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In dem Gruppentheorie, eine Unterregion der Mathematik, ist der Isometriegruppe von a metrischer Raum das Sammlung von allen Isometrien des metrischen Raums selbst, mit dem Funktionszusammenstellung als Gruppenbetrieb. Es neutrales Element einer Isometriegruppe ist die identisches Bild. Außerdem kann man von einer einzelnen Isometriegruppe dieses metrischen Raums sprechen. Das ist ein Untergruppe von Isometrien dieses Raums. Das Symmetriegruppe eines metrischen Raums ist gleich seiner Isometriegruppe.

Wichtige Fälle sind die euklidischen Platz in nein Maße${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ und Teilmengen davon mit einiger Symmetrie, mit ${displaystyle n}$ = 1, 2 und 3, wobei die gemeinsame Metrik gilt für.

Beispiele

• Die Isometriegruppe von a gleichseitiges Dreieck ist der Permutationsgruppe der drei Ecken. Algebraisch ist dies der symmetrische Gruppeso₃. Die Isometriegruppe eines gleichschenkligen Dreiecks besteht nur aus a Reflexion und das identische Bild. Sind alle drei Seiten des Dreieck ungleich, dann ist die Isometriegruppe de triviale Gruppe.
• Die Isometriegruppe von a nein-dimensional euklidischer Raum ist der euklidische GruppeE(nein).
• Die isometrische Gruppe der sphärische Oberfläche${Displaystil S^{2}}$ ist eine unendliche Gruppe, die die orthogonale GruppeÖ(3) wird erwähnt. Die Isometriegruppe ist isomorph mit der Teilmenge der Isometrien in E(3) Darstellung des Ursprungs an sich.
• Der metrische Raum ist eine nichtleere Teilmenge V von ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ zu ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ mit ${displaystyle n}$ = 1, 2 und 3, mit dem gemeinsame Metrik. Für jede Isometrie von V zu V Gibt es eine oder mehrere Isometrien von ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ zu ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ davon die Beschränkung auf V ist die angegebene Isometrie. Eine Isometriegruppe von V besteht daher aus Einschränkungen zu V aus Isometrien von ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ zu ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ Das V auf V Abbildung, d.h. von Isometrien in der Symmetriegruppe von V im ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$. Das obige Beispiel ist ein Sonderfall davon.

Sammlung generieren

Eine Isometriegruppe G kann als Gruppe definiert werden hervorgebracht durch bestimmte Isometrien. EIN SammlungV der Isometrie, so dass jede andere Isometrie in G als Produkt einer endlichen Anzahl von Elementen von V geschrieben werden kann, ${Displaystil Vsubset G}$, heißt a Stromerzeuger von G. Beispielsweise Spinreflexionen in einer Isometriegruppe können die Reflexionen und Rotationen die Rotationsreflexionen erzeugen, so dass eine Rotationsreflexion im Generatorsatz nicht erforderlich ist, aber auch erforderlich sein kann. Beispiele für letztere sind ${displaystyle C_{i}}$, ${displaystyle S_{2n}}$ (${Anzeigestil n>1}$) und ${displaystyle D_{nd}}$ (${Anzeigestil n>1}$).

Beziehung zu Symmetriegruppen

In vielen Fällen entspricht die Untersuchung von Isometriegruppen der von Symmetriegruppen. Somit sind die Symmetriegruppe eines metrischen Raums und seine Isometriegruppe gleich.

Es gibt jedoch Fälle, in denen eine Isometriegruppe eines metrischen Raums ohne Objekt auf diesem metrischen Raum die Symmetriegruppe ist. Beispiele:

• Unzählige Isometriegruppen:
  • Die Gruppe bestehend aus allen Translationen in 1D: Ein Objekt, das diese Gruppe als Symmetriegruppe hätte, wäre homogen, aber dann gäbe es auch Reflexionssymmetrie.
  • Das spezielle orthogonale Gruppe SO(2). Gleich.
• Abzählbare Isometriegruppen:
  • Die Isometriegruppe bestehend aus allen Übersetzungen in z, also die Gruppe, die durch eine Übersetzung über eine Distanz 1 erzeugt wird: <1>. Gleich.
  • Die Isometriegruppe bestehend aus allen Übersetzungen in z über eine gleichmäßige Distanz: <2>. Eine Figur kann in geraden Positionen anders sein als in ungeraden Positionen (zB abwechselnd rot und blau), aber auch hier würde Reflexionssymmetrie vorliegen.
• Endliche Isometriegruppen:
  • Angenommen, der metrische Raum besteht aus den Ecken eines regulären kn-Winkels und nehmen Isometriegruppe < C_nein> (die durch die Isometrie erzeugte Isometriegruppe bestehend aus k Platzieren und Verdrehen der Punkte). Für k=1 und k=2 hat kein Objekt diese Isometriegruppe als Symmetriegruppe, da es auch Reflexionssymmetrie geben würde.

Kombinationen

Unten beschränken wir uns auf die Ebene, in anderen Dimensionen geht es genauso.

Enthält eine Isometriegruppe eine Translation und eine Rotation, dann enthält sie auch eine Rotation um den gleichen Winkel, deren Drehpunkt die Translation des ersten Drehpunkts ist. Diese Isometrie kann aus der inversen Translation, der Rotation und der Translation bestehen, die in dieser Reihenfolge angewendet werden.

Außerdem enthält die Isometriegruppe eine Translation mit einem entsprechend der Rotation gedrehten Translationsvektor (unabhängig von der Position des Drehpunkts). Diese Isometrie kann aus der inversen Rotation, der Translation und der Rotation bestehen, die in dieser Reihenfolge angewendet werden.

Gleiches gilt für Kombinationen mit Spiegelung: Enthält eine Isometriegruppe eine Translation oder Drehung und eine Spiegelung, dann enthält sie auch Spiegelungen mit verschobenen oder verdrehten Spiegellinien,^[1] und eine gespiegelte Translation oder Rotation. (Die Isometrie-Gruppe enthält auch die entgegengesetzte Drehung für jede Drehung, aber wichtig ist hier, dass wenn der Drehpunkt nicht auf der Spiegellinie liegt, es einen anderen Drehpunkt gibt, nämlich das Spiegelbild der ersten.)

Ab hier beschränken wir uns auf die Ebene und ignorieren andere Dimensionen.

Enthält eine Isometriegruppe eine Translation einer bestimmten Größe und eine Rotation der Ordnung nein, es enthält auch verdrehte Versionen der Übersetzung. Es gibt dann Paare von Translationen dieser Größenordnung mit einem Winkel von 360°/n, und wenn nein ungerade ist auch mit einem Winkel von 180°/n. Wenn ein solcher Winkel kleiner als 60° ist, ist die Größe der Differenztranslation um einen festen Faktor kleiner. Die Isometriegruppe enthält dann beliebig kleine Translationen. Dies ist der Fall bei nein > 6 und ungerade nein > 3, also mit allen nein, außer 1, 2, 3, 4 und 6 (mit dem kleinsten Winkel zwischen gleichen Übersetzungen 180°, 180°, 60°, 90° bzw. 60°). In-plane isometrische Gruppen mit diskreten Übersetzungsgruppen (und deshalb auch Tapetenmustergruppen) sind daher auf diese Rotationsordnungen beschränkt.

Die diskrete Translationsgruppe, das Translationsgitter, wird zu at nein = 3, 4 und 6 dadurch bestimmt nein und einen kleinsten Translationsvektor. Die Symmetriegruppe des Gitters ist vom Typ p4m vor dem nein = 4 und vom Typ p6m vor dem nein = 3 und 6. At nein = 1 und 2 können die Translationen ausgerichtet werden (und die diskrete Translationsgruppe wird durch einen kleinsten Translationsvektor erzeugt), und die Symmetriegruppe des Gitters ist vom Typ d_ha, oder in weitere Richtungen. Im letzteren Fall wird die diskrete Translationsgruppe durch zwei Translationsvektoren erzeugt ein und b. Die Gruppe wird auch durch zwei Übersetzungen generiert peinqb und reinsob mit ganz p, q, r und so so dass die Inverse der Matrix ${displaystyle { egin{bmatrix}p&r/q&send{bmatrix}}}$ hat auch nur ganze Zahlen als Elemente, zum Beispiel durch die Übersetzungen ein und reinb mit ganz r, oder 3ein 2b und 4ein 3b. Die Symmetriegruppe des Gitters ist einer der folgenden Typen:

• pm - Die Translationsgruppe wird durch zwei zueinander senkrechte, aber nicht gleich große Translationsvektoren erzeugt.
• cmm - Die Translationsgruppe wird durch zwei gleich große Translationsvektoren erzeugt, die jedoch keinen Winkel von 60°, 90° oder 120° miteinander bilden.
• p6m - Die Translationsgruppe wird durch zwei Translationsvektoren gleicher Größe und einem Winkel von 60° zueinander erzeugt. Es gibt eine entsprechende regelmäßige fliesen aus gleichseitigen Dreiecken (die Punkte bilden die Eckpunkte der Kacheln) und einer entsprechenden regelmäßigen Kachelung von regelmäßigen Sechsecken (Wabenmuster; die Punkte bilden die Mittelpunkte der Sechsecke). Das Raster kann in drei Trennwände unterteilt werden, die jeweils eine um 30° (oder 90°) gedrehte Version bilden, die um den Faktor √3 erhöht wird. Eine Kombination von zwei von ihnen ergibt ein Wabenmuster von Punkten (keine Gruppe selbst). Der dritte besteht aus den Zentren davon.
• p4m - Die Translationsgruppe wird durch zwei gleich große und senkrecht zueinander stehende Translationsvektoren erzeugt. Es gibt eine entsprechende regelmäßige Kachelung der Quadrate (in zweierlei Hinsicht: die Punkte bilden die Scheitelpunkte oder die Zentren der Kacheln). Das Raster kann in zwei Trennwände geteilt werden, die jeweils eine um 45° gedrehte Version bilden, die um den Faktor √2) vergrößert wird.

Die fünf Bravais-Gitter

Die fünf Bravais-Gitter im Flugzeug

Es gibt in Zwei Dimensionen fünf Arten Bravais-Grills. Sie erstrecken sich über die gesamte Ebene. Ihre Einteilung entspricht den fünf möglichen Formen, in denen die Tapetenmustergruppen kann unterteilt werden:

• m, 1 - p2, Parallelogramme
• ach, 2 - pm, Rechtecke
• ach, 3 - cmm, Diamanten
• h, 4 - p6m, doppelte gleichseitige Dreiecke
• t, 5 - p4m, Quadrate

Das Elementarzellen konstituieren Fliesen, was ihm entspricht. Die Ecken von a regelmäßige fliesen aus Quadraten bilden beispielsweise ein quadratisches Raster, aber die Fundamentalbereich einer Kachelung entspricht nicht überall einer der fünf Formen, die eine Elementarzelle in der Ebene annehmen kann. Der Fundamentalbereich einer Kachelung mit Dreiecken ist a gleichseitiges Dreieck. Die Elementarzelle für diese Kachelung ist ein doppeltes gleichseitiges Dreieck.

Siehe auch

• Beruf (Gruppentheorie)