WikiDer > Tschebyschew-Polynom

Chebyshev-polynoom

Die ersten fünf Chebyshev-Polynome

Das Tschebyschew-Polynome des erste Art ${Displaystil T_{n}(x)}$ und von der zweite Art ${Displaystil U_{n}(x)}$ sind zwei Reihen orthogonale Polynome, benannt nach Pafnuty Lvovich Chebysheva (Tschebyschew auf Englisch Transliteration), mit wichtigen Anwendungen im Filtertechnik und der numerische Mathematik Approximationen von Funktionen zu finden.

Tschebyscheff-Polynome erster Art

Definition

Das Tschebyschew-Polynom der ersten Art ${Displaystil T_{n}(x)}$ ist für ${Anzeigestil n=0,1,2,3,ldots}$ definiert als:

{displaystyle T_{n}(cos( ​​​​heta))=cos(n heta)}

Dieses Polynom ist eine Lösung von chebyshevDifferentialgleichung (ein Sturm-Liouville-Differentialgleichung):

{displaystyle (1-x^{2}){{m {d}}^{2}y über {m {d}}x^{2}}-x{{m {d}}y über {m { d}}x} n^{2}y=0}

Bis zum Auswechslung

{displaystyle {ilde {y}}(heta)=y(cos(heta))}

diese Differentialgleichung wird zu:

{displaystyle { ilde {y}}'' n^{2}{ ilde {y}}=0}

,

woraus man das leicht erkennen kann

{displaystyle { ilde {y}}(heta)=cos(n heta))}

ist eine Lösung.

Die ersten zehn Tschebyscheff-Polynome der ersten Art sind:

{Displaystil T_{0}(x)=1}

{Displaystil T_{1}(x)=x}

{Anzeigestil T_{2}(x)=2x^{2}-1}

{Anzeigestil T_{3}(x)=4x^{3}-3x}

{Displaystil T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2} 1}

{Displaystil T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3} 5x}

{Displaystil T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4} 18x^{2}-1}

{Displaystil T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5} 56x^{3}-7x}

{Displaystil T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6} 160x^{4}-32x^{2} 1}

{Displaystil T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7} 432x^{5}-120x^{3} 9x}

Rekursion

Die Tschebyscheff-Polynome der ersten Art sind im Folgenden rekursiv Beziehung:

{Displaystil T_{0}(x)=1}

{Displaystil T_{1}(x)=x}

{Anzeigestil T_{n 1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)}

vor dem

{displaystyle ngeq 1}

Generierungsfunktion

Das Erzeugungsfunktion für die Tschebyscheff-Polynome erster Art ist:

{displaystyle sum _{n=0}^{infty }T_{n}(x)t^{n}={frac {1-tx}{1-2tx t^{2}}}}

Orthogonalität

Die Tschebyscheff-Polynome erster Art bilden auf dem Intervall [-1,1] ein System orthogonaler Polynome bezüglich der Gewichtsfunktion

{displaystyle w(x)={frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}

Es gilt also für ${displaystyle neq m}$ :

{displaystyle int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x),{frac {{m {d}}x}{sqrt {1-x^{2}}} }=0}

Dies ist die direkte Folge der Beziehung (take ${Anzeigestil x=cos(heta)}$ )

{displaystyle int _{0}^{pi }cos(n heta )cos(m heta ),{m {d}} heta =0quad {mbox{if}} neq m}

Eigentum

Aus der Definition der Polynome als Kosinus folgt einfach:

{displaystyle T_{n}(x)T_{m}(x)={ frac {1}{2}}{ ig (}T_{nm}(x) T_{|nm|}(x){ ig } }

Chebyshev-Polynome zweiter Art

Definition

Das Tschebyschew-Polynome der zweiten Art ${Anzeigestil (U_{n}(x))}$ sind durch die rekursive Beziehung definiert:

{Displaystil U_{0}(x)=1}

{Displaystil U_{1}(x)=2x}

{Anzeigestil U_{n 1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x)}

vor dem

{displaystyle ngeq 1}

Diese Rekursion unterscheidet sich nur im Startwert für ${Anzeigestil n=1}$ der Rekursionsrelationen für die Tschebyschew-Polynome erster Art.

Vor dem ${displaystyle heta eq kpi, kin mathbb {Z}}$ gilt:

{displaystyle U_{n}(cos heta)={frac {sin { ig (}(n 1) heta { ig )}}{sin heta }}}

Wegen der löschbare Singularität im ${Anzeigestil kpi }$ diese Formel gilt für alle ${Anzeigestil-Heta}$ .

Die ersten acht Tschebyscheff-Polynome zweiter Art sind:

{Displaystil U_{0}(x)=1}

{Displaystil U_{1}(x)=2x}

{Anzeigestil U_{2}(x)=4x^{2}-1}

{Anzeigestil U_{3}(x)=8x^{3}-4x}

{Displaystil U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2} 1}

{Anzeigestil U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3} 6x}

{Displaystil U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4} 24x^{2}-1}

{Displaystil U_{7}(x)=128x^{7}-192x^{5} 80x^{3}-8x}

Generierungsfunktion

Die erzeugende Funktion für die Tschebyscheff-Polynome zweiter Art lautet:

{displaystyle sum _{n=0}^{infty }U_{n}(x),t^{n}={frac {1}{1-2tx t^{2}}}}

Orthogonalität

Die Tschebyscheff-Polynome zweiter Art bilden auf dem Intervall [-1,1] ein System orthogonaler Polynome bezüglich der Gewichtsfunktion

{displaystyle w(x)={sqrt {1-x^{2}}}}

Es gilt also für ${displaystyle neq m}$ :

{displaystyle int _{-1}^{1}U_{n}(x)U_{m}(x){sqrt {1-x^{2}}},{m {d}}x=0}

Differentialgleichung

Das Tschebyscheff-Polynom zweiter Art ist eine Lösung der Tschebyscheff-Differentialgleichung:

{displaystyle (1-x^{2})y''-3xy' n(n 2)y=0}

die auch eine Sturm-Liouville-Differentialgleichung ist.

Siehe auch