WikiDer > Jacobi-Matrix

Das Jacobi-Matrix von a Funktion ist der Matrix erster Ordnung partielle Ableitungen dieser Funktion. Sie ${displaystyle f}$ Eine Funktion

${displaystyle f:mathbb {R} ^{n} oder mathbb {R} ^{m},}$

(also eine Funktion, die ${displaystyle n}$ braucht Eingabewerte und ${displaystyle m}$ gibt Werte zurück), mit

${displaystyle f(x_{1},x_{2},ldots,x_{n})=(f_{1}(x_{1},x_{2},ldots,x_{n}),ldots,f_{ m}(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})),}$

deren partielle Ableitungen erster Ordnung existieren, dann die Jacobi-Matrix ${Anzeigestil J(f)}$ von ${displaystyle f}$ wie folgt definiert:

${displaystyle J(f)={frac {partial (f_{1},cdots,f_{m})}{partial (x_{1},cdots,x_{n})}}={ egin{bmatrix}{frac {partial f_{1}}{partial x_{1}}}&{frac {partial f_{1}}{partial x_{2}}}&cdots &{frac {partial f_{1}}{partial x_{n} }}/{frac {partial f_{2}}{partial x_{1}}}}&{frac {partial f_{2}}{partial x_{2}}}&cdots &{frac {partial f_{2}}{ partiell x_{n}}}/vdots &vdots &ddots &vdots /{frac {partial f_{m}}{partial x_{1}}}&{frac {partial f_{m}}{partial x_{2}}}&cdots & {frac {teilweise f_{m}}{teilweise x_{n}}}Ende{bmatrix}}}$

Jakobiner

Für den Fall, dass ${Anzeigestil m=n}$, also wenn die Jacobi-Matrix quadratisch ist, heißt sie bestimmend dieser Matrix die Jakobiner. Dies kommt unter anderem in der verwandeln von Integralen in mehr Dimensionen (wie von Kartesischen Koordinaten zu Polar Koordinaten).

Der Name bezieht sich auf das Deutsche MathematikerCarl Jacobic, der in seiner Karriere zur Entwicklung des Begriffs „Determinante“ beigetragen hat.

Gradient

wenn ${displaystyle m=1}$ (wenn die Funktion also nur einen Wert zurückgibt), wird die Jacobi-Matrix normalerweise usually Gradient von ${displaystyle f}$ (Notation: ${displaystyle abla f}$) erwähnt.

Invers

Laut der Umkehrfunktionssatz die Jacobi-Matrix der Inversen einer invertierbaren differenzierbaren Funktion ist die Inverse der Jacobi-Matrix der Funktion selbst. wenn ${displaystyle f:mathbb {R} ^{n} oder mathbb {R} ^{m}}$ im punkt ${displaystyle x_{0}in Mathbb {R} ^{n}}$ stetig und nicht singulär ist, dann ist ${displaystyle f}$ lokal invertierbar in einer Umgebung von ${displaystyle x_{0}}$, und da ist

${displaystyle (J_{f^{-1}})(f(x_{0}))=[(J_{f})(x_{0})]^{-1}}$

Mit der Jacobi-Funktion kann somit überprüft werden, ob ein Gleichungssystem der Form ${Anzeigestil f(x)=b}$ hat eine Lösung. wenn ${Anzeigestil J(f)(x)}$ ist regelmäßig, also a bestimmend hat ungleich 0, wird ${displaystyle f}$ lokal invertierbar sind in ${Anzeigestil x}$ und im Allgemeinen wird es Lösungen der Gleichung geben.

Hinweis

Die Jacobi-Matrix ist ein Beispiel für eine Matrix, bei der die Elemente nicht alle gleich sind Abmessungen haben müssen. Die Dimension von ${displaystyle {partial f_{i}}/{partial x_{j}}}$ ist das von ${displaystyle f_{i}}$ geteilt durch die von ${displaystyle x_{j}}$, und kann daher ${Anzeigestil i}$ und ${Anzeigestil j}$ abhängen, zum Beispiel wenn es um die Jacobi von a . geht Koordinatentransformation.