WikiDer > Yutish printsipini cheklash

Matematikada cheklash assimilyatsiya printsipi (LAP) dan tushunchadir operator nazariyasi va tarqalish nazariyasi "to'g'ri" ni tanlashdan iborat hal qiluvchi a chiziqli operator da muhim spektr muhim spektrga yaqin bo'lgan rezolventning xatti-harakatlariga asoslangan. Ushbu atama ko'pincha rezolyutsiyani asl makonda emas deb hisoblaganda ishlatiladi (odatda bu) The ${ displaystyle L ^ {2}}$ bo'sh joy), lekin ma'lum vaznli joylarda (odatda ${ displaystyle L_ {s} ^ {2}}$spektral parametr muhim spektrga yaqinlashganda chegara bor, bu kontseptsiya ma'lum echimlarni tanlash uchun to'lqin tenglamasiga kichik yutilishni kiritish g'oyasidan kelib chiqqan. Vladimir Ignatovskiy.^[1]

Tarqoqlik nazariyasi bilan bog'liqligi

Ushbu bo'lim ohang yoki uslub aks ettirmasligi mumkin entsiklopedik ohang Vikipediyada ishlatilgan. Vikipediyani ko'ring yaxshiroq maqolalar yozish uchun qo'llanma takliflar uchun. (2019 yil sentyabr) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Misol tariqasida Laplas operatori bitta o'lchovda, ya'ni cheksiz operator ${ displaystyle A = - kısalt _ {x} ^ {2},}$ ichida harakat qilish ${ displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R})}$ va domenda aniqlangan ${ displaystyle D (A) = H ^ {2} ( mathbb {R})}$, Sobolev maydoni. Keling, uning tavsifini bering hal qiluvchi, ${ displaystyle R ( lambda) = (A- lambda I) ^ {- 1}}$. Tenglama berilgan

${ displaystyle (- qismli _ {x} ^ {2} - lambda) u (x) = f (x), quad x in mathbb {R}, quad f in L ^ {2} ( mathbb {R})}$,

keyin, spektral parametr uchun ${ displaystyle lambda}$ dan hal qiluvchi to'plam ${ displaystyle mathbb {C} smallsetminus { overline { mathbb {R} _ {+}}}}$, echim ${ displaystyle u in L ^ {2} ( mathbb {R})}$ tomonidan berilgan${ displaystyle u (x) = (R ( lambda) f) (x) = (G ( cdot, lambda) * f) (x),}$qayerda ${ displaystyle G ( cdot, lambda) * f}$ bo'ladi konversiya ning f bilan asosiy echim G:

${ displaystyle (G ( cdot, lambda) * f) (x) = int _ { mathbb {R}} G (x-y; lambda) f (y) , dy,}$

tomonidan berilgan asosiy echim bilan

${ displaystyle G (x; lambda) = { frac {1} {2 { sqrt {- lambda}}}} e ^ {- | x | { sqrt {- lambda}}}, quad lambda in mathbb {C} smallsetminus { overline { mathbb {R} _ {+}}}.}$

Kvadrat ildizning qaysi shoxini tanlash kerakligi aniq: ijobiy qismi bo'lgan (u katta absolyut qiymati uchun pasayadi) x), shuning uchun G bilan ${ displaystyle f in L ^ {2} ( mathbb {R})}$ manoga ega.

Asosiy echimning chegarasini ko'rib chiqish mumkin ${ displaystyle G (x; lambda)}$ kabi ${ displaystyle lambda}$ spektriga yaqinlashadi ${ displaystyle - kısalt _ {x} ^ {2}}$, tomonidan berilgan${ displaystyle sigma (- qismli _ {x} ^ {2}) = { overline { mathbb {R} _ {+}}} = [0, + infty)}$.Nima bo'lishiga bog'liq ${ displaystyle lambda}$ spektrga yuqoridan yoki pastdan yaqinlashganda, ikkita turli xil cheklovli iboralar bo'ladi:${ displaystyle G _ {+} (x; lambda) = lim _ { varepsilon dan 0+} gacha G (x; lambda + i varepsilon) = - { frac {1} {2i { sqrt { lambda}}}} e ^ {i | x | { sqrt { lambda}}}}$agar ${ displaystyle lambda = | lambda | + i0}$ (qachon ${ displaystyle lambda}$ yondashuvlar ${ displaystyle mathbb {R} _ {+}}$ yuqoridan) va${ displaystyle G _ {-} (x; lambda) = lim _ { varepsilon dan 0+} gacha G (x; lambda -i varepsilon) = { frac {1} {2i { sqrt { lambda}}}} e ^ {- i | x | { sqrt { lambda}}}}$(yaqinlashganda ${ displaystyle mathbb {R} _ {+}}$ pastdan).

Ushbu ikki xil chegara nimaga mos keladi? Ning eslashicha, yuqoridagi spektral muammoga o'qish paytida keladi Shredinger tenglamasi,

${ displaystyle i , kısalt _ {t} psi (t, x) = - qismli _ {x} ^ {2} psi (t, x), quadad t in mathbb {R}, quad x in mathbb {R}.}$

"Absorbsiya" so'zi, agar muhit yutadigan bo'lsa, unda tenglama bo'ladi${ displaystyle i , kısalt _ {t} psi (t, x) = - qisman _ {x} ^ {2} psi (t, x) -i varepsilon psi (t, x)}$, bilan yechim ${ displaystyle varepsilon> 0}$ vaqtinchalik tanazzulga uchragan bo'lar edi: ${ displaystyle psi (t, x) to psi (t, x) e ^ {- varepsilon t}}$, ${ displaystyle t to + infty}$; "cheklangan yutish" bu xayoliy qismning nolga moyilligini anglatadi. Ijobiy vaqtga kelib tushgan bu parchalanish tufayli Furye eritma vaqtida o'zgaradi,

${ displaystyle { hat { psi}} ( lambda, x) = int _ { mathbb {R}} e ^ {i lambda t} psi (t, x) , dt,}$

analitik ravishda pastki yarim tekislikning kichik qismiga kengaytirilishi mumkin, ${ displaystyle lambda in mathbb {C}}$, bilan ${ displaystyle Im lambda> - varepsilon}$. Shu ma'noda, chiquvchi to'lqinlarga mos keladigan "to'g'ri" rezolvent operator tomonidan ifodalanadi ${ displaystyle R _ {-} ( lambda)}$ ajralmas yadro bilan ${ displaystyle G _ {-} (x-y, lambda)}$, bu mintaqadan spektrga yaqinlashganda rezoventsiyaning chegarasi sifatida aniqlanadi ${ displaystyle Im lambda <0}$.^[2]

O'lchangan maydonlarda taxminlar

Ruxsat bering ${ displaystyle A: , X to X}$ bo'lishi a chiziqli operator a Banach maydoni ${ displaystyle X}$, domenda aniqlangan ${ displaystyle D (A) subset X}$Operatorning rezolyutiv to'plamidan spektral parametr qiymatlari uchun ${ displaystyle lambda in rho (A) subset mathbb {C}}$, rezolvent ${ displaystyle R ( lambda) = (A- lambda I) ^ {- 1}}$ dan ishlaydigan chiziqli operator sifatida qaralganda chegaralanadi ${ displaystyle X}$ o'ziga, ${ displaystyle R ( lambda): , X to X}$, lekin uning chegarasi spektral parametrga bog'liq ${ displaystyle lambda}$ va kabi cheksizlikka intiladi ${ displaystyle lambda}$ operator spektriga yaqinlashadi, ${ displaystyle sigma (A) = mathbb {C} smallsetminus rho (A)}$. Aniqrog'i, munosabat mavjud

${ displaystyle Vert R ( lambda) Vert geq { frac {1} { operatorname {dist} ( lambda, sigma (A))}}, qquad lambda in rho (A) .}$

So'nggi yillarda ko'plab olimlar rezoventsion deb aytmoqchi bo'lganlarida "cheklash assimilyatsiya printsipi" ga murojaat qilishadi ${ displaystyle R ( lambda)}$ ma'lum bir operatorning A, muayyan og'irlikdagi bo'shliqlarda harakat qilish deb hisoblanganda, spektral parametr sifatida chegaraga ega (va / yoki bir xil chegarada qoladi) ${ displaystyle lambda}$ muhim spektrga yaqinlashadi, ${ displaystyle sigma _ {ess} (A)}$. Masalan, Laplas operatorining yuqoridagi misolida bir o'lchovda, ${ displaystyle A = - kısalt _ {x} ^ {2}: , L ^ {2} ( mathbb {R}) to L ^ {2} ( mathbb {R})}$, domenda aniqlangan ${ displaystyle D (A) = H ^ {2} ( mathbb {R})}$, uchun ${ displaystyle lambda> 0}$, ikkala operator ham ${ displaystyle R _ { pm} ( lambda)}$ ajralmas yadrolari bilan ${ displaystyle G _ { pm} (x-y; lambda)}$ chegaralanmagan ${ displaystyle L ^ {2}}$ (ya'ni operatorlar sifatida ${ displaystyle L ^ {2}}$ o'zi uchun), lekin operator sifatida qaralganda ikkalasi ham chegaralangan bo'ladi

${ displaystyle R _ { pm} ( lambda): ; L_ {s} ^ {2} ( mathbb {R}) to L _ {- s} ^ {2} ( mathbb {R}), quad s> 1/2, quad lambda in mathbb {C} smallsetminus { overline { mathbb {R} _ {+}}},}$

bo'sh joylar ${ displaystyle L_ {s} ^ {2} ( mathbb {R})}$ bo'shliqlari sifatida aniqlanadi mahalliy darajada birlashtirilishi mumkin funktsiyalari shunday ${ displaystyle L_ {s} ^ {2}}$-norm,

${ displaystyle Vert u Vert _ {L_ {s} ^ {2} ( mathbb {R})} ^ {2} = int _ { mathbb {R}} (1 + x ^ {2}) ^ {s} | u (x) | ^ {2} , dx,}$

cheklangan.^[3][4]

Adabiyotlar