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Lagrange-polynoom

Lagrange-Polynome in der sein numerische Analyse verwendet, um von einem Unbekannten zu übertragen Funktion davon nur in endlich vielen Punkten ${displaystyle x_{0},x_{1},ldots ,x_{n}}$ der Funktionswert bekannt ist, nähern Sie den Wert in Zwischenpunkten an. Hiermit a lineare Kombination der verwendeten Polynome, die Lagrange-Polynome. Diese Polynome gehören zu den Punkten ${displaystyle x_{i}}$ , und damit es ${Anzeigestil i}$ -das Polynom ${displaystyle ell_{i}}$ hat den Wert 1 im Punkt ${displaystyle x_{i}}$ und der Wert 0 in den restlichen Punkten. Die Koeffizienten der Linearkombination sind dann genau die bekannten Funktionswerte in den betreffenden Punkten. Der Funktionswert der Linearkombination an einem Zwischenpunkt ${Anzeigestil x}$ , ist eine Näherung des unbekannten Funktionswertes in ${Anzeigestil x}$ .

Die Lagrange-Polynome sind benannt nach Joseph-Louis Lagrange, wurden aber erstmals 1779 von . beschrieben Edward Waring, und 1783 wiederentdeckt von Leonhard Euler.

Definition

Das Lagrange-Polynome gehört zu ${displaystyle n1}$ Punkte ${displaystyle x_{0},x_{1},ldots ,x_{n}}$ sind die ${displaystyle n1}$ Polynome ${displaystyle ell_{i}}$ des Grad ${displaystyle n}$ , definiert von

{displaystyle ell_{i}(x)=prod_{j=0,jeq i}^{n}{frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}.}

Eigenschaften

Es ist leicht zu erkennen, dass für das Lagrange-Polynom ${displaystyle ell_{i}}$ gilt:

{displaystyle ell_{i}(x_{i})=1}

und

{displaystyle ell_{i}(x_{k})=0,{ ext{for }}keq i.}

Das Lagrange-Polynom ${displaystyle ell_{i}}$ ist das einzigartige ${displaystyle n}$ -das Gradpolynom, das die obige Eigenschaft erfüllt, d.h.

{displaystyle ell_{i}(x)=sum _{k=0}^{n}lambda_{jk}x^{k}}

ist die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems

{Displaystyle-Summe _{k=0}^{n}Lambda _{jk}x_{i}^{k}=Delta _{ij}}

bei welchem ${displaystyle delta_{ij}}$ das Symbol ist für die Kronecker Delta.

Anwendung

Von der Funktion ${displaystyle f}$ der Funktionswert im ${displaystyle n1}$ Punkte ${displaystyle x_{0},x_{1},ldots ,x_{n}}$ ist bekannt, kann ${displaystyle f}$ angesprochen werden von ${displaystyle n}$ -Grad-Polynom

{Anzeigestil P(x)=Summe _{i=0}^{n}f(x_{i})ell _{i}(x).}

Siehe auch

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