WikiDer > Malgrange-Erenpreis teoremasi

Matematikada Malgrange-Erenpreis teoremasi har bir nolga teng bo'lmagan chiziqli ekanligini ta'kidlaydi differentsial operator bilan doimiy koeffitsientlar bor Yashilning vazifasi. Bu birinchi marta mustaqil ravishda isbotlangan Leon Erenpreis (1954, 1955) vaBernard Malgrange (1955–1956).

Bu degani differentsial tenglama

${ displaystyle P chap ({ frac { qismli} { qisman x_ {1}}}, ldots, { frac { qismli} { qismli x _ { ell}}} o'ng) u ( mathbf {x}) = delta ( mathbf {x}),}$

qayerda P bir nechta o'zgaruvchilardagi polinom va δ bo'ladi Dirac delta funktsiyasi, bor tarqatish yechim siz. Buni ko'rsatish uchun foydalanish mumkin

${ displaystyle P chap ({ frac { qismli} { qisman x_ {1}}}, ldots, { frac { qismli} { qismli x _ { ell}}} o'ng) u ( mathbf {x}) = f ( mathbf {x})}$

har qanday ixcham qo'llab-quvvatlanadigan tarqatish uchun echimga ega f. Yechim umuman noyob emas.

Koeffitsientlari polinomlar (doimiylardan ko'ra) bo'lgan differentsial operatorlar uchun analog yolg'on: qarang Lyuning misoli.

Isbot

Malgrange va Ehrenpreisning asl dalillari ular foydalanganda konstruktiv bo'lmagan Xaxn-Banax teoremasi. O'shandan beri bir nechta konstruktiv dalillar topildi.

Fourier konvertatsiyasi va ning yordamida juda qisqa dalil mavjud Bernshteyn-Sato polinomiyasi, quyidagicha. Qabul qilish orqali Furye o'zgarishi Malgrange-Erenpreis teoremasi har bir nolga teng bo'lmagan polinomga teng P taqsimotning teskari tomoniga ega. O'zgartirish bilan P uning murakkab konjugati bilan mahsulot tomonidan, buni ham taxmin qilish mumkin P manfiy emas. Salbiy bo'lmagan polinomlar uchun P taqsimlash teskari holati Bernshteyn-Sato polinomining mavjudligidan kelib chiqadi, bu shuni anglatadi P^s kompleks o'zgaruvchining meromorfik taqsimot-baholanadigan funktsiyasi sifatida analitik ravishda davom ettirilishi mumkin s; Loran kengayishining doimiy muddati P^s da s = -1 keyin taqsimotga teskari bo'ladi P.

Ko'pincha eritmaning o'sishiga yaxshi chegaralar beradigan boshqa dalillar keltirilgan (Hörmander 1983a, Teorema 7.3.10), (Reed & Simon 1975 yil, Teorema IX.23, p. 48) va (Rosay 1991 yil).(Hörmander 1983b, 10-bob) asosiy echimlarning muntazamlik xususiyatlari haqida batafsil ma'lumot beradi.

Qisqa konstruktiv dalil (Vagner 2009 yil, Taklif 1, p. 458):

${ displaystyle E = { frac {1} { overline {P_ {m} (2 eta)}}} sum _ {j = 0} ^ {m} a_ {j} e ^ { lambda _ { j} eta x} { mathcal {F}} _ { xi} ^ {- 1} left ({ frac { overline {P (i xi + lambda _ {j} eta)}} {P (i xi + lambda _ {j} eta)}} o'ng)}$

ning asosiy echimi P(∂), ya'ni, P(∂)E = δ, agar P_m ning asosiy qismi hisoblanadi P, η ∈ Rⁿ bilan P_m(η) ≠ 0, haqiqiy sonlar λ₀, ..., λ_m juftlik bilan farq qiladi va

${ displaystyle a_ {j} = prod _ {k = 0, k neq j} ^ {m} ( lambda _ {j} - lambda _ {k}) ^ {- 1}.}$

Adabiyotlar

• Erenpreis, Leon (1954), "Bo'linishning ba'zi masalalarini hal qilish. I. Derivatsiya polinomiga bo'linish.", Amer. J. Matematik., 76 (4): 883–903, doi:10.2307/2372662, JSTOR 2372662, JANOB 0068123
• Erenpreis, Leon (1955), "Bo'linishning ba'zi muammolarini hal qilish. II. O'z vaqtida taqsimlash bo'yicha bo'linish", Amer. J. Matematik., 77 (2): 286–292, doi:10.2307/2372532, JSTOR 2372532, JANOB 0070048
• Xörmander, L. (1983a), I chiziqli qisman differentsial operatorlarning tahlili, Grundl. Matematika. Vissensxaft., 256, Springer, doi:10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 978-3-540-12104-6, JANOB 0717035
• Xörmander, L. (1983b), Lineer qisman differentsial operatorlarning tahlili II, Grundl. Matematika. Vissensxaft., 257, Springer, doi:10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 978-3-540-12139-8, JANOB 0705278
• Malgrange, Bernard (1955-1956), "Mavjudlik va taxminiylik echimlari des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution", Annales de l'Institut Fourier, 6: 271–355, doi:10.5802 / aif.65, JANOB 0086990
• Rid, Maykl; Simon, Barri (1975), Zamonaviy matematik fizika metodikasi. II. Furye tahlili, o'zini o'zi birlashtirish, Nyu-York-London: Academic Press Harcourt Brace Jovanovich, nashriyotlar, xv + 361-bet, ISBN 978-0-12-585002-5, JANOB 0493420
• Rozay, Jan-Per (1991), "Malgrange-Ehrenpreis teoremasining juda oddiy isboti", Amer. Matematika. Oylik, 98 (6): 518–523, doi:10.2307/2324871, JSTOR 2324871, JANOB 1109574
• Rozay, Jan-Per (2001) [1994], "Malgrange-Erenpreis teoremasi", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press
• Vagner, Piter (2009), "Malgrange-Erenpreis teoremasining yangi konstruktiv isboti", Amer. Matematika. Oylik, 116 (5): 457–462, CiteSeerX 10.1.1.488.6651, doi:10.4169 / 193009709X470362, JANOB 2510844