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Determinant

In dem Lineare Algebra ist der bestimmend von a quadratische Matrix eine spezielle Zahl, die sich aus der berechnen lässt Elemente dieser Matrix. Wenn die Matrix als a lineare Transformation gesehen wird, ist die grundlegende Geometer Bedeutung einer Determinante, die von a Skalierungsfaktor oder Koeffizient vor dem Größen. Eine 2×2-Matrix mit Determinante 2, angewendet auf a Sammlung Punkte jetzt sofort endlich Oberfläche, transformieren Sie diese Punkte in einen Satz von Punkten, der doppelt so groß ist wie der ursprüngliche Bereich.

Die Determinante einer Matrix ${Anzeigestil A}$ wird bezeichnet mit ${displaystyle det(A)}$ , oder ohne Klammern, wenn ${displaystyle det A}$ , oder auch von ${Anzeigestil |A|}$ . Letztere Notation wird auch in Fällen verwendet, in denen die Array-Elemente vollständig geschrieben werden, indem anstelle der üblichen Array-Klammern zwei vertikale Striche eingefügt werden.

Die Determinante der 2×2-Matrix ${displaystyle { egin{bmatrix}a&b/c&dend{bmatrix}}}$ zum Beispiel wird notiert als ${displaystyle { egin{vmatrix}a&b/c&dend{vmatrix}}}$

Außer in der linearen Algebra sind Determinanten in der Differential- und Integralrechnung, wo sie eine Rolle in der Vertretungsregeln beim Übergang zwischen verschiedenen Koordinatensystem.

Eine lineare Transformation auf

{displaystyle mathbb {R} ^{2}}

durch die angegebene Matrix gegeben. Die Determinante dieser Matrix ist −1, da die Fläche des grünen Parallelogramms rechts 1 ist, aber die Karte dreht die Orientierung zu, da es die Drehung des verhindert Vektoren gegen den Uhrzeigersinn wird eine Drehung im Uhrzeigersinn.

Definition

Die Determinante einer quadratischen Matrix ${Anzeigestil A}$ ist eine Zahl, die von den Elementen von abhängt ${Anzeigestil A}$ . Wenn die quadratische Matrix gegeben ist durch:

{displaystyle A={ egin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&dots &a_{1,n}/a_{2,1}&a_{2,2}&dots &a_{2,n}/vdots &vdots &ddots &vdots /a_{n,1}&a_{n,2}&dots &a_{n,n}end{bmatrix}}}

mit as-Elementen Real oder komplexe Zahlen, dann wird die Determinante von ${Anzeigestil A}$ bezeichnet durch ${displaystyle det(A)}$ oder von

{displaystyle { egin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&dots &a_{1,n}/a_{2,1}&a_{2,2}&dots &a_{2,n}/vdots &vdots &ddots &vPunkte /a_{n,1}&a_{n,2}&Punkte &a_{n,n}end{vmatrix}}}

Die Definition der Determinante wird zunächst für 2×2-Matrizen und 3×3-Matrizen gegeben, Fälle, für die die Formel explizit ausgeschrieben werden kann. Die Definition für größere Matrizen ist eine Verallgemeinerung dieser beiden Fälle.

2×2-Matrix

Die 2×2-Matrix

{displaystyle A={ egin{pmatrix}a&b/c&dend{pmatrix}}}

hat als Determinante:

{displaystyle det(A)={ egin{vmatrix}a&b/c&dend{vmatrix}}=ad-bc}

3×3-Matrix

Herrschaft von Sarrus: Hauptdiagonalen - Nebendiagonalen

Aus der 3×3-Matrix

{displaystyle A={ egin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}/a_{21}&a_{22}&a_{23}/a_{31}&a_{32}&a_{33}end{pmatrix }}}

ist die Determinante

{displaystyle det(A)={ egin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}/a_{21}&a_{22}&a_{23}/a_{31}&a_{32}&a_{33} Ende{vmatrix}}=}

{displaystyle =a_{11}a_{22}a_{33} a_{12}a_{23}a_{31} a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{ 31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}}

Diese Methode heißt die Herrschaft von Sarrus. Die Regel von Sarrus gilt nicht für Matrizen, die größer als 3×3 sind.

In einer 3×3-Matrix kann die Determinante als die orientierte Volumen von dem parallelepiped gebildet von der Vektoren in der Matrix.

Allgemeine Formel

Die Notation ${Anzeigestil |A|}$ für Determinante von ${Anzeigestil A}$ führt manchmal zu Verwechslungen mit einer anderen Matrixfunktion, nämlich ${displaystyle |A|={sqrt {AA^{*}}}}$ .

Die Determinante des ${Anzeigestil n imes n}$ -Matrix ${Anzeigestil A}$ ergibt sich aus der folgenden Leibniz-Formel, benannt nach dem deutschen Mathematiker Gottfried Leibniz.

{displaystyle det(A)=sum _{sigma in S_{n}}left(operatorname {sgn} (sigma)prod_{i=1}^{n}a_{i,sigma (i)}ight)}

Die Summe läuft über alle Permutationen σ der Zahlen ${displaystyle 1,2,ldots,n}$ , und ${Displaystil-Operatorname {sgn} (Sigma)}$ stellt das Vorzeichen der Permutation dar, nämlich 1 für eine gerade Permutation und -1 für eine ungerade. Für 3×3-Matrizen ist dies die Berechnung nach der oben genannten Sarrus-Regel.

Zur Berechnung von Determinanten mit ${Anzeigestil n>3}$ Die Methode von Leibniz wird schnell unhandlich.

Eigenschaften

transponiert

Eine Matrix und ein Wesen transponiert haben die gleiche Determinante:

{displaystyle det(A^{T})=det(A)}

Zeilen oder Spalten vertauschen

Wenn zwei Zeilen oder zwei Spalten vertauscht werden, ändert die Determinante das Vorzeichen.

Skalarmultiplikation

Beim Multiplizieren einer Zeile oder Spalte mit einer Zahl ${Anzeigestil c}$ , wird auch zur Determinante mit ${Anzeigestil c}$ multipliziert.

Multipliziert die ${Anzeigestil n imes n}$ -Matrix ${Anzeigestil A}$ mit einem Skalar ${Anzeigestil c}$ , dann wird die Determinante mit ${displaystyle n}$ Faktoren ${Anzeigestil c}$ multipliziert:

{displaystyle det(cA)=c^{n}det(A)}

Produktreihe

Die Determinante ist eine multiplikative Abbildung in dem Sinne, dass für ${Anzeigestil n imes n}$ -Matrizen ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ gilt:

{Anzeigestil det(AB)=det(A)det(B)}

Da die Determinante eine Zahl ist, gilt auch:

{Anzeigestil det(AB)=det(BA)}

Dies ist nicht selbstverständlich, denn bei Matrix-Multiplikation die Reihenfolge der Multiplikation ist wichtig. ${Anzeigestil AB}$ ist nicht unbedingt gleich ${displaystyle BA}$ , und in den meisten Fällen sogar unähnlich.

Invers

Für ein invertierbare Matrix ${Anzeigestil A}$ gilt:

{displaystyle det(A^{-1})=det(A)^{-1}}

Potenzierung

Aus der Produktregel folgt direkt, dass die Determinante der ${displaystyle k}$ -die Potenz einer Matrix ist gleich ${displaystyle k}$ -die Potenz der Determinante der ursprünglichen Matrix:

{displaystyle det(A^{k})=(det(A))^{k}}

Eigenwerte

wenn ${displaystyle lambda _{1},ldots ,lambda _{k}}$ die verschiedenen (möglicherweise komplexen) Eigenwerte sind von der Matrix ${Anzeigestil A}$ , mit Vielheiten ${displaystyle m_{1},ldots ,m_{k}}$ , ist:

{displaystyle det(A)=lambda _{1}^{m_{1}}cdot ldots cdot lambda _{k}^{m_{k}}}

Entwicklung nach Zeile oder Spalte

Um die Determinante einer Matrix zu berechnen, ist die Methode von Laplace benutzt. Die Determinante von a ${Anzeigestil n imes n}$ -Matrix wird in den Determinanten von Untermatrizen mit Dimensionen ausgedrückt ${displaystyle(n-1)imes(n-1)}$ . Die Methode wird "Entwicklung zu einer Zeile oder Spalte" genannt.

Die Entwicklung hin zum ${Anzeigestil i}$ - die Zeile ist:

{displaystyle det(A)=sum _{j=1}^{n}(-1)^{ij}a_{i,j}{ egin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&ldots &a_{1,j-1}&a_{1,j 1}&ldots &a_{1,n}/a_{2,1}&a_{2,2}&ldots &a_{2,j-1}&a_{2,j 1 }&ldots &a_{2,n}/vdots &vdots &ddots &vdots &vdots &ddots &vdots /a_{i-1,1}&a_{i-1,2}&ldots &a_{i-1,j-1}&a_{i-1, j 1}&ldots &a_{i-1,n}/a_{i 1,1}&a_{i 1,2}&ldots &a_{i 1,j-1}&a_{i 1,j 1}&ldots &a_{i 1 ,n}/vdots &vdots &ddots &vdots &vdots &ddots &vdots /a_{n,1}&a_{n,2}&ldots &a_{n,j-1}&a_{n,j 1}&ldots &a_{n,n}end{vmatrix }}}

Die Entwicklung hin zum ${Anzeigestil j}$ - die Spalte lautet:

{displaystyle det(A)=sum _{i=1}^{n}(-1)^{ij}a_{i,j}{ egin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&ldots &a_{1,j-1}&a_{1,j 1}&ldots &a_{1,n}/a_{2,1}&a_{2,2}&ldots &a_{2,j-1}&a_{2,j 1 }&ldots &a_{2,n}/vdots &vdots &ddots &vdots &vdots &ddots &vdots /a_{i-1,1}&a_{i-1,2}&ldots &a_{i-1,j-1}&a_{i-1, j 1}&ldots &a_{i-1,n}/a_{i 1,1}&a_{i 1,2}&ldots &a_{i 1,j-1}&a_{i 1,j 1}&ldots &a_{i 1 ,n}/vdots &vdots &ddots &vdots &vdots &ddots &vdots /a_{n,1}&a_{n,2}&ldots &a_{n,j-1}&a_{n,j 1}&ldots &a_{n,n}end{vmatrix }}}

Die Entwicklung bedeutet, dass die Determinante aus den Produkten mit dem entsprechenden Vorzeichen der Elemente einer Zeile oder Spalte multipliziert mit der entsprechenden Determinante gebildet wird, die durch Weglassen der zum Element gehörenden Zeile und Spalte in der ursprünglichen Determinante gebildet wird.

Die Berechnung der Determinante wird somit auf die Berechnung von Determinanten 1 Dimension tiefer reduziert. Jede dieser reduzierten Matrizen heißt a geringer der ursprünglichen Matrix ${Anzeigestil A}$ .

Wann endlich ${Anzeigestil A=a_{i,j}}$ , bei Größe 1×1, gilt ${displaystyle det(A)=a_{i,j}}$ .

Funktionen im Zusammenhang mit der Berechnung

Es gibt eine Reihe von Eigenschaften von Determinanten, die bei der Berechnung einer Determinante einer gegebenen Matrix besonders wichtig sind.

'Swipe'-Operationen

Eine Determinante kann genau wie eine Matrix mit der gesweept werden Gauß-Jordan-Methode. Diese Methode wird auch als . bezeichnet Pivot-Methode erwähnt. Die Determinante ändert sich nicht, wenn ein Vielfaches einer Reihe addiert oder von einer anderen Reihe abgezogen wird. Dies ist eine wichtige Eigenschaft, denn wenn eine Matrix durch Wischen auf eine Diagonalform reduziert werden kann, kann die Determinante durch einfaches Multiplizieren der Zahlen auf der Diagonalen berechnet werden.

Dreiecksmatrix

Wenn eine Matrix a . ist Dreiecksmatrix dann ist die Determinante das Produkt der Zahlen auf der Diagonale. Diagonal bezieht sich auf die Hauptdiagonale von links oben nach rechts unten. Es gibt zwei Arten von Dreiecksmatrizen: a obere Dreiecksmatrix (alle Zahlen unten links der Diagonale sind 0) und a untere Dreiecksmatrix (alle Zahlen oben rechts auf der Diagonale sind 0). Biene diagonale Matrizen alle Zahlen außer denen auf der Diagonalen sind 0 und die Determinante ist auch das Produkt der Zahlen auf der Diagonalen.

{displaystyle { egin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}/0&a_{22}&a_{23}/0&0&a_{33}end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}a_{33 }}

und

{displaystyle { egin{vmatrix}a_{11}&0&0/a_{21}&a_{22}&0/a_{31}&a_{32}&a_{33}end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}a_ {33}}

Gleiche Zeilen oder Spalten

Wenn zwei Zeilen (oder Spalten, siehe oben) gleich sind, ist die Determinante 0.

Null Zeile oder Spalte

Enthält eine Zeile in einer Matrix nur die Zahl 0, dann ist die Determinante der gesamten Matrix 0. Da die Determinante der transponierten Matrix gleich der nicht transponierten Matrix ist, gilt diese Eigenschaft auch für Spalten.

{displaystyle { egin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}/0&0&0/a_{31}&a_{32}&a_{33}end{vmatrix}}=0}

Einheitenmatrix

Das Einheitenmatrix ist ein Sonderfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Zahlen auf der Diagonalen 1 sind (und da es sich um eine Diagonalmatrix handelt, sind die anderen Zahlen alle 0). Die Determinante der Einheitsmatrix ist daher 1.

Zusammengesetzte Determinanten

Die Determinante von a ${displaystyle(nm)imes(nm)}$ -Matrix ${Anzeigestil M}$ , die gebildet wird durch die ${Anzeigestil n imes n}$ -Matrix ${Anzeigestil A}$ oben links und ${displaystyle m imes m}$ -Matrix ${Anzeigestil B}$ unten rechts, ist das Produkt der Determinanten von ${Anzeigestil A}$ und von ${Anzeigestil B}$ .

{displaystyle det(M)={ egin{vmatrix}A&0/0&Bend{vmatrix}}=det(A)det(B)}

Eine der beiden oder die Matrix unten links oder die Matrix oben rechts kann immer noch ungleich 0 sein.

Benutzen

Das Quadrat der Determinante der Matrix ${Anzeigestil A}$ entspricht dem Quadrat des Inhalts des Raums, der von der Vektoren im ${Anzeigestil A}$ . wenn ${Anzeigestil A}$ besteht aus nur einem Vektor, es ist das Quadrat der Länge dieses Vektors; wenn ${Anzeigestil A}$ besteht aus zwei Vektoren, das Quadrat der Oberfläche von beiden Vektoren aufgespannt.

{Displaystil I^{2}(A)={det}^{2}(A)}

Determinanten werden bei der Berechnung der Inversen von invertierbaren Matrizen unter Verwendung der Cramers Regel und beim Lösen von linearen Gleichungssystemen.

Das charakteristisches Polynom einer Matrix ist durch die folgende Determinante gegeben ${displaystyle p(lambda)=det(A-lambda I)}$

Die Wurzeln dieses Polynoms sind die Eigenwerte ${displaystyle lambda_{i}}$ von ${Anzeigestil A}$ .Die Konstante dieses Polynoms, also das Produkt der Eigenwerte von ${Anzeigestil A}$ , ist die Determinante von ${Anzeigestil A}$ .

So zeichnen Sie eine Orientierung in a . auf Euklidischer Raum, wird es sein Schild verwendet die Determinante der Matrix mit Spalten de grundlegende Vektoren dieses Raumes. Die Determinante einer Menge von Vektoren ist positiv wenn die Vektoren ein rechtshändiges Koordinatensystem bilden und Negativ für einen Linkshänder.

Geschichte

Historisch wurden Determinanten getrennt von Matrizen untersucht. Ursprünglich wurde eine Determinante als Eigenschaft eines Systems definiert lineare Gleichungen. Die Determinante bestimmt (bestimmt, daher der Name), ob das System eine eindeutige Lösung hat. Dies ist der Fall, wenn das (quadratische) System eine Determinante ungleich 0 hat. In diesem Sinne wurden Determinanten erstmals im chinesischen Mathematiklehrbuch verwendet, Die neun Kapitel der mathematischen Kunst (九章算术, chinesische Gelehrte, um das 3. Jahrhundert v. Chr.). In Europa waren 2×2-Galaxien kardano gegen Ende des 16. Jahrhunderts und größere Systeme untersuchte Leibniz etwa hundert Jahre später. In Japan studiert Seki Determinanten am Ende des 18. Jahrhunderts.^[1]^[2]

In Japan wurden Determinanten eingeführt, um die Eliminierung von Variablen algebraische Gleichungssysteme in höherer Ordnung zu studieren. Die Determinante wurde als Kurzform für die resultierende. Nach Sekis erster Arbeit im Jahr 1683, die Formel von Laplaceplace gegeben durch zwei unabhängige Gruppen von Japanische Mathematiker: Tanaka, Isekic (算法発挥, Sampo-Hakki, veröffentlicht 1690) und Seki, nimm, nimm (大成算経, Taisei-Sankei, geschrieben vor 1710). In letzter Zeit sind jedoch Zweifel aufgekommen, inwieweit diese japanischen Mathematiker die Determinante als eigenständig ansehen Objekt anerkannt.

In Europa geliefert Cramer (1750) leistete einen wichtigen Beitrag zur Theorie der Determinanten, als er das Thema in Bezug auf Gleichungssysteme behandelte. Das wiederkehrende Gesetz wurde erstmals 1764 von . verkündet Bézout.

Es war Vandermonde (1771), der zuerst Determinanten als unabhängige Funktionen behandelte.^[1]Laplace (1772)^[3]^[4] gab die allgemeine Methode zur Erweiterung der Determinanten in Bezug auf ihre komplementären Minderjährigen an: Vandermonde hatte bereits einen Sonderfall genannt. Sofort behandelt Lagrange (1773) Determinanten zweiter und dritter Ordnung. Lagrange war der erste, der Determinanten verwendete, um Fragen aus der Eliminationstheorie Antworten; er bewies viele Sonderfälle allgemeiner Identitäten.

Gauss (1801) machte den nächsten Schritt. Wie Lagrange machte er ausgiebigen Gebrauch von Determinanten in der Zahlentheorie. Er führte das Wort Determinanten ein (Laplace hatte das Wort resultante verwendet), allerdings nicht im heutigen Sinne des Wortes, sondern in der Anwendung auf die diskriminierend von a homogenes Polynom. Gauß entwickelte auch den Begriff reziproker (inverser) Determinanten und kam dem Multiplikationssatz nahe.

Der nächste große Beitrag kam von binet (1811, 1812), die formal den Satz über das Produkt zweier Matrizen von ${displaystyle m}$ Spalten und ${displaystyle n}$ Zeilen, die für den Spezialfall von ${Anzeigestil m=n}$ reduziert sich auf den vorgestellten Multiplikationssatz. Am selben Tag (30. November 1812) präsentierte Binet der Akademie seinen Artikel: Cauchy seinen Artikel zu diesem Thema (siehe Cauchy-Binet-Formel). Cauchy verwendet in seiner Arbeit das Wort Determinante in seiner heutigen Bedeutung,^[5]^[6] er fasste zusammen und vereinfachte, was damals über dieses Thema bekannt war, korrigierte die Notation und gab dem Multiplikationssatz einen Beweis, der zufriedenstellender war als der von Binet.^[1]^[7] Die Determinantentheorie im Allgemeinen beginnt mit Cauchy.

Die nächste wichtige Person war Jakobisch^[2] (ab 1827). Er war ein früher Benutzer der funktionalen Determinante, die Sylvester später de Jacobi erwähnt und in seinen Memoiren in Crelles Tagebuch 1841 beschäftigte er sich besonders mit diesem Thema sowie mit der Klasse der alternierenden Funktionen, die Sylvester später de wechselt ab benannt hat. Ungefähr zur Zeit von Jacobis letzten Memoiren, begonnen Sylvester (1839) und Cayley ihre Arbeit.^[8]^[9].

Das Studium besonderer Formen von Determinanten ist die natürliche Folge der Vervollständigung der allgemeinen Theorie. Achsensymmetrische Determinanten wurden untersucht von Lebesgue, Hessen, und Sylvester; persymmetrisch Determinanten von Sylvester und Hankel, Umwälzpumpen durch katalanisch, Spottiswoode, Glaisher und Scott; verzerrte Determinanten und Pfaffen, verbunden mit der Theorie der orthogonale Transformation von Cayley; Fortsetzungen von Sylvester; Wronskier (so genannt von muir) durch Christopher und Frobenius; zusammengesetzte Determinanten nach Sylvester, Reise und Picket; Jacobi und Hessen von Sylvester und symmetrische linke Determinanten von Trudi. Spottiswoode war das erste Lehrbuch zu diesem Thema. In den Vereinigten Staaten veröffentlichten Hanus (1886), Weld (1893) und Muir/Metzler (1933) Abhandlungen.

Siehe auch

Fußnoten

↑ ^ein ^b ^cCampbell, H: "Lineare Algebra mit Anwendungen", Seiten 111-112. Appleton Century Crofts, 1971
↑ ^ein ^bEva, H: „An Introduction to the History of Mathematics“, S. 405, 493–494, Saunders College Publishing, 1990.
↑Erweiterung der Determinanten in Bezug auf Minderjährige: Laplace, Pierre-Simon (de) "Untersuchungen sur le calcul integral et sur le système du monde", Histoire de l'Académie Royale des Sciences (Paris), zweiter Band, Seiten 267-376 (1772).
↑Muir, Sir Thomas,, Die Theorie der Determinanten in der historischen Entwicklungsordnung [London, England: Macmillan and Co, Ltd, 1906].
↑Die erste Verwendung des Wortes "Determinante" im modernen Sinne erschien in: Cauchy, Augustin-Louis Mémoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux égales valeurs et des signes contraires par suite des transpositions opérées entre les variables qu'elles renferment, am 30. November 1812 erstmals im Institute de France in Paris verlesen und anschließend in der in veröffentlicht Journal de l'Ecole Polytechnique, Kapitel 17, Wälzer 10, Seiten 29-112 (1815).
↑Herkunft mathematischer Begriffe: Früheste bekannte Verwendungen einiger Wörter der Mathematik
↑Geschichte der Matrizen und Determinanten: Matrizen und Determinanten
↑Die erste Verwendung von vertikalen Linien zur Angabe einer Determinante erschien in: Cayley, Arthur, "Über einen Satz in der Geometrie der Position", Cambridge Mathematical Journal, voll. 2, Seiten 267–271 (1841).
↑Die Notation von Matrizen: Früheste Verwendungen von Symbolen für Matrizen und Vektoren

[Campbell-1] Campbell, H: "Lineare Algebra mit Anwendungen", Seiten 111-112. Appleton Century Crofts, 1971

[Eves-2] Eva, H: „An Introduction to the History of Mathematics“, S. 405, 493–494, Saunders College Publishing, 1990.

[3] Erweiterung der Determinanten in Bezug auf Minderjährige: Laplace, Pierre-Simon (de) "Untersuchungen sur le calcul integral et sur le système du monde", Histoire de l'Académie Royale des Sciences (Paris), zweiter Band, Seiten 267-376 (1772).

[4] Muir, Sir Thomas,, Die Theorie der Determinanten in der historischen Entwicklungsordnung [London, England: Macmillan and Co, Ltd, 1906].

[5] Die erste Verwendung des Wortes "Determinante" im modernen Sinne erschien in: Cauchy, Augustin-Louis Mémoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux égales valeurs et des signes contraires par suite des transpositions opérées entre les variables qu'elles renferment, am 30. November 1812 erstmals im Institute de France in Paris verlesen und anschließend in der in veröffentlicht Journal de l'Ecole Polytechnique, Kapitel 17, Wälzer 10, Seiten 29-112 (1815).

[6] Herkunft mathematischer Begriffe: Früheste bekannte Verwendungen einiger Wörter der Mathematik

[7] Geschichte der Matrizen und Determinanten: Matrizen und Determinanten

[8] Die erste Verwendung von vertikalen Linien zur Angabe einer Determinante erschien in: Cayley, Arthur, "Über einen Satz in der Geometrie der Position", Cambridge Mathematical Journal, voll. 2, Seiten 267–271 (1841).

[9] Die Notation von Matrizen: Früheste Verwendungen von Symbolen für Matrizen und Vektoren

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