyasiga to'g'ri keladi ${ displaystyle dim ( operatorname {gr} _ {I} (M))}$, ko'pincha Hilbert-Semyul polinom (yoki Hilbert polinomi).^[2]

Misollar

Uchun uzuk ning rasmiy quvvat seriyalari ikkita o'zgaruvchida ${ displaystyle k [[x, y]]}$ o'zi va ideal ustidan modul sifatida qabul qilingan ${ displaystyle I}$ monomiallar tomonidan hosil qilingan x² va y³ bizda ... bor

${ displaystyle chi (1) = 6, quad chi (2) = 18, quad chi (3) = 36, quad chi (4) = 60, { text {va umuman olganda}} chi (n) = 3n (n + 1) { text {for}} n geq 0.}$^[2]

Daraja chegaralari

Hilbert funktsiyasidan farqli o'laroq, Hilbert-Samuel funktsiyasi aniq ketma-ketlikda qo'shimcha bo'lmaydi. Biroq, bu hali ham qo'shimchaga ega bo'lishga juda yaqin, natijada Artin-Riz lemmasi. Biz belgilaymiz ${ displaystyle P_ {I, M}}$ Hilbert-Semyul polinomi; ya'ni Hilbert-Samuel funktsiyasiga katta butun sonlar uchun to'g'ri keladi.

Isbot: berilgan aniq ketma-ketlikni tenzorlash ${ displaystyle R / I ^ {n}}$ va yadroni hisoblashda biz aniq ketma-ketlikni olamiz:

${ displaystyle 0 to (I ^ {n} M cap M ') / I ^ {n} M' to M '/ I ^ {n} M' to M / I ^ {n} M to M '' / I ^ {n} M '' dan 0 gacha,}$

bu bizga beradi:

${ displaystyle chi _ {M} ^ {I} (n-1) = chi _ {M '} ^ {I} (n-1) + chi _ {M' '} ^ {I} (n -1) - ell ((I ^ {n} M cap M ') / I ^ {n} M')}$.

O'ngdagi uchinchi muddat Artin-Riz tomonidan taxmin qilinishi mumkin. Darhaqiqat, lemma bo'yicha, katta ma'noda n va ba'zilari k,

${ displaystyle I ^ {n} M cap M '= I ^ {n-k} ((I ^ {k} M) cap M') subset I ^ {n-k} M '.}$

Shunday qilib,

${ displaystyle ell ((I ^ {n} M cap M ') / I ^ {n} M') leq chi _ {M '} ^ {I} (n-1) - chi _ { M '} ^ {I} (nk-1)}$.

Bu kerakli daraja chegarasini beradi.

Ko'plik

Agar ${ displaystyle A}$ Krull o'lchamidagi mahalliy halqadir ${ displaystyle d}$, bilan ${ displaystyle m}$-birlamchi ideal ${ displaystyle I}$, uning Hilbert polinomasi shaklning etakchi muddatiga ega ${ displaystyle { frac {e} {d!}} cdot n ^ {d}}$ butun son uchun ${ displaystyle e}$. Bu butun son ${ displaystyle e}$ deyiladi ko'plik ideal ${ displaystyle I}$. Qachon ${ displaystyle I = m}$ ning maksimal idealidir ${ displaystyle A}$, deydi yana biri ${ displaystyle e}$ mahalliy halqaning ko'pligi ${ displaystyle A}$.

Nuqtaning ko'pligi ${ displaystyle x}$ sxemaning ${ displaystyle X}$ mos keladigan mahalliy halqaning ko'pligi sifatida aniqlanadi ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X, x}}$.

Shuningdek qarang

• j-ko'plik

Adabiyotlar