WikiDer > Xill-Yosida teoremasi

Hille–Yosida theorem

Yilda funktsional tahlil, Xill-Yosida teoremasi ning generatorlarini tavsiflaydi kuchli uzluksiz bitta parametrli yarim guruhlar ning chiziqli operatorlar kuni Banach bo'shliqlari. Ba'zida maxsus holat uchun aytiladi qisqarish yarim guruhlari, umumiy ish bilan Feller-Miyadera-Fillips teoremasi (keyin Uilyam Feller, Isao Miyadera va Ralf Fillips). Shartnoma yarim guruh ishi nazariyasida keng qo'llaniladi Markov jarayonlari. Boshqa stsenariylarda bir-biri bilan chambarchas bog'liq Lumer-Fillips teoremasi berilgan operatorning a hosil qilish-qilmasligini aniqlashda ko'pincha foydaliroq bo'ladi kuchli uzluksiz qisqarish yarim guruhi. Teorema nomi bilan nomlangan matematiklar Einar Xill va Ksaku Yosida natijani mustaqil ravishda 1948 yilda kashf etgan.

Rasmiy ta'riflar

Agar X bu Banach maydoni, a bitta parametrli yarim guruh operatorlar yoqilgan X - manfiy bo'lmagan haqiqiy sonlar bo'yicha indekslangan operatorlar oilasi {T(t)}_{t ∈ [0, ∞)} shu kabi

${ displaystyle T (0) = I quad}$
${ displaystyle T (s + t) = T (s) circ T (t), quad forall t, s geq 0.}$

Yarim guruh shunday deyilgan kuchli uzluksiz, shuningdek ((C₀) agar yarim xaritada bo'lsa va faqat yarim guruh

{ displaystyle t mapsto T (t) x}

hamma uchun doimiydir x ∈ X, bu erda [0, ∞) odatdagi topologiyaga ega va X norma topologiyasiga ega.

Bitta parametrli yarim guruhning cheksiz kichik generatori T operator A ning ehtimol tegishli subspace-da aniqlangan X quyidagicha:

Domeni A ning to'plami x ∈ X shu kabi

{ displaystyle h ^ {- 1} { bigg (} T (h) x-x { bigg)}}

kabi chegara mavjud h o'ng tomondan 0 ga yaqinlashadi.

Ning qiymati A x - yuqoridagi limitning qiymati. Boshqa so'zlar bilan aytganda, A x funktsiyaning 0 darajasidagi o'ng lotin

{ displaystyle t mapsto T (t) x.}

Kuchli uzluksiz bitta parametrli yarim guruhning cheksiz kichik generatori a yopiq chiziqli operator a da aniqlangan zich chiziqli pastki bo'shliq ning X.

Xille-Yosida teoremasi a uchun zarur va etarli shartni beradi yopiq chiziqli operator A Banach fazosida kuchli uzluksiz bitta parametrli yarim guruhning cheksiz kichik generatori bo'lishi kerak.

Teorema bayoni

Ruxsat bering A chiziqli pastki bo'shliqda aniqlangan chiziqli operator bo'ling D.(A) Banach makonining X, ω haqiqiy raqam va M > 0. Keyin A hosil qiladi a kuchli uzluksiz yarim guruh T bu qondiradi ${ displaystyle | T (t) | leq M { rm {e}} ^ { omega t}}$ agar va faqat agar^[1]

A bu yopiq va D.(A) zich yilda X,
har bir haqiqiy λ > ω ga tegishli hal qiluvchi to'plam ning A va shunga o'xshashlar uchun va hamma ijobiy butun sonlar n,

{ displaystyle | ( lambda I-A) ^ {- n} | leq { frac {M} {( lambda - omega) ^ {n}}}.}

Kontraktsion yarim guruhlar uchun Xille-Yosida teoremasi

Umuman olganda, Xille-Yosida teoremasi asosan nazariy ahamiyatga ega, chunki uning vakolatlarini baholash hal qiluvchi operator teorema bayonida uchraydigan odatda aniq misollarda tekshirib bo'lmaydi. Maxsus holatda qisqarish yarim guruhlari (M = 1 va ω Yuqoridagi teoremada = 0) faqat holat n = 1 ni tekshirish kerak va teorema ham amaliy ahamiyatga ega bo'ladi. Siqilish yarim guruhlari uchun Xille-Yosida teoremasining aniq bayonoti:

Ruxsat bering A chiziqli pastki bo'shliqda aniqlangan chiziqli operator bo'ling D.(A) ning Banach maydoni X. Keyin A hosil qiladi a qisqarish yarim guruhi agar va faqat agar^[2]

A bu yopiq va D.(A) zich yilda X,
har bir haqiqiy λ > 0 rezolyutsiya to'plamiga tegishli A va ular uchun λ,

{ displaystyle | ( lambda I-A) ^ {- 1} | leq { frac {1} { lambda}}.}

Shuningdek qarang

Izohlar

^ Engel va Nagel teoremasi II.3.8, Arendt va boshqalar. al. Teorema 3.3.4, Staffans teoremasi 3.4.1
^ Engel va Nagel teoremasi II.3.5, Arendt va boshqalar. al. Xulosa 3.3.5, Xodimlar xulosasi 3.4.5

Adabiyotlar

Rizz, F.; Sz.-Nagy, B. (1995), Funktsional tahlil. 1955 yil asl nusxasini qayta nashr etish, Ilmiy matematikaga oid Dover kitoblari, Dover, ISBN 0-486-66289-6
Rid, Maykl; Simon, Barri (1975), Zamonaviy matematik fizika metodikasi. II. Furye tahlili, o'zini o'zi birlashtirish., Academic Press, ISBN 0125850506
Engel, Klaus-Yoxen; Nagel, Rayner (2000), Chiziqli evolyutsiya tenglamalari uchun bitta parametrli yarim guruhlar, Springer
Arendt, Volfgang; Beti, Charlz; Xiber, Matias; Neubrander, Frank (2001), Vektorli Laplasning o'zgarishi va Koshi muammolari, Birxauzer
Staffans, Olof (2005), Yaxshi joylashtirilgan chiziqli tizimlar, Kembrij universiteti matbuoti
Feller, Uilyam (1971), Ehtimollar nazariyasi va uning qo'llanilishi haqida ma'lumot. Vol. II. Ikkinchi nashr, John Wiley & Sons, Nyu-York
Vrabie, Ioan I. (2003), C0-yarim guruhlar va dasturlar. Shimoliy-Gollandiyalik matematik tadqiqotlar, 191 yil., North-Holland Publishing Co., Amsterdam

[1] Engel va Nagel teoremasi II.3.8, Arendt va boshqalar. al. Teorema 3.3.4, Staffans teoremasi 3.4.1

[2] Engel va Nagel teoremasi II.3.5, Arendt va boshqalar. al. Xulosa 3.3.5, Xodimlar xulosasi 3.4.5

[1]

[2]

v t e Funktsional tahlil (mavzular – lug'at)
Bo'shliqlar	Hilbert maydoni Banach maydoni Frechet maydoni topologik vektor maydoni
Teoremalar	Xaxn-Banax teoremasi yopiq grafik teoremasi bir xil chegaralanish printsipi Kakutani sobit nuqta teoremasi Kerin-Milman teoremasi min-maks teoremasi Gelfand - Neymar teoremasi Banach-Alaoglu teoremasi
Operatorlar	chegaralangan operator ixcham operator qo'shma operator unitar operator Xilbert-Shmidt operatori iz sinf cheksiz operator
Algebralar	Banach algebra C * - algebra C * algebra spektri operator algebra mahalliy ixcham guruhning guruh algebrasi fon Neyman algebra
Ochiq muammolar	o'zgarmas subspace muammosi Malerning gumoni
Ilovalar	Besov maydoni Qattiq joy oddiy differentsial tenglamalarning spektral nazariyasi issiqlik yadrosi indeks teoremasi variatsiya hisobi funktsional hisob integral operator Jons polinomi topologik kvant maydon nazariyasi noaniq geometriya Riman gipotezasi
Murakkab mavzular	mahalliy qavariq bo'shliq taxminiy xususiyat muvozanatli to'plam Shvarts maydoni zaif topologiya barreli bo'shliq Banax - Mazur masofasi Tomita-Takesaki nazariyasi

Navigation