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Einige mathematische Kurven: zwei Hypozykloide (blau und grün) und a Nierencharakteristik (rot)

EIN Kurve oder Kurve (Latein: Kurve, gebogen, gebogen) ist im Allgemeinen nicht gerade Linie, jedoch mit einer Geraden als Sonderfall. Eine Kurve in zwei Dimensionen ist a flache Kurve, eine Kurve in drei Dimensionen ist a Raumkurve.

Je nach Kontext, im Mathematik genauere Definitionen. Ein Beispiel für eine Kurve ist die Diagramm von a kontinuierliche Funktion.

Parametrierung

Abhängig vom Kontext wird eine Kurve normalerweise definiert als a kontinuierliches Bild auf einem echten Intervall (im weitesten Sinne des Wortes, möglicherweise das gesamte ${displaystyle mathbb {R} }$), wenn es Statue unter so einem Bild. Eine Kurve kann daher gegeben sein durch a parametrische Gleichung mit einem realen Parameter. Um das Bild vom Bild zu unterscheiden, wird das Bild als parametrisierte Kurve bezeichnet. Eine Zwischenform zwischen einer Kurve als Punktmenge und einer Kurve als Karte ist eine orientierte Kurve. Zwei Parametrisierungen bestimmen dieselbe orientierte Kurve, wenn ein Parameter eine streng ansteigende Funktion des anderen ist. Es geht also um die Reihenfolge, in der die Bildpunkte durchfahren werden, aber nicht darum, wie schnell das passiert.^[1]

An einer raumfüllende Kurve es geht nicht um das Bild selbst (das nicht einmal als Kurve erkennbar ist), sondern gerade um die Parametrisierung (zumindest die Reihenfolge, in der die Bildpunkte durchlaufen werden).

Wenn eine Kurve einen Start- und/oder Endpunkt hat, kann sie zur Kurve gehören oder nicht. Für eine Kurve als Menge ergibt sich a Sammelpunkt am einen und/oder anderen Ende. Das Hinzufügen dieser Punkte (und anderer Akkumulationspunkte), wenn überhaupt, bedeutet, dass Sie die Schließen der Sammlung. Bei einer parametrisierten Kurve kommen die Start- und/oder Endpunkte bis zu den möglichen Grenzen nach oben und unten. Das Hinzufügen einer solchen Grenze zu einem begrenzten offenen Ende der Domäne bedeutet, dass dieses Ende geschlossen wird. Ein unbeschränktes Ende der Domäne kann durch eine andere Parametrisierung begrenzt werden, während die Orientierung beibehalten wird. Zum Beispiel mit a logarithmische Spirale der Ursprung kann in der Kurve enthalten sein oder nicht.

Eine Kurve kann auf einer Seite, auf der die Domäne offen ist (begrenzt oder unbeschränkt), begrenzt oder unbeschränkt sein.

EIN Pfad ist ein kontinuierliches Bild, dessen Domäne die . ist Einheitsintervall [0,1]. Das Bild ist dann kompakt; in dem Euklidischer Raum${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ heißt das Geschlossen und begrenzt. EIN Schleife ist ein Pfad, dessen Start- und Endpunkt zusammenfallen. Es ist eine geschlossene Kurve – nicht zu verwechseln mit der schwächeren Eigenschaft, dass eine Kurve eine abgeschlossene Menge ist – entsprechend dem topologischen Konzept freie Schleife. An einer Schaltungsintegral Obwohl die Parametrierung und der Start-/Endpunkt für die Definition nicht wichtig sind, ist die Richtung, in der die Kurve verfahren wird, wichtig.

Eine ebene Kurve kann durch stetige Koordinatenfunktionen definiert werden ${Anzeigestil x(t)}$ und ${Anzeigestil y(t)}$, wobei der Parameter ${displaystyle t}$ durchläuft ein Intervall. An einer Raumkurve wird es noch ein Feature geben ${Anzeigestil z(t)}$ Biene; und so weiter für jede nachfolgende Dimension. wenn ${displaystyle t}$ repräsentiert die Zeit, diese Funktionen definieren zusammen a Ort-Zeit-Funktion einer Bewegung entlang der Kurve.

Beispiel

Das Einheitskreis ist durch die Gleichung gegeben:

${Displaystil x^{2} y^{2}=1}$

Oder auch über die Koordinatenfunktionen:

${Anzeigestil x(t)=cos(t)}$

${Anzeigestil y(t)=sin(t)}$

vor dem

${displaystyle tin[0.2pi )}$.

Bogenlänge

sehen Bogenlänge für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Für ein kleines Stück ${Anzeigestil Deltas}$ die Bogenlänge kann mit dem Satz des Pythagoras angenähert werden

Die Länge von Teilen der Kurve, also entlang der Kurve gemessen, kann durch ein kleines Stück klein . ermittelt werden ${displaystyle {m {d}}s}$ die Kurve zu integrieren. Gilt nach dem Grenzübergang ${Anzeigestil Delta s o 0}$ (Satz des Pythagoras):

${displaystyle {m {d}}s^{2}={m {d}}x^{2} {m {d}}y^{2},}$,

so dass:

${displaystyle s(t_{0})=int _{0}^{t_{0}}{sqrt {left({frac {{m {d}}x}{{m {d}}t}}ight) ^{2} left({frac {{m {d}}y}{{m {d}}t}}ight)^{2}}},{m {d}}t}$,

vorausgesetzt natürlich, dass die Derivate existieren.

Beispiel (Fortsetzung)

Die Bogenlänge des Einheitskreises ist:

${displaystyle s(t_{0})=int _{0}^{t_{0}}{sqrt {left(-sin(t)ight)^{2} left(cos(t)ight)^{2} }}{m {d}}t=t_{0}}$,

Der Umfang ist beispielsweise gleich:

${Anzeigestil s(2pi)=2pi}$.

Tangente

sehen Tangente für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Die Tangente an eine Kurve an einem Punkt ${Anzeigestil (x(t),y(t))}$ der Kurve geht durch diesen Punkt und hat die gleiche Steigung wie die Kurve, also:

${displaystyle {frac {yy(t)}{xx(t)}}={frac {{m {d}}y}{{m {d}}x}}={frac {{m {d}}y }{{m {d}}t}}/{frac {{m {d}}x}{{m {d}}t}}}$

Beispiel (Fortsetzung)

Die Tangenten an den Einheitskreis sind gegeben durch:

${displaystyle {frac {y-y(t)}{x-x(t)}}=-cot(t)}$

Die Tangente am Punkt (1,1) ist beispielsweise:

${displaystyle {frac {y-1}{x-1}}=-cot({frac {1}{4}}pi)=-1}$

anders geschrieben:

${Anzeigestil y=2-x}$

Krümmung

Die Krümmung in einem Punkt ${Anzeigestil(x,y)}$ der Kurve kann beschrieben werden durch Krümmungsradius${Anzeigestil ho}$, definiert von:

${displaystyle ho ={frac {left({x'}^{2} {y'}^{2}ight)^{frac {3}{2}}}{left|y''x'-y'x ''acht|}}}$.

Da die Krümmung bei kleinerem Krümmungsradius größer ist, wird die Krümmung auch durch den Krümmungsparameter beschrieben ${displaystyle kappa}$, das ist der Kehrwert des Krümmungsradius:

${displaystyle kappa ={frac {1}{ho }}}$

Hausdorff Dimension und Fläche

Wenn die parametrische Gleichung einer Kurve konstant ist, ist das Bild nur ein Punkt, und die . is Hausdorff-Dimension daher 0. Die Hausdorff-Dimension (des Bildes) einer Kurve ist in den anderen Fällen mindestens und in der Praxis meist 1. The Kochkurve hat Hausdorff-Dimension

${displaystyle {frac {log(4)}{log(3)}}ungefähr 1{,}26}$

und Varianten haben alle möglichen unterschiedlichen Werte. Die Hausdorff-Dimension von a raumfüllende Kurve ist 2 oder mehr.

Das Oberfläche einer ebenen Kurve kann bei gegebener raumfüllender Kurve größer als Null sein.

S-Drehung

Eine S-Kurve (zum Beispiel in einer Straße oder in einer Kurve in einer Ebene) ist eine Kurve gefolgt von einer Gegenkurve, insbesondere einer Linkskurve gefolgt von einer Rechtskurve (dies gilt in beide Richtungen). Wenn diese Unterscheidung getroffen wird, ist eine umgekehrte S-Kurve eine Rechtskurve gefolgt von einer Linkskurve.

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