WikiDer > Min-maks teoremasi

Min-max theorem

Yilda chiziqli algebra va funktsional tahlil, min-maks teoremasi, yoki variatsion teorema, yoki Courant – Fischer – Veyl min-max printsipi, ning variatsion xarakteristikasini beradigan natija o'zgacha qiymatlar ning ixcham Ermit operatorlari yoqilgan Xilbert bo'shliqlari. Uni o'xshash tabiatning ko'plab natijalarining boshlang'ich nuqtasi deb hisoblash mumkin.

Ushbu maqola birinchi navbatda cheksiz o'lchovli Hilbert bo'shliqlarida ixcham operatorlarni ko'rib chiqishdan oldin cheklangan o'lchovli holat va uning qo'llanilishini muhokama qiladi. Yilni operatorlar uchun asosiy teoremaning isboti asosan cheklangan o'lchovli argumentdan bir xil fikrni ishlatishini ko'ramiz.

Operator Hermit bo'lmagan bo'lsa, teorema bog'langanning ekvivalent xarakteristikasini beradi birlik qiymatlari. Min-max teoremasini kengaytirish mumkin o'z-o'zidan bog'langan operatorlar pastda joylashgan.

Matritsalar

Ruxsat bering $A$ bo'lishi a $n \times n$ Ermit matritsasi. O'ziga xos qiymatlar bo'yicha boshqa ko'plab o'zgaruvchan natijalar singari, Reyli-Ritsning taklifi $RA : Cn \ {0} → R$ tomonidan belgilanadi

{ displaystyle R_ {A} (x) = { frac {(Ax, x)} {(x, x)}}}

qayerda $(\cdot, \cdot)$ Evklidning ichki mahsulotini bildiradi $C n$ . Shubhasiz, o'z vektorining Rayleigh kvotasi uning o'ziga xos qiymati hisoblanadi. Bunga teng ravishda Rayleigh-Ritz kotirovkasini almashtirish mumkin

{ displaystyle f (x) = (Ax, x), ; | x | = 1.}

Ermit matritsalari uchun uzluksiz funktsiya diapazoni R_A(x), yoki f(x), ixcham kichik to'plam [a, b] haqiqiy chiziq. Maksimal b va minimal a eng katta va eng kichik o'ziga xos qiymati hisoblanadi Anavbati bilan. Min-max teoremasi bu haqiqatning isbotidir.

Min-maks teoremasi

Ruxsat bering $A$ bo'lish $n \times n$ Ermit matritsasi o'zgacha qiymatlar bilan $λ 1 \leq ... \leq λ k \leq ... \leq λ n$ keyin

{ displaystyle lambda _ {k} = min _ {U} { max _ {x} {R_ {A} (x) mid x in U { text {and}} x neq 0 } mid dim (U) = k }}

va

{ displaystyle lambda _ {k} = max _ {U} { min _ {x} {R_ {A} (x) mid x in U { text {and}} x neq 0 } mid dim (U) = n-k + 1 }}

jumladan,

{ displaystyle lambda _ {1} leq R_ {A} (x) leq lambda _ {n} quad forall x in mathbf {C} ^ {n} backslash {0 }}

va bu chegaralarga qachon erishiladi $x$ tegishli o'ziga xos qiymatlarning o'ziga xos vektori.

Shuningdek, maksimal qiymat uchun eng sodda formulalar λ_n tomonidan berilgan:

{ displaystyle lambda _ {n} = max {R_ {A} (x): x neq 0 }.}

Xuddi shunday, minimal shaxsiy qiymat λ₁ tomonidan berilgan:

{ displaystyle lambda _ {1} = min {R_ {A} (x): x neq 0 }.}

Isbot —

Matritsadan beri $A$ u diagonalizatsiya qilinadi va biz o'z vektorlarining ortonormal asosini tanlashimiz mumkinsiz₁, ..., siz_n} anavi, siz_men o'ziga xos vektor bo'lib, bu qiymat uchun λ_men va shunday (siz_men, siz_men) = 1 va (siz_men, siz_j) = 0 hamma uchun men ≠ j.

Agar U o'lchov subspace k keyin uning pastki bo'shliq bilan kesishishi $oraliq {siz k, ..., siz n}$ nolga teng emas (o'lchamlarni tekshirish orqali) va shuning uchun vektor mavjud $v \neq 0$ deb yozishimiz mumkin bo'lgan bu chorrahada

{ displaystyle v = sum _ {i = k} ^ {n} alfa _ {i} u_ {i}}

va kimning Rayleigh taklifi

{ displaystyle R_ {A} (v) = { frac { sum _ {i = k} ^ {n} lambda _ {i} alpha _ {i} ^ {2}} { sum _ {i = k} ^ {n} alfa _ {i} ^ {2}}} geq lambda _ {k}}

(barchasi kabi) ${ displaystyle lambda _ {i} geq lambda _ {k}}$ uchun i = k, .., n) va shuning uchun

{ displaystyle max {R_ {A} (x) mid x in U } geq lambda _ {k}}

Bu hamma U uchun to'g'ri bo'lganligi sababli, biz shunday xulosaga kelishimiz mumkin

{ displaystyle min { max {R_ {A} (x) mid x in U { text {and}} x neq 0 } mid dim (U) = k } geq lambda _ {k}}

Bu bitta tengsizlik. Boshqa tengsizlikni o'rnatish uchun aniq k o'lchovli bo'shliqni tanlang $V = oraliq {siz 1, ..., siz k}$ , buning uchun

{ displaystyle max {R_ {A} (x) mid x in V { text {and}} x neq 0 } leq lambda _ {k}}

chunki ${ displaystyle lambda _ {k}}$ V.dagi eng katta shaxsiy qiymatdir. Shuning uchun ham

{ displaystyle min { max {R_ {A} (x) mid x in U { text {and}} x neq 0 } mid dim (U) = k } leq lambda _ {k}}

Qaerda bo'lsa U o'lchov subspace n-k + 1, biz shunga o'xshash tarzda davom etamiz: o'lchamning pastki maydonini ko'rib chiqing k, $oraliq {siz 1, ..., siz k}.$ Uning pastki bo'shliq bilan kesishishi U nolga teng emas (o'lchamlarni tekshirish orqali) va shuning uchun vektor mavjud v deb yozishimiz mumkin bo'lgan bu chorrahada

{ displaystyle v = sum _ {i = 1} ^ {k} alfa _ {i} u_ {i}}

va kimning Rayleigh taklifi

{ displaystyle R_ {A} (v) = { frac { sum _ {i = 1} ^ {k} lambda _ {i} alpha _ {i} ^ {2}} { sum _ {i = 1} ^ {k} alfa _ {i} ^ {2}}} leq lambda _ {k}}

va shuning uchun

{ displaystyle min {R_ {A} (x) mid x in U } leq lambda _ {k}}

Bu hamma U uchun to'g'ri bo'lganligi sababli, biz shunday xulosaga kelishimiz mumkin

{ displaystyle max { min {R_ {A} (x) mid x in U { text {and}} x neq 0 } mid dim (U) = n-k + 1 } leq lambda _ {k}}

Shunga qaramay, bu tenglamaning bir qismidir. Boshqa tengsizlikni olish uchun yana bir bor e'tibor bering u ning vektori ${ displaystyle lambda _ {k}}$ tarkibida mavjud $U = oraliq {siz k, ..., siz n}$ shuning uchun biz tenglikni yakunlashimiz mumkin.

Hermitist bo'lmagan ishda qarshi misol

Ruxsat bering N nilpotent matritsa bo'ling

{ displaystyle { begin {bmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {bmatrix}}.}

Rayleigh taklifini aniqlang ${ displaystyle R_ {N} (x)}$ xuddi Ermit ishida yuqoridagi kabi. Keyin yagona qiymatini ko'rish oson N nolga teng, Reyley nisbatining maksimal qiymati esa $1 / 2$ . Ya'ni, Rayleigh kotirovkasining maksimal qiymati maksimal qiymatdan kattaroqdir.

Ilovalar

Yagona qiymatlar uchun Min-max printsipi

The birlik qiymatlari {σ_k} kvadrat matritsaning M ning xususiy qiymatlarining kvadrat ildizlari M*M (teng ravishda MM *). Darhol oqibat^{[iqtibos kerak]} min-max teoremasidagi birinchi tenglikning:

{ displaystyle sigma _ {k} ^ { uparrow} = min _ {S: dim (S) = k} max _ {x in S, | x | = 1} (M ^ { *} Mx, x) ^ { frac {1} {2}} = min _ {S: dim (S) = k} max _ {x in S, | x | = 1} | Mx |.}

Xuddi shunday,

{ displaystyle sigma _ {k} ^ { uparrow} = max _ {S: dim (S) = n-k + 1} min _ {x in S, | x | = 1} | Mx |.}

Bu yerda ${ displaystyle sigma _ {k} = sigma _ {k} ^ { uparrow}}$ belgisini bildiradi k^th σ ning ortib boruvchi ketma-ketligiga kirish, shunday qilib ${ displaystyle sigma _ {1} leq sigma _ {2} leq cdots}$ .

Koshi interlacement teoremasi

Ruxsat bering $A$ nosimmetrik bo'ling n × n matritsa. The m × m matritsa B, qayerda m ≤ n, a deb nomlanadi siqilish ning $A$ agar mavjud bo'lsa ortogonal proektsiya P o'lchamning kichik maydoniga m shu kabi PAP * = B. Koshi interlacing teoremasi:

Teorema. Agar o'z qiymatlari

A

bor

a 1 \leq ... \leq a n

va ular B bor

β 1 \leq ... \leq β j \leq ... \leq β m

, keyin hamma uchun

j \leq m

,

{ displaystyle alpha _ {j} leq beta _ {j} leq alpha _ {n-m + j}.}

Buni min-max printsipi yordamida isbotlash mumkin. Ruxsat bering β_men tegishli xususiy vektorga ega b_men va S_j bo'lishi j o'lchovli pastki bo'shliq $S j = oraliq {b 1, ..., b j},$ keyin

{ displaystyle beta _ {j} = max _ {x in S_ {j}, | x | = 1} (Bx, x) = max _ {x in S_ {j}, | x | = 1} (PAP ^ {*} x, x) geq min _ {S_ {j}} max _ {x in S_ {j}, | x | = 1} (A ( P ^ {*} x), P ^ {*} x) = alfa _ {j}.}

Min-maxning birinchi qismiga ko'ra, $a j \leq β j .$ Boshqa tomondan, agar biz aniqlasak $S m - j +1 = oraliq {b j, ..., b m},$ keyin

{ displaystyle beta _ {j} = min _ {x in S_ {m-j + 1}, | x | = 1} (Bx, x) = min _ {x in S_ {m -j + 1}, | x | = 1} (PAP ^ {*} x, x) = min _ {x in S_ {m-j + 1}, | x | = 1} ( A (P ^ {*} x), P ^ {*} x) leq alfa _ {n-m + j},}

bu erda oxirgi tengsizlik min-max ning ikkinchi qismi bilan berilgan.

Qachon $n - m = 1$ , bizda ... bor $a j \leq β j \leq a j +1$ , shuning uchun bu nom interlacing teorema.

Yilni operatorlar

Ruxsat bering $A$ bo'lishi a ixcham, Hermitiyalik Xilbert maydonidagi operator H. Eslatib o'tamiz spektr bunday operatorning (o'zgacha qiymatlar to'plami) - bu faqat bitta mumkin bo'lgan haqiqiy sonlar to'plami klaster nuqtasi nolga teng. Ijobiy qiymatlarini sanab o'tish juda qulaydir $A$ kabi

{ displaystyle cdots leq lambda _ {k} leq cdots leq lambda _ {1},}

qaerda yozuvlar takrorlanadi ko'plik, matritsa holatidagi kabi. (Ketma-ketlik kamayib borayotganligini ta'kidlash uchun biz yozishimiz mumkin ${ displaystyle lambda _ {k} = lambda _ {k} ^ { downarrow}}$ .) Qachon H cheksiz o'lchovli, yuqoridagi xususiy qiymatlar ketma-ketligi cheksiz bo'lishi shart. Endi biz matritsa holatidagi kabi fikr yuritamiz. Ruxsat berish S_k ⊂ H bo'lishi a k o'lchovli subspace, biz quyidagi teoremani olishimiz mumkin.

Teorema (Min-Maks). Ruxsat bering

A

ixcham, Xilbert maydonida o'zini o'zi biriktirgan operator bo'ling

H

, ijobiy qiymatlari kamayish tartibida keltirilgan

... \leq λ k \leq ... \leq λ 1

. Keyin:

{ displaystyle { begin {aligned} max _ {S_ {k}} min _ {x in S_ {k}, | x | = 1} (Ax, x) & = lambda _ {k } ^ { downarrow}, min _ {S_ {k-1}} max _ {x in S_ {k-1} ^ { perp}, | x | = 1} (Ax, x) & = lambda _ {k} ^ { downarrow}. end {hizalanmış}}}

Xuddi shunday tenglik juftligi manfiy xususiy qiymatlar uchun ham amal qiladi.

Isbot —

Ruxsat bering S ' chiziqli oraliqning yopilishi ${ displaystyle S '= operator nomi {span} {u_ {k}, u_ {k + 1}, ldots }}$ .Yuzi bo'shliq S ' kodimensiyaga ega k - 1. Matritsa holatidagi kabi o'lchovlarni hisoblash argumenti bo'yicha, S ' ∩ S_k bo'sh emas. Shunday qilib, mavjud x ∈ S ' ∩ S_k bilan ${ displaystyle | x | = 1}$ . Bu element S ' , bunday x albatta qondirish

{ displaystyle (Ax, x) leq lambda _ {k}.}

Shuning uchun, hamma uchun S_k

{ displaystyle inf _ {x in S_ {k}, | x | = 1} (Ax, x) leq lambda _ {k}}

Ammo $A$ ixcham, shuning uchun funktsiya f(x) = (Balta, x) zaif uzluksiz. Bundan tashqari, har qanday cheklangan to'siq H zaif ixchamdir. Bu minimal miqdorni minimumga almashtirishga imkon beradi:

{ displaystyle min _ {x in S_ {k}, | x | = 1} (Ax, x) leq lambda _ {k}.}

Shunday qilib

{ displaystyle sup _ {S_ {k}} min _ {x in S_ {k}, | x | = 1} (Ax, x) leq lambda _ {k}.}

Chunki tenglikka qachon erishiladi ${ displaystyle S_ {k} = operatorname {span} {u_ {1}, ldots, u_ {k} }}$ ,

{ displaystyle max _ {S_ {k}} min _ {x in S_ {k}, | x | = 1} (Ax, x) = lambda _ {k}.}

Bu o'z-o'ziga biriktirilgan ixcham operatorlar uchun min-max teoremasining birinchi qismidir.

Shunga o'xshash tarzda, endi ko'rib chiqing $(k - 1)$ - o'lchovli pastki bo'shliq S_k−1, ortogonal komplementi bilan belgilanadi S_k−1^⊥. Agar S ' = oraliq {siz₁...siz_k},

{ displaystyle S ' cap S_ {k-1} ^ { perp} neq {0}.}

Shunday qilib

{ displaystyle $ S_ {k-1} ^ { perp} , | x | = 1, (Ax, x) geq lambda _ {k} da x mavjud.}

Bu shuni anglatadi

{ displaystyle max _ {x in S_ {k-1} ^ { perp}, | x | = 1} (Ax, x) geq lambda _ {k}}

bu erda ixchamlik A qo'llanildi. Yuqoridagi to'plamni to'plam bilan indekslang k-1- o'lchovli pastki bo'shliqlar beradi

{ displaystyle inf _ {S_ {k-1}} max _ {x in S_ {k-1} ^ { perp}, | x | = 1} (Ax, x) geq lambda _ {k}.}

Tanlang S_k−1 = oraliq {siz₁, ..., siz_k−1} va biz chiqaramiz

{ displaystyle min _ {S_ {k-1}} max _ {x in S_ {k-1} ^ { perp}, | x | = 1} (Ax, x) = lambda _ {k}.}

O'z-o'zidan bog'langan operatorlar

Min-max teoremasi o'z-o'ziga biriktirilgan operatorlarga ham (ehtimol chegarasiz) tegishli.^[1]^[2] Ni eslang muhim spektr cheklangan ko'plikning alohida qiymatlari bo'lmagan spektrdir. Ba'zida biz muhim spektrdan past bo'lgan ba'zi bir o'ziga xos qiymatlarga egamiz va biz o'z qiymatlarimiz va funktsiyalarimizga yaqinlashmoqchimiz.

Teorema (Min-Maks). Ruxsat bering A o'z-o'zidan bog'langan bo'ling va ruxsat bering

{ displaystyle E_ {1} leq E_ {2} leq E_ {3} leq cdots}

ning o'ziga xos qiymatlari bo'ling A muhim spektr ostida. Keyin

${ displaystyle E_ {n} = min _ { psi _ {1}, ldots, psi _ {n}} max { langle psi, A psi rangle: psi in operator nomi {span} ( psi _ {1}, ldots, psi _ {n}), , | psi | = 1 }}$ .

Agar bizda bo'lsa N o'z qiymatlari va shu sababli o'z qiymatlari tugaydi, keyin biz ruxsat beramiz ${ displaystyle E_ {n}: = inf sigma _ {ess} (A)}$ (muhim spektrning pastki qismi) uchun n> Nva yuqoridagi so'z min-max ni inf-sup bilan almashtirgandan so'ng amalga oshiriladi.

Teorema (Maks-Min). Ruxsat bering A o'z-o'zidan bog'laning va ruxsat bering

{ displaystyle E_ {1} leq E_ {2} leq E_ {3} leq cdots}

ning o'ziga xos qiymatlari bo'ling A muhim spektr ostida. Keyin

${ displaystyle E_ {n} = max _ { psi _ {1}, ldots, psi _ {n-1}} min { langle psi, A psi rangle: psi perp psi _ {1}, ldots, psi _ {n-1}, , | psi | = 1 }}$ .

Agar bizda bo'lsa N o'z qiymatlari va shu sababli o'z qiymatlari tugaydi, keyin biz ruxsat beramiz ${ displaystyle E_ {n}: = inf sigma _ {ess} (A)}$ (muhim spektrning pastki qismi) uchun n> Nva yuqoridagi so'z max-min o'rnini sup-inf bilan almashtirgandan keyin amalga oshiriladi.

Dalillar^[1]^[2] o'z-o'ziga bog'langan operatorlar haqida quyidagi natijalardan foydalaning:

Teorema. Ruxsat bering A o'z-o'zidan bog'langan bo'lmoq. Keyin

{ displaystyle (A-E) geq 0}

uchun

{ displaystyle E in mathbb {R}}

agar va faqat agar

{ displaystyle sigma (A) subseteq [E, infty)}

.^[1]^:77

Teorema. Agar A o'z-o'zidan bog'langan, keyin

${ displaystyle inf sigma (A) = inf _ { psi in { mathfrak {D}} (A), | psi | = 1} langle psi, A psi rangle}$

va

${ displaystyle sup sigma (A) = sup _ { psi in { mathfrak {D}} (A), | psi | = 1} langle psi, A psi rangle}$ .^[1]^:77

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ ^a ^b ^v ^d G. Teschl, Kvant mexanikasida matematik usullar (GSM 99) https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/schroe.pdf
^ ^a ^b Lieb; Yo'qotish (2001). Tahlil. GSM. 14 (2-nashr). Dalil: Amerika matematik jamiyati. ISBN 0-8218-2783-9.

M. Rid va B. Simon, Zamonaviy matematik fizika metodikasi IV: Operatorlar tahlili, Academic Press, 1978 y.

[teschl-1] v ^d G. Teschl, Kvant mexanikasida matematik usullar (GSM 99) https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/schroe.pdf

[lieb-loss-2] Lieb; Yo'qotish (2001). Tahlil. GSM. 14 (2-nashr). Dalil: Amerika matematik jamiyati. ISBN 0-8218-2783-9.

[1]

[2]

v t e Funktsional tahlil (mavzular – lug'at)
Bo'shliqlar	Hilbert maydoni Banach maydoni Frechet maydoni topologik vektor maydoni
Teoremalar	Xaxn-Banax teoremasi yopiq grafik teoremasi bir xil chegaralanish printsipi Kakutani sobit nuqta teoremasi Kerin-Milman teoremasi min-maks teoremasi Gelfand - Neymar teoremasi Banach-Alaoglu teoremasi
Operatorlar	chegaralangan operator ixcham operator qo'shma operator unitar operator Xilbert-Shmidt operatori iz sinf cheksiz operator
Algebralar	Banach algebra C * - algebra C * algebra spektri operator algebra mahalliy ixcham guruhning guruh algebrasi fon Neyman algebra
Ochiq muammolar	o'zgarmas subspace muammosi Malerning gumoni
Ilovalar	Besov maydoni Qattiq joy oddiy differentsial tenglamalarning spektral nazariyasi issiqlik yadrosi indeks teoremasi variatsiya hisobi funktsional hisob integral operator Jons polinomi topologik kvant maydon nazariyasi noaniq geometriya Riman gipotezasi
Murakkab mavzular	mahalliy qavariq bo'shliq taxminiy xususiyat muvozanatli to'plam Shvarts maydoni zaif topologiya barreli bo'shliq Banax - Mazur masofasi Tomita-Takesaki nazariyasi

v t e Spektral nazariya va ^*-algebralar
Asosiy tushunchalar	Involution / * - algebra Banach algebra B * - algebra C * - algebra Kommutativ bo'lmagan topologiya Proektsiyada baholanadigan o'lchov Spektr C * algebra spektri Spektral radius Operator maydoni
Asosiy natijalar	Gelfand-Mazur teoremasi Gelfand - Neymar teoremasi Gelfand vakili Qutbiy parchalanish Yagona qiymat dekompozitsiyasi Spektral teorema Normal C * -algebralarning spektral nazariyasi
Maxsus elementlar / operatorlar	Izospektral Oddiy operator Hermitian / O'ziga qo'shilgan operator Unitar operator Birlik
Spektr	Kerin-Rutman teoremasi Oddiy shaxsiy qiymat C * algebra spektri Spektral radius Spektral assimetriya Spektral bo'shliq
Spektrning parchalanishi	(Davomiy Nuqta Qoldiq) Taxminan nuqta Siqish Diskret Spektral abssissa
Spektral teorema	Borel funktsional hisob-kitobi Min-maks teoremasi Proektsiyada baholanadigan o'lchov Riesz projektori Qattiq Hilbert maydoni Spektral teorema Yilni operatorlarning spektral nazariyasi Normal C * -algebralarning spektral nazariyasi
Maxsus algebralar	Amalga oshiriladigan Banach algebra Bilan Taxminan shaxs Banach funktsiyasi algebra Disk algebra Bir xil algebra
Sonlu o'lchovli	Alon-Boppana bog'langan Bauer - Fike teoremasi Raqamli diapazon Shur-Xorn teoremasi
Umumlashtirish	Dirak spektri Muhim spektr Psevdospektrum Tuzilish maydoni (Shilov chegarasi)
Turli xil	Xulosa indekslari guruhi Banach algebra kohomologiyasi Koen-Xevitt faktorizatsiya teoremasi Nosimmetrik operatorlarning kengaytmalari Yutish printsipini cheklash Cheksiz operator
Misollar	Wiener algebra
Ilovalar	Deyarli Mathieu operatori Korona teoremasi Baraban shaklini eshitish (Dirichletning o'ziga xos qiymati) Issiqlik yadrosi Kuznetsov iz formulasi Bo'shashgan juftlik Proto-value funktsiyasi Ramanujan grafigi Reyli - Faber - Kran tengsizligi Spektral geometriya Spektral usul Oddiy differensial tenglamalarning spektral nazariyasi Sturm-Liovil nazariyasi Superstrong yaqinlashuvi Transfer operatori Transformatsiya nazariyasi Veyl qonuni

Navigation