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Dieser Artikel handelt von der Größe einer zweidimensionalen Figur; sehen Oberfläche für andere Bedeutungen.

Das Oberfläche einer ebenen geometrischen Figur oder allgemeiner eines zweidimensionalen geometrischen Objekts ist ein Maß für ihre Größe.

Das SIFlächeneinheit ist die Quadratmeter: m², abgeleitet von der Basiseinheit Meter. Für allgemeine Anwendungen im Europäische Union Der Quadratmeter ist mit seinen Dezimalteilen und Vielfachen wie cm² und km² das einzige Flächenmaß. Ausnahmen gibt es in speziellen Anwendungen:

• das sind mit seinem Vielfachen Hektar und sein Teil Centiar, im Kataster Anmeldungen
• das Scheune für den Querschnitt eines Teilchens im Kernphysik

In historischen Dokumenten aus der Niederlande der davor metrisches System Datum, andere Messungen wie z bündeln, das Tag Wand und der Stange.

Ebenengeometrie

Grundtechniken

Die Fläche einer ebenen Figur wird anhand einer Reihe elementarer Eigenschaften des Flächenbegriffs definiert und berechnet, die als interpretiert werden können AxiomFotos:

1. Die Oberfläche ist a isometrisch invariant, d. h. eine Transformation der Ebene, die die gegenseitigen Abstände von Punkten beibehält (z. B. a Drehung), bewahrt auch die Oberfläche flacher Figuren.
2. Die Fläche eines Rechtecks ​​ist das Produkt aus Länge mal Breite. Insbesondere ist die Fläche eines Punktes und eines Segments gleich 0.
3. Die Fläche von a disjunkte Assoziation der ebenen Figuren ist gleich der Summe der Flächen der einzelnen Teile. Dies ermöglicht nacheinander die Flächenberechnung von: (1) einem Parallelogramm, indem es in ein Rechteck mit derselben Basis und Höhe transformiert wird; (2) jedes Dreieck als Hälfte eines Parallelogramms; (3) ein beliebiges Polygon, indem es in Dreiecke unterteilt wird.
4. Die Regel der disjunkten Assoziation gilt weiterhin für a abzählbar unendlich disjunkte Vereinigung, wobei die Summe der Flächen als Summe von a Serie.

Die letzte Zeile ermöglicht es, die Fläche von krummlinigen Figuren wie Kreisen zu bestimmen. Das Integralrechnung gibt eine genaue Definition und eine Berechnungsmethode für die Fläche einer ebenen Figur, die durch den Graphen einer stetigen Funktion und einer horizontalen und zwei vertikalen Linien begrenzt wird.

Formeln

Zahl	Eigenschaften	Oberfläche
Quadrat	die Seide ${Anzeigestil a}$	${Displaystil a^{2}}$
Rechteck	Länge ${Anzeigestil a}$ und Breite ${displaystyle b}$	${displaystyle ab}$
rechtwinkliges Dreieck	rechteckige Seiten ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$	${displaystyle { frac {1}{2}}ab}$
Dreieck	Base ${Anzeigestil c,}$ Höhe ${displaystyle h}$	${displaystyle { frac {1}{2}}hc}$
Dreieck	Seiten ${Anzeigestil a,}$${displaystyle b}$ und ${Anzeigestil c,}$ halber Umfang ${displaystyle s={ frac {1}{2}}(a b c)}$	${displaystyle {sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$ (Reiher-Formel)
Dreieck	Seiten ${Anzeigestil a, b}$ und Zwischenwinkel ${Displaystil-Gamma }$	${displaystyle { frac {1}{2}}absin {gamma }}$
trapezförmig	parallele Seiten ${Anzeigestil a}$ und ${Anzeigestil c,}$ Höhe ${displaystyle h}$	${displaystyle { frac {1}{2}}h(a c)}$
Rhombus	Diagonalen ${displaystyle p}$ und ${Anzeigestil q}$	${displaystyle { frac {1}{2}}pq}$
Parallelogramm	Base ${Anzeigestil c,}$ Höhe ${displaystyle h}$	${displaystyle hc}$
Parallelogramm	Seiten ${Anzeigestil a, b}$ und Zwischenwinkel ${Displaystil-Gamma }$[1]	${Displaystil Absin Gamma }$
regulär ${displaystyle n}$-Winkel	die Seide ${Anzeigestil a}$	${displaystyle { frac {1}{4}}na^{2}cdot cot(pi /n)}$
regelmäßiges Sechseck	die Seide ${Anzeigestil a}$	${displaystyle {frac {3{sqrt {3}}}{2}}a^{2}}$
Kreis	Strahl ${displaystyle r}$	${displaystyle pi r^{2}}$
Ellipse	große Halbachse ${Anzeigestil a,}$ halbkurze Achse ${displaystyle b}$	${Anzeigestil pi ab}$

In einigen Anwendungen ist es nützlich mit Negativ Flächen berechnen, wenn der Umfang einer Figur in einem anderen Satz durchquert wird (herkömmlich ergibt gegen den Uhrzeigersinn eine positive Oberfläche). Wir sprechen dann allgemein von ausgerichtete Oberfläche.

Das Schnürsenkel Formel ist eine einfache Regel für die Fläche eines Polygons in Bezug auf die Koordinaten seiner Scheitelpunkte ${displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})ldots ,(x_{n},y_{n}):}$

${displaystyle S={ frac {1}{2}}left(x_{1}y_{2} x_{2}y_{3} ldots x_{n}y_{1}-x_{2}y_{1}- x_{3}y_{2}-ldots -x_{1}y_{n}Nacht)}$

Es kann bewiesen werden, indem man feststellt, dass ${displaystyle { frac {1}{2}}links(x_{i}y_{i 1}-x_{i 1}y_{i}ight)}$ ist die orientierte Fläche des vom Ursprung gebildeten Dreiecks ${displaystyle(0,0)}$ und die punkte ${Anzeigestil (x_{i},y_{i})}$ und ${Anzeigestil (x_{i 1},y_{i 1}).}$

Schwerpunkt

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Der Schwerpunkt einer ebenen Figur hat die Eigenschaft, dass jede gerade Linie die Figur in zwei flächengleiche Teile schneidet. Das Mediane eines Dreiecks sind ein Beispiel dafür.

isoperimetrische Ungleichung

Die Oberfläche ${Anzeigestil S}$ eines Kreises ist gleich dem Quadrat seines Umfangs ${Displaystil O,}$ geteilt durch ${Anzeigestil 4pi}$:

${displaystyle S=pi r^{2}, O=2pi r, S={frac {O^{2}}{4pi }}}$

Das isoperimetrische Ungleichung besagt, dass dieses Verhältnis optimal ist, in dem Sinne, dass für jede andere ebene Figur die isoperimetrischer Quotient

${displaystyle IQ={frac {4pi S}{O^{2}}}}$

nicht größer als 1 ist und nur am Kreis genau gleich 1 ist.

Beispiel

Mit einem Quadrat mit Seite ${Anzeigestil a}$ ist der umfang ${Anzeigestil O=4a}$ und die Oberfläche ${displaystyle S=a^{2}}$, So

${displaystyle IQ={frac {4pi S}{O^{2}}}={frac {4pi a^{2}}{16a^{2}}}={frac {pi }{4}}<1}$

Fläche innerhalb einer geschlossenen ebenen Kurve

wenn ${Anzeigestil C}$ eine stückweise differenzierbare geschlossene ebene Kurve ohne Selbstschnittpunkte und mit dem Inneren links ist, dann folgt aus Satz von Green Green eine Formel für die Oberfläche des Innenraums:

${displaystyle S={}oint _{C}x,mathrm {d} y={}-oint _{C}y,mathrm {d} x}$

Beispiel

Der Kreis mit Radius ${displaystyle r}$ parametrierbar als

${displaystyle C:[0.2pi] oder mathbb {R} ^{2}:tmapsto (x(t)=rcos t,y(t)=rsin t)}$

Aus der ersten Gleichheit der obigen Flächenformel folgt dann

${displaystyle S=int _{t=0}^{2pi}rcos t,mathrm {d} (rsin t)=int _{t=0}^{2pi}r^{2}cos ^{2}t, Mathrm {d} t=pi r^{2}}$

Maßtheorie

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Die Maßtheorie definiert den Flächenbegriff auf der Grundlage einer abstrakten messen. Die Axiome eines Maßes enthalten eine Regel für die disjunkte Vereinigung einer abzählbaren Menge messbarer Mengen. Für flache zweidimensionale Figuren verwendet man die lebesgue kamerad auf ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$.

Bei gekrümmten Oberflächen besteht das Volumenkonzept einerseits aus dem Differentialgeometrie, andererseits die Haargröße aus der Theorie von lokal kompakte Gruppen. Zum Beispiel können Flächen einer großen Klasse von Teilmengen beliebiger zweidimensional gekrümmter Räume zugeordnet werden, einschließlich aller kompakt Teilmengen.

Raumgeometrie

Formeln für den Bereich der dreidimensionalen Körper

Für Figuren, die aus zweidimensionalen Unterräumen des dreidimensionalen Raumes bestehen, bleiben die Grundregeln (isometrische Invariante, Reihensumme der disjunkten Vereinigung) gültig. Wenn eine Figur nur gerade Seiten hat, gibt es nichts Neues; so ist die Fläche von a Würfel nur das 6-fache der Fläche eines der 6 identischen Quadrate, die es begrenzen.

Ein geschlossener Zylinder wird von zwei flachen Kreisen und einem gebogenen Rechteck begrenzt. Die Fläche des Rechtecks ​​ist die Höhe des Zylinders multipliziert mit seinem Umfang.

Zahl	Eigenschaften	Oberfläche
Kugel	Strahl ${displaystyle r}$	${displaystyle 4pi r^{2}}$
Kugelsegment	Kugelradius ${displaystyle r}$, Höhe ${displaystyle h}$	${displaystyle 2pi rh}$
Kugelkalotte	Kugelradius ${displaystyle r}$, halber Öffnungswinkel ${displaystyle alpha }$	${displaystyle 2pi r^{2}(1-cos alpha)}$
Zylinder (Öffnen)	Strahl ${displaystyle r}$, Höhe ${displaystyle h}$	${displaystyle 2pi rh}$
Zylinder (unten und oben geschlossen)	Strahl ${displaystyle r}$, Höhe ${displaystyle h}$	${Displaystil 2pi r(r h)}$
Zylinder (allgemeine Basis, offen)	Umfangsbasis ${Anzeigestil O}$, Höhe ${displaystyle h}$	${displaystyle Oh}$
Kegel (Öffnen)	Strahl ${displaystyle r}$, Höhe ${displaystyle h}$	${displaystyle pi r({sqrt {r^{2} h^{2}}})}$
Kegel (Geschlossen)	Strahl ${displaystyle r}$, Höhe ${displaystyle h}$	${displaystyle pi r(r {sqrt {r^{2} h^{2}}})}$

Für den Bereich von a Ellipsoid mit Halbwellen ${Anzeigestil a,}$${displaystyle b}$ und ${Anzeigestil c}$ Es gibt keine Formel, die nur elementare Funktionen verwendet. Verwenden von elliptische Integrale eine geschlossene Formel geschrieben werden kann. Die Fläche von a sphäroid (ein Rotationsellipsoid, also mit ${Anzeigestil a=b}$) hat dagegen eine elementare geschlossene Form.

Raumwinkel

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Ein Raumwinkel ist begrenzt durch a Regelfläche bestehend aus Strahlen, die durch einen Punkt gehen (unregelmäßiger Kegel). Die Größe eines Raumwinkels ist die Fläche, die der Raumwinkel von einer Kugel mit Radius 1 um die Spitze des Kegels schneidet. Raumwinkel werden standardmäßig in ausgedrückt Steradiant. Die vollständige Kugel bestimmt einen Raumwinkel von ${Anzeigestil 4pi }$ sr.

Revolution Integral

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EIN Körper der Revolution ergibt sich aus dem Graphen einer stetigen Funktion (auf einem beschränkten reellen Intervall ${Anzeigestil [a,b]}$) um die zu drehen ${Anzeigestil X}$-Asche. wenn ${Anzeigestil f(x)}$ die Vorschrift der Funktion ist und die Funktion stetig differenzierbar ist, dann ist die Fläche (der runden Seite) des Rotationskörpers:

${displaystyle S=int _{x=a}^{b}2pi f(x),{sqrt {1 (f'(x))^{2}}},mathrm {d} x}$

wahr ${displaystyle f'}$ das Derivat ist von der Funktion ${Anzeigestil f.}$

Beispiel

Die Kugel mit Radius ${displaystyle r}$ kann als der von der Funktion erzeugte Rotationskörper verstanden werden

${displaystyle f:[-r,r] oder mathbb {R} :xmapsto {sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$

Die Ableitung ist

${displaystyle f'(x)={frac {-x}{f(x)}}}$

Die Gegend ist also

${displaystyle S=int _{x=-r}^{r}2pi f(x){sqrt {1 {frac {x^{2}}{f(x)^{2}}}}},mathrm { d} x=int _{x=-r}^{r}2pi r,mathrm {d} x=4pi r^{2}.}$

Allgemeine gekrümmte Oberfläche

Wird ein Teil einer gekrümmten Fläche im dreidimensionalen Raum durch den Graphen einer stetig differenzierbaren Funktion bestimmt

${displaystyle f:Dsubset mathbb {R} ^{2}:(x,y)mapto f(x,y)}$

dann ist die Fläche dieses Graphen durch die Integralformel gegeben

${displaystyle S=iint _{D}{sqrt {1 left({frac {partial f}{partial x}}ight)^{2} left({frac {partial f}{partial y}}ight)^{2 }}},Mathematik {d} x,Mathematik {d} y.}$

Beispiel

Wir berechnen die Fläche der Runde Sattel (hyperbolisch Paraboloid), die den Graphen der Funktion bildet

${displaystyle f:D(0,1) oder mathbb {R} :(x,y)mapto xy}$

auf der Einheitsscheibe

${displaystyle D(0,1)={(x,y)in mathbb {R} ^{2}|x^{2} y^{2}leq 1}}$

Das partielle Ableitungen von ${displaystyle f}$ sein

${displaystyle {frac {teilweise f}{teilweise x}}(x,y)=y; {frac {teilweise f}{teilweise y}}(x,y)=x}$

Damit ergibt sich für die Oberfläche nach obiger allgemeiner Formel

${displaystyle S=iint _{x^{2} y^{2}leq 1}{sqrt {1 y^{2} x^{2}}},mathrm {d} x,mathrm {d} y}$

Übergang zu Polar Koordinaten reduziert dies auf

${displaystyle S=int _{ heta =0}^{2pi }int _{r=0}^{1}{sqrt {1 r^{2}}},r,mathrm {d} r,mathrm {d} heta =2pi int _{r=0}^{1}{sqrt {1 r^{2}}}r,mathrm {d} r={frac {2pi }{3}}(2{sqrt {2}} -1)}$

Mindestfläche

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Eine Minimalfläche im dreidimensionalen Raum ist eine Fläche, deren mittlere Krümmung überall ist 0. Dies entspricht der Eigenschaft, dass die Fläche in der Nähe jedes Punktes die Fläche minimiert. Das physikalische Modell einer Minimalfläche ist ein Seifenvlies, das innerhalb eines gebogenen Drahtes gespannt ist: Durch die Oberflächenspannung der Seifenlösung sucht das Seifenvlies automatisch nach der kleinsten Oberfläche im Draht. Planflächen sind Minimalflächen, aber auch das Rotationsfeld von a Kettenlinie ist minimal.

Wikibooks hat mehr zu diesem Thema: Mathematikkurs: Oberfläche.