WikiDer > Furye konvertatsiyasi

Yilda matematika, a Furye konvertatsiyasi (FT) a matematik o'zgarish parchalanadigan a funktsiya (ko'pincha a vaqtning funktsiyasiyoki a signal) uning tarkibiga kiradi chastotalar, masalan, musiqiy asarni ifodalash akkord uning tarkibiy notalari hajmi va chastotalari bo'yicha. Atama Furye konvertatsiyasi ikkalasiga ham tegishli chastota domeni vakillik va matematik operatsiya chastota domenini vakolatini vaqt funktsiyasi bilan bog'laydigan.

Vaqt funktsiyasining Furye konvertatsiyasi a murakkab qiymatli funktsiya kattaligi (mutlaq qiymat) asl funktsiyasida mavjud bo'lgan va shu kimning chastotasi miqdorini ifodalaydi dalil bo'ladi fazani almashtirish asosiy sinusoid shu chastotada. Furye konvertatsiyasi vaqt funktsiyalari bilan cheklanib qolmaydi, lekin domen asl funktsiyani odatda vaqt domeni. Bundan tashqari teskari Furye konvertatsiyasi tomonidan tasdiqlanganidek, asl funktsiyani chastota domenidan matematik tarzda sintez qiladi Furye inversiya teoremasi.

${ displaystyle scriptstyle f (t)}$

${ displaystyle scriptstyle { hat {f}} ( omega)}$

${ displaystyle scriptstyle g (t)}$

${ displaystyle scriptstyle { hat {g}} ( omega)}$

${ displaystyle scriptstyle t}$

${ displaystyle scriptstyle omega}$

${ displaystyle scriptstyle t}$

${ displaystyle scriptstyle omega}$

Yuqori satrda. Ning grafigi joylashgan birlik pulsi funktsiya f (t) va uning Fourier konvertatsiyasi f̂ (ω), chastota funktsiyasi ω. Vaqt domenidagi tarjima (ya'ni kechikish) chastota sohasidagi murakkab o'zgarishlar siljishi sifatida talqin etiladi. Ikkinchi qatorda ko'rsatilgan g(t), Furye konvertatsiyasining haqiqiy va xayoliy qismlari yonida kechiktirilgan birlik pulsi. Furye konvertatsiyasi funktsiyani tarjimalar guruhining o'ziga xos funktsiyalariga aylantiradi. Ning xayoliy qismi ĝ (ω) inkor qilinadi, chunki Fourier konvertatsiyasida manfiy belgi ko'rsatkichi ishlatilgan, bu Fourier seriyasidan kelib chiqqan holda sukut bo'yicha, ammo bu belgi teskari aylanmaydigan transformatsiya uchun ahamiyatli emas.

Bitta domenda (vaqt yoki chastota) bajarilgan chiziqli operatsiyalar boshqa sohada tegishli operatsiyalarga ega, ba'zida ularni bajarish osonroq bo'ladi. Ning ishlashi farqlash vaqt domenida chastotani ko'paytirishga to'g'ri keladi,^[1-izoh] shuning uchun ba'zi differentsial tenglamalar chastota domenida tahlil qilish osonroq. Shuningdek, konversiya vaqt domenida chastota domenidagi oddiy ko'payishga to'g'ri keladi (qarang Konvolyutsiya teoremasi). Kerakli operatsiyalarni bajargandan so'ng, natijani vaqt sohasiga qaytarish mumkin. Harmonik tahlil chastota va vaqt sohalari o'rtasidagi munosabatlarni, shu jumladan u yoki bu "sodda" funktsiyalar yoki operatsiyalar turlarini o'z ichiga olgan va zamonaviy matematikaning ko'plab sohalari bilan chuqur aloqalarni muntazam ravishda o'rganishdir.

Vaqt domenida joylashgan funktsiyalar chastotalar domeni bo'ylab tarqaladigan Fourier transformatsiyasiga ega va aksincha, bu hodisa noaniqlik printsipi. The tanqidiy bu printsip uchun holat Gauss funktsiyasi, juda muhim ahamiyatga ega ehtimollik nazariyasi va statistika shuningdek, jismoniy hodisalarni namoyish etishda o'rganishda normal taqsimot (masalan, diffuziya). Gauss funktsiyasining Furye konvertatsiyasi yana bir Gauss funktsiyasidir. Jozef Furye o'zgarishini uning ishida joriy qildi issiqlik uzatish, bu erda Gauss funktsiyalari issiqlik tenglamasi.

Furye konvertatsiyasini rasmiy ravishda an deb belgilash mumkin noto'g'ri Riemann integrali, buni qilish integral transformatsiya, garchi ushbu ta'rif yanada murakkab integratsiya nazariyasini talab qiladigan ko'plab dasturlarga mos kelmasa ham.^[2-izoh] Masalan, nisbatan ko'p oddiy dasturlarda Dirac delta funktsiyasi, bu rasmiy ravishda xuddi funktsiya kabi muomala qilishi mumkin, ammo asoslash uchun matematik jihatdan yanada murakkab nuqtai nazar kerak.^[3-eslatma] Furye konvertatsiyasi, shuningdek, funktsiyasini yuborib, Evklid fazosidagi bir nechta o'zgaruvchilar funktsiyalariga umumlashtirilishi mumkin 3 o'lchovli funktsiyasiga 'joy oralig'i' 3 o'lchovli impuls (yoki bo'shliq va vaqt funktsiyasi funktsiyasiga 4 momentum). Ushbu g'oya fazoviy Fyureni to'lqinlarni o'rganishda ham tabiiy ravishda o'zgartiradi kvant mexanikasi, bu erda to'lqinli echimlarni pozitsiya yoki impulsning funktsiyalari va ba'zan ikkalasining funktsiyalari sifatida namoyish etish muhimdir. Umuman olganda, Furye usullari qo'llaniladigan funktsiyalar murakkab baholanadi va ehtimol vektorli.^[4-eslatma] Funktsiyalarni yanada umumlashtirish mumkin guruhlar, bu asl Fourier-dan tashqari ℝ yoki ℝⁿ (qo'shimcha ostida guruh sifatida qaraladi), xususan quyidagilarni o'z ichiga oladi diskret vaqtdagi Furye konvertatsiyasi (DTFT, guruh = ℤ), the diskret Furye konvertatsiyasi (DFT, guruh = ℤ mod N) va Fourier seriyasi yoki dumaloq Furye konvertatsiyasi (guruh = S¹, birlik doira end so'nggi nuqtalar aniqlangan yopiq cheklangan interval). Ikkinchisi muntazam ravishda ishlaydi davriy funktsiyalar. The tez Fourier konvertatsiyasi (FFT) - bu DFTni hisoblash algoritmi.

Ta'rif

Funktsiyaning Fourier konvertatsiyasi f an'anaviy ravishda belgilanadi ${ displaystyle { hat {f}}}$, qo'shib sirkumfleks funktsiya belgisiga. Bir nechtasi bor umumiy konvensiyalar ning Fourier konvertatsiyasini aniqlash uchun integral funktsiya ${ displaystyle f: mathbb {R} to mathbb {C}}$.^[1][2] Ulardan biri

${ displaystyle { hat {f}} ( xi) = int _ {- infty} ^ { infty} f (x) e ^ {- 2 pi ix xi} , dx,}$

(Tenglama 1)

har qanday kishi uchun haqiqiy raqam ξ.

Ko'rsatkichdagi manfiy belgining sababi uning ichida keng tarqalganligidir elektrotexnika ga vakillik qilishtomonidan ${ displaystyle f (x) = e ^ {2 pi i xi _ {0} x}}$ nol boshlang'ich faza va chastotali signal ${ displaystyle xi _ {0}.}$^{[3][5-eslatma]} Salbiy belgi konvensiyasi mahsulotni keltirib chiqaradi ${ displaystyle e ^ {2 pi i xi _ {0} x} e ^ {- 2 pi i xi x}}$ qachon 1 (chastota nol) bo'ladi ${ displaystyle xi = xi _ {0},}$ ajralmaslikka olib keladi. Natijada a Dirac delta funktsiyasi da ${ displaystyle xi = xi _ {0}}$, ning yagona chastota komponenti bo'lgan sinusoidal signal ${ displaystyle e ^ {2 pi i xi _ {0} x}.}$

Qachon mustaqil o'zgaruvchi x ifodalaydi vaqt, o'zgaruvchan o'zgaruvchi ξ ifodalaydi chastota (masalan, vaqt soniya bilan o'lchanadigan bo'lsa, u holda chastota gerts). Muvofiq sharoitlarda, f tomonidan belgilanadi ${ displaystyle { hat {f}}}$ teskari konvertatsiya orqali:

${ displaystyle f (x) = int _ {- infty} ^ { infty} { hat {f}} ( xi) e ^ {2 pi ix xi} , d xi,}$

(Ikkinchi tenglama)

har qanday haqiqiy raqam uchunx.

Bu bayonot f dan qayta tiklanishi mumkin ${ displaystyle { hat {f}}}$ nomi bilan tanilgan Furye inversiya teoremasiva birinchi marta kiritilgan Furye Issiqlikning analitik nazariyasi,^[4][5] zamonaviy me'yorlar bo'yicha dalil deb hisoblanadigan narsa juda kechgacha berilmagan.^[6][7] Vazifalar f va ${ displaystyle { hat {f}}}$ ko'pincha a deb nomlanadi Fourier integral juftligi yoki Fourier transform juftligi.^[8]

Boshqa umumiy konvensiyalar va ko'rsatmalar uchun, shu jumladan burchak chastotasi ω o'rniga chastota ξ, qarang Boshqa anjumanlar va Boshqa yozuvlar quyida. The Evklid fazosidagi Fourier konvertatsiyasi o'zgaruvchiga ega bo'lgan alohida muomala qilinadi x ko'pincha pozitsiyani va ifodalaydi ξ impuls. Ushbu maqolada tanlangan anjumanlar quyidagilardan iborat harmonik tahlilva Furye konvertatsiyasi ikkalasi bo'ladigan noyob konvensiyalar sifatida tavsiflanadi unitar kuni L² va algebra homomorfizmi L¹ ga L^∞, Lebesgue o'lchovini normalizatsiya qilmasdan.^[9]

Furye konvertatsiyasining boshqa ko'plab xarakteristikalari mavjud. Masalan, Stoun-fon Neyman teoremasi: Furye konvertatsiyasi noyob yagona intertwiner ning simpektik va Evklid Shredinger vakolatxonalari uchun Heisenberg guruhi.

Tarix

1822 yilda, Jozef Furye ba'zi funktsiyalarni harmonikaning cheksiz yig'indisi sifatida yozish mumkinligini ko'rsatdi.^[10]

Kirish

Animatsiyaning birinchi kadrlarida funktsiya f Fourier seriyasida hal qilingan: sinuslar va kosinuslarning chiziqli birikmasi (ko'k rangda). Ushbu sinuslar va kosinuslarning chastota chastotalari chastota spektri bo'ylab tarqaladi, chastota domenidagi tepaliklar sifatida ifodalanadi (aslida Dirac delta funktsiyalari, animatsiyaning so'nggi kadrlarida ko'rsatilgan). Funktsiyaning chastota domen vakili, f̂, bu tepaliklarning funktsiyalarning ushbu piksellar sonida paydo bo'ladigan chastotalar to'plamidir.

Furye konvertatsiyasining bir turtki o'rganish natijasida kelib chiqadi Fourier seriyasi. Furye qatorlarini o'rganishda murakkab, ammo davriy funktsiyalar matematik tarzda ifodalangan oddiy to'lqinlar yig'indisi sifatida yoziladi sinuslar va kosinuslar. Furye konvertatsiyasi - bu Furye qatorining kengaytmasi bo'lib, u ifodalangan funktsiya davri uzaytirilganda va unga yaqinlashishga ruxsat beriladi. cheksizlik.^[11]

Sinus va kosinusning xossalari tufayli har bir to'lqin amplitudasini integral yordamida Furye seriyasida tiklash mumkin. Ko'pgina hollarda foydalanish maqsadga muvofiqdir Eyler formulasi, deb ta'kidlaydi e^2πiθ = cos (2πθ) + men gunoh (2πθ), Fourier seriyasini asosiy to'lqinlar bo'yicha yozish e^2πiθ. Bu ko'plab formulalarni soddalashtirishning afzalliklariga ega va Fourier seriyasining ushbu maqolada keltirilgan ta'rifga ko'proq o'xshash formulasini taqdim etadi. Sinuslar va kosinuslarni qayta yozish murakkab eksponentlar Furye koeffitsientlarini kompleks baholashni talab qiladi. Ushbu murakkab sonning odatiy talqini shundaki, u ikkalasini ham beradi amplituda funktsiyasida mavjud bo'lgan to'lqinning (yoki kattaligi) va bosqich (yoki dastlabki burchak) to'lqin. Ushbu murakkab eksponentlar ba'zida salbiy "chastotalarni" o'z ichiga oladi. Agar θ soniyalarda, so'ngra to'lqinlarda o'lchanadi e^2πiθ va e^−2πiθ ikkalasi ham sekundiga bitta tsiklni tugatadi, ammo ular Furye konvertatsiyasidagi turli chastotalarni aks ettiradi. Demak, chastota endi birlik vaqtidagi tsikllar sonini o'lchamaydi, lekin baribir chambarchas bog'liqdir.

Furye seriyasining ta'rifi va funktsiyalar uchun Furye konvertatsiyasi o'rtasida yaqin bog'liqlik mavjud f intervaldan tashqarida nolga teng. Bunday funktsiya uchun biz uning Fourier seriyasini qaerdagi nuqtalarni o'z ichiga olgan har qanday oraliqda hisoblashimiz mumkin f bir xil nolga teng emas. Bunday funktsiya uchun Fourier konvertatsiyasi ham aniqlangan. Furye qatorini hisoblagan interval uzunligini oshirsak, u holda Furye seriyali koeffitsientlari Furye konvertatsiyasiga va Fourier seriyasining yig'indisiga o'xshay boshlaydi. f teskari Furye transformatsiyasiga o'xshay boshlaydi. Aniqroq aytaylik T intervalgacha etarlicha katta [−T/2, T/2] qaysi intervalni o'z ichiga oladi f bir xil nolga teng emas. Keyin nketma-ketlik koeffitsienti v_n tomonidan berilgan:

${ displaystyle c_ {n} = { frac {1} {T}} int _ {- { frac {T} {2}}} ^ { frac {T} {2}} f (x) , e ^ {- 2 pi i chap ({ frac {n} {T}} o'ng) x} , dx.}$

Buni Furye konvertatsiyasining ta'rifi bilan taqqoslaganda, quyidagilar kelib chiqadi:

${ displaystyle c_ {n} = { frac {1} {T}} { hat {f}} chap ({ frac {n} {T}} o'ng)}$

beri f (x) tashqarida nolga teng [−T/2, T/2]. Shunday qilib, Furye koeffitsientlari kenglik panjarasida namuna olingan Furye konvertatsiyasining qiymatlariga teng 1/T, panjara kengligi bilan ko'paytiriladi 1/T.

Tegishli sharoitlarda, Fourier seriyali f funktsiyaga teng bo'ladi f. Boshqa so'zlar bilan aytganda, f yozilishi mumkin:

${ displaystyle f (x) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} c_ {n} , e ^ {2 pi i chap ({ frac {n} {T}} o'ng) x} = sum _ {n = - infty} ^ { infty} { hat {f}} ( xi _ {n}) e ^ {2 pi i xi _ {n} x } Delta xi,}$

bu erda oxirgi yig'indisi ta'riflar yordamida qayta yozilgan birinchi summa ξ_n = n/Tva Δξ = n + 1/T − n/T = 1/T.

Ushbu ikkinchi sum a Riman summasi. Ruxsat berish orqali T → ∞ u yuqoridagi kabi teskari Furye konvertatsiyasi uchun integralga yaqinlashadi. Tegishli sharoitlarda ushbu dalil aniq bo'lishi mumkin.^[12]

Furye qatorlarini o'rganishda raqamlar v_n ning Fourier seriyasida mavjud bo'lgan to'lqinning "miqdori" deb o'ylash mumkin edi f. Xuddi shunday, yuqorida ko'rib o'tilganidek, Furye konvertatsiyasi bizning funktsiyamizda har bir individual chastotaning qancha miqdorini o'lchaydigan funktsiya deb qaralishi mumkin. f, va biz asl funktsiyani ko'paytirish uchun integral (yoki "uzluksiz yig'indisi") yordamida bu to'lqinlarni birlashtira olamiz.

Misol

Quyidagi rasmlarda Fourier konvertatsiya qilishning muayyan funktsiyada chastota mavjudligini qanday o'lchashini ingl. Tasvirlangan funktsiya f (t) = cos (6πt) e^−πt2 3 da tebranadiHz (agar t soniyani o'lchaydi) va tezda 0 ga intiladi (bu tenglamadagi ikkinchi omil an konvert funktsiyasi uzluksiz sinusoidni qisqa pulsga aylantiradi. Uning umumiy shakli a Gauss funktsiyasi). Ushbu funktsiya osongina chizilgan bo'lishi mumkin bo'lgan haqiqiy Furye konvertatsiyasiga ega bo'lish uchun maxsus tanlangan. Birinchi rasmda uning grafigi mavjud. Hisoblash uchun ${ displaystyle { hat {f}} (3)}$ biz birlashishimiz kerak e^{−2πmen(3t)}f (t). Ikkinchi rasmda ushbu funktsiyaning haqiqiy va xayoliy qismlari syujeti ko'rsatilgan. Integandning haqiqiy qismi deyarli har doim ijobiy bo'ladi, chunki qachon f (t) manfiy, haqiqiy qismi e^{−2πmen(3t)} salbiy ham. Chunki ular qachon, qachon bir xil tezlikda tebranadi f (t) ijobiy, shuning uchun ham haqiqiy qismi e^{−2πmen(3t)}. Natijada, integralning haqiqiy qismini birlashtirganda siz nisbatan katta songa ega bo'lasiz (bu holda) 1/2). Boshqa tomondan, mavjud bo'lmagan chastotani o'lchashga urinayotganda, biz ko'rib turganimizdek ${ displaystyle { hat {f}} (5)}$, siz ushbu funktsiyaning haqiqiy va xayoliy tarkibiy qismlarining uchinchi rasmda tasvirlangan ijobiy va salbiy qiymatlari o'rtasida tez o'zgarib turishini ko'rasiz. Shuning uchun, bu holda integral juda tez tebranadi, shunda integral juda kichik bo'ladi va shu chastota uchun Fyurey konvertatsiyasi qiymati deyarli nolga teng bo'ladi.

Umumiy vaziyat bunga qaraganda biroz murakkabroq bo'lishi mumkin, ammo bu Furye konvertatsiyasi funktsiyada individual chastotaning qancha bo'lishini o'lchash ma'nosida. f (t).

• 

  3 Gts tebranishini ko'rsatadigan asl funktsiya.

• 

  Fourier transformatsiyasi uchun integralning haqiqiy va xayoliy qismlari 3 Hz

• 

  Fourier transformatsiyasi uchun integralning haqiqiy va xayoliy qismlari 5 Hz

• 

  Furye konvertatsiyasining kattaligi, 3 va 5 Gts yorliqli.

Furye konvertatsiyasining xususiyatlari

Bu erda biz taxmin qilamiz f (x), g(x) va h(x) bor integral funktsiyalar: Lebesgni o'lchash mumkin qoniqarli haqiqiy chiziqda:

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} | f (x) | , dx < infty.}$

Ushbu funktsiyalarning Furye o'zgarishini quyidagicha belgilaymiz f̂ (ξ), ĝ(ξ) va ĥ(ξ) navbati bilan.

Asosiy xususiyatlar

Furye konvertatsiyasi quyidagi asosiy xususiyatlarga ega:^[13]

Lineerlik

Har qanday kishi uchun murakkab sonlar a va b, agar h(x) = af (x) + bg(x), keyin ĥ(ξ) = a · f̂ (ξ) + b · ĝ(ξ).

Tarjima / vaqtni almashtirish

Vaqt o'zgargan signalning Fourier Transformatsiyasini ko'rsatuvchi animatsiya. [Yuqori] asl signal (sariq), doimiy ravishda vaqt o'zgaradi (ko'k). [Pastki] Vaqt o'zgargan signalning natijasi Furye transformatsiyasi. Yuqori chastotali komponentlar quyi chastotali komponentlarga qaraganda murakkab tekislikda qanday tezroq aylanishiga e'tibor bering

Har qanday kishi uchun haqiqiy raqam x₀, agar h(x) = f (x − x₀), keyin ĥ(ξ) = e^{−2πix₀ξ} f̂ (ξ).

Modulyatsiya / chastotani almashtirish

Har qanday kishi uchun haqiqiy raqam ξ₀, agar h(x) = e^2πixξ₀ f (x), keyin ĥ(ξ) = f̂ (ξ − ξ₀).

Vaqtni o'lchash

Nolga teng bo'lmagan uchun haqiqiy raqam a, agar h(x) = f (bolta), keyin

${ displaystyle { hat {h}} ( xi) = { frac {1} {| a |}} { hat {f}} chap ({ frac { xi} {a}} o'ng ).}$

Ish a = −1 ga olib keladi vaqtni qaytarish mulk, unda quyidagilar ko'rsatilgan: agar h(x) = f (−x), keyin ĥ(ξ) = f̂ (−ξ).

Konjugatsiya

Agar h(x) = f (x), keyin

${ displaystyle { hat {h}} ( xi) = { overline {{ hat {f}} (- xi)}}.}$

Xususan, agar f haqiqiy bo'lsa, unda bitta haqiqat holati

${ displaystyle { hat {f}} (- xi) = { overline {{ hat {f}} ( xi)}},}$

anavi, f̂ a Ermit vazifasi. Va agar f sof xayoliy

${ displaystyle { hat {f}} (- xi) = - { overline {{ hat {f}} ( xi)}}.}$

Vaqtdagi haqiqiy va xayoliy qism

• Agar ${ displaystyle h (x) = Re {(f (x))}}$, keyin ${ displaystyle { hat {h}} ( xi) = { frac {1} {2}} chap ({ hat {f}} ( xi) + { overline {{ hat {f}) } (- xi)}} o'ng)}$.
• Agar ${ displaystyle h (x) = Im {(f (x))}}$, keyin ${ displaystyle { hat {h}} ( xi) = { frac {1} {2i}} chap ({ hat {f}} ( xi) - { overline {{ hat {f}) } (- xi)}} o'ng)}$.

Integratsiya

O'zgartirish ξ = 0 ta'rifda biz olamiz

${ displaystyle { hat {f}} (0) = int _ {- infty} ^ { infty} f (x) , dx.}$

Ya'ni, Furye konvertatsiyasini kelib chiqishi bo'yicha baholash (ξ = 0) ning integraliga teng f uning barcha domeni orqali.

Qaytaruvchanlik va davriylik

Funktsiya bo'yicha mos sharoitlarda f, uni Fourier konvertatsiyasidan tiklash mumkin ${ displaystyle { hat {f}}}$. Darhaqiqat, Furye transformator operatorini F, shuning uchun F( f ) := f̂, keyin mos funktsiyalar uchun Fourier konvertatsiyasini ikki marta qo'llash funktsiyani aylantiradi: F²( f )(x) = f (−x), bu "vaqtni orqaga qaytarish" deb talqin qilinishi mumkin. Vaqtni orqaga qaytarish ikki davriy bo'lgani uchun, buni ikki marta qo'llash hosil beradi F⁴( f ) = f, shuning uchun Fourier transformatori to'rt davriydir va shunga o'xshash teskari Fourier transformatsiyasini Fourier transformatsiyasini uch marta qo'llash orqali olish mumkin: F³( f̂ ) = f. Xususan, Furye konvertatsiyasi o'zgaruvchan (mos sharoitlarda).

Aniqrog'i, paritet operatori P vaqtni teskari yo'naltiradi, P[ f ] : t ↦ f (−t):

${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {F}} ^ {0} & = mathrm {Id}, quad { mathcal {F}} ^ {1} = { mathcal {F}}, { mathcal {F}} ^ {2} & = { mathcal {P}}, quad { mathcal {F}} ^ {3} = { mathcal {F}} ^ {- 1} = { mathcal {P}} circ { mathcal {F}} = { mathcal {F}} circ { mathcal {P}}, { mathcal {F}} ^ {4} & = mathrm {Id} end {aligned}}}$

Operatorlarning bu tengliklari, ko'rib chiqilayotgan funktsiyalar maydonini aniq belgilashni, funktsiyalar tengligini belgilashni talab qiladi (har bir nuqtadagi tenglik? Tenglik deyarli hamma joyda?) va operatorlarning tengligini aniqlash - ya'ni ko'rib chiqilayotgan funktsiya maydoni va operatorlar maydoni bo'yicha topologiyani aniqlash. Bular barcha funktsiyalar uchun to'g'ri emas, lekin har xil shakllarning mazmuni bo'lgan har xil sharoitlarda to'g'ri keladi Furye inversiya teoremasi.

Furye konvertatsiyasining bu to'rt karra davriyligi tekislikning 90 ° ga aylanishiga o'xshaydi, ayniqsa, ikki marta takrorlash orqaga qaytishni keltirib chiqaradi va aslida bu o'xshashlikni aniq qilish mumkin. Fourier konvertatsiyasi oddiygina vaqt domenini va chastota domenini almashtirish deb talqin qilinishi mumkin bo'lsa, teskari Fourier konvertatsiyasi ularni orqaga burish bilan, geometrik jihatdan uni 90 ° ga aylanish deb talqin qilish mumkin vaqt chastotasi domeni (vaqtni x-aksis va chastota y-axis), va Furye konvertatsiyasini ga umumlashtirish mumkin kasrli Furye konvertatsiyasi, bu boshqa burchaklar bo'yicha aylanishlarni o'z ichiga oladi. Buni yanada umumlashtirish mumkin chiziqli kanonik o'zgarishlar, ning harakati sifatida tasavvur qilish mumkin maxsus chiziqli guruh SL₂(ℝ) ga mos keladigan saqlanib qolgan simpektik shaklga ega bo'lgan vaqt-chastota tekisligida noaniqlik printsipi, quyida. Ushbu yondashuv ayniqsa o'rganilgan signallarni qayta ishlash, ostida vaqt-chastota tahlili.

Birlik va ikkilik

Matematikada ko'pincha biron bir birlikni ikkita o'zgaruvchiga biriktirilgan deb o'ylamaydilar t va ξ. Ammo jismoniy dasturlarda, ξ birliklariga teskari birliklarga ega bo'lishi kerak t. Masalan, agar t soniyalar bilan o'lchanadi, ξformulalar haqiqiy bo'lishi uchun sekundiga tsikllarda bo'lishi kerak. Agar miqyosi t o'zgartirildi va t 2 birliklari bilan o'lchanadiπ soniya, keyin ham ξ "deb nomlangan joyda bo'lishi kerakburchak chastotasi", yoki ba'zi bir formulalarga doimiy koeffitsientni kiritish kerak. Agar t uzunlik birligi bilan o'lchanadi, keyin ξ teskari uzunlikda bo'lishi kerak, masalan, gullar. Ya'ni, haqiqiy chiziqning ikkita nusxasi mavjud: bitta birlik to'plamida o'lchangan, qaerda t intervalgacha, ikkinchisi esa teskari birliklarga tva bu oraliq ξ. Shunday qilib, bu haqiqiy chiziqning ikkita alohida nusxasi va ularni bir-biri bilan aniqlash mumkin emas. Shuning uchun Furye konvertatsiyasi funktsiyalarning bir fazosidan boshqa funktsiyalar makoniga o'tadi: boshqa aniqlanish sohasiga ega funktsiyalar.

Umuman, ξ har doim a bo'lishi kerak chiziqli shakl makonida ts, ya'ni ikkinchi haqiqiy chiziq bu er-xotin bo'shliq birinchi haqiqiy chiziq. Maqolaga qarang chiziqli algebra rasmiyroq tushuntirish va tafsilotlar uchun. Ushbu nuqtai nazar Fyureni umumiyga aylantirishni umumlashtirishda muhim ahamiyat kasb etadi simmetriya guruhlari, shu jumladan Furye seriyasining ishi.

Furye konvertatsiyasida ishtirok etgan haqiqiy chiziqning ikki nusxasini taqqoslash uchun hech kimga ma'qul usul yo'qligi (ko'pincha, "kanonik yo'l yo'q" deyish mumkin) - birliklarni bitta chiziqqa mahkamlash birliklar miqyosini majbur qilmaydi boshqa satr - Furye konvertatsiyasini aniqlash bo'yicha raqib konventsiyalarining ko'pligi uchun sababdir. Turli xil birliklarni tanlash natijasida kelib chiqadigan turli xil ta'riflar har xil konstantalar bilan farq qiladi. Agar birliklari t soniyalarda, lekin birliklari ξ burchak chastotasida, keyin burchak chastotasi o'zgaruvchisi ko'pincha bir yoki boshqa yunoncha harf bilan belgilanadi, masalan, ω = 2πξ juda keng tarqalgan. Shunday qilib (yozuv x̂₁ muqobil ta'rifi uchun va x̂ ushbu maqolada qabul qilingan ta'rif uchun)

${ displaystyle { hat {x}} _ {1} ( omega) = { hat {x}} chap ({ frac { omega} {2 pi}} right) = int _ { - infty} ^ { infty} x (t) e ^ {- i omega t} , dt}$

avvalgidek, ammo keyinchalik tegishli alternativ inversiya formulasi bo'lishi kerak edi

${ displaystyle x (t) = { frac {1} {2 pi}} int _ {- infty} ^ { infty} { hat {x}} _ {1} ( omega) e ^ {it omega} , d omega.}$

Burchak chastotasini o'z ichiga olgan narsaga ega bo'lish uchun, lekin Furye konvertatsiyasi va inversiya formulasi o'rtasida katta simmetriya bilan, ko'pincha Furye konvertatsiyasining yana bir muqobil ta'rifini koeffitsient bilan ko'rib chiqamiz. √2π, shunday qilib

${ displaystyle { hat {x}} _ {2} ( omega) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ { infty} x ( t) e ^ {- i omega t} , dt,}$

va mos keladigan inversiya formulasi keyin bo'lishi kerak

${ displaystyle x (t) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ { infty} { hat {x}} _ {2} ( omega) e ^ {it omega} , d omega.}$

FourierTransform buyrug'i tomonidan ishlatiladigan ba'zi bir noodatiy konventsiyalarda Wolfram tili, Fourier konvertatsiyasi mavjud men o'rniga eksponentda −men, va aksincha teskari formulada. Furye konvertatsiyasiga taalluqli ko'pgina identifikatorlar ushbu konventsiyalarda, agar aniq o'z ichiga olgan barcha shartlar mavjud bo'lsa, amal qiladi men uning o'rnini egallash −men.

Masalan, ehtimollar nazariyasida xarakterli funktsiya ϕ ehtimollik zichligi funktsiyasining f tasodifiy o'zgaruvchining X doimiy tip eksponentda salbiy belgisiz va ning birliklaridan aniqlanadi x e'tiborga olinmaydi, 2 yo'qπ yoki:

${ displaystyle phi ( lambda) = int _ {- infty} ^ { infty} f (x) e ^ {i lambda x} , dx.}$

(Ehtimollar nazariyasida va matematik statistikada Furye - Stieltjes konvertatsiyasidan foydalanish afzalroq, chunki juda ko'p tasodifiy o'zgaruvchilar doimiy tipda emas va zichlik funktsiyasiga ega emas va funktsiyalarga emas, balki tarqatish, ya'ni "atomlar" ga ega bo'lgan o'lchovlar.)

Yuqori nuqtai nazardan guruh belgilar, bu juda mavhumroq, bu barcha o'zboshimchalik tanlovlari yo'qoladi, chunki ushbu maqolaning keyingi qismida, funktsiyani Fourier konvertatsiya qilish tushunchasini mahalliy ixcham Abeliya guruhi.

Bir xil uzluksizlik va Riemann-Lebesg lemmasi

The to'rtburchaklar funktsiya bu Lebesgue integral.

The sinc funktsiyasi, bu to'rtburchaklar funktsiyani Furye konvertatsiyasi, chegaralangan va uzluksiz, lekin Lebesgue integrali emas.

Furye konvertatsiyasi ba'zi hollarda integrallanmaydigan funktsiyalar uchun aniqlanishi mumkin, ammo integral funktsiyalarning Furye konvertatsiyalari bir nechta kuchli xususiyatlarga ega.

Furye konvertatsiyasi f̂ har qanday integral funktsiya f bu bir xilda uzluksiz va^[14]

${ displaystyle left | { hat {f}} right | _ { infty} leq left | f right | _ {1}}$

Tomonidan Riemann-Lebesgue lemma,^[15]

${ displaystyle { hat {f}} ( xi) to 0 { text {as}} | xi | to infty.}$

Biroq, ${ displaystyle { hat {f}}}$ birlashtirilishi shart emas. Masalan, ning Fourier konvertatsiyasi to'rtburchaklar funktsiya, bu ajralmas, bu sinc funktsiyasi, bu emas Lebesgue integral, chunki uning noto'g'ri integrallar ga o'xshash harakat qilish o'zgaruvchan harmonik qatorlar, bo'lmasdan yig'indiga aylantirishda mutlaqo yaqinlashuvchi.

Odatda yozish mumkin emas teskari konvertatsiya kabi Lebesg integrali. Biroq, ikkalasi ham qachon f va ${ displaystyle { hat {f}}}$ ajralmas, teskari tenglik

${ displaystyle f (x) = int _ {- infty} ^ { infty} { hat {f}} ( xi) e ^ {2i pi x xi} , d xi}$

ushlab turadi deyarli hamma joyda. Ya'ni, Furye konvertatsiyasi in'ektsion kuni L¹(ℝ). (Ammo agar shunday bo'lsa f doimiy, keyin har birida tenglik bo'ladi x.)

Plancherel teoremasi va Parseval teoremasi

Ruxsat bering f (x) va g(x) birlashtirilishi mumkin va ruxsat bering f̂ (ξ) va ĝ(ξ) ularning Fourier konvertatsiyalari bo'ling. Agar f (x) va g(x) ham kvadrat bilan birlashtirilishi mumkin, keyin Parseval formulasi quyidagicha:^[16]

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} f (x) { overline {g (x)}} , dx = int _ {- infty} ^ { infty} { hat {f}} ( xi) { overline {{ hat {g}} ( xi)}} , d xi,}$

bu erda bar belgilanadi murakkab konjugatsiya.

The Plancherel teoremasiYuqorida aytilganlardan kelib chiqadigan narsa^[17]

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} left | f (x) right | ^ {2} , dx = int _ {- infty} ^ { infty} left | { hat {f}} ( xi) right | ^ {2} , d xi.}$

Plancherel teoremasi Furye konvertatsiyasini uzluksizlik argumenti bilan a ga qadar kengaytirishga imkon beradi unitar operator kuni L²(ℝ). Yoqilgan L¹(ℝ) ∩ L²(ℝ), bu kengaytma aniqlangan Fourier konvertatsiyasiga mos keladi L¹(ℝ)Shunday qilib, Fourier konvertatsiyasining domenini kattalashtirish L¹(ℝ) + L²(ℝ) (va natijada L^p(ℝ) uchun 1 ≤ p ≤ 2). Plancherel teoremasi Furye konvertatsiyasi saqlaydigan fanlarda izohlanadi energiya asl miqdor. Ushbu formulalar terminologiyasi juda standartlashtirilmagan. Parseval teoremasi faqat Furye seriyasida isbotlangan va uni Lyapunov birinchi marta isbotlagan. Ammo Parseval formulasi Furye konvertatsiyasi uchun ham mantiqan to'g'ri keladi va shuning uchun ham Furye konvertatsiyasi doirasida uni Plancherel isbotlagan bo'lsa ham, uni ko'pincha Parseval formulasi yoki Parseval munosabati, hatto Parseval teoremasi deb atashadi.

Qarang Pontryagin ikkilik mahalliy ixcham abeliya guruhlari sharoitida ushbu kontseptsiyani umumiy shakllantirish uchun.

Puasson yig'indisi formulasi

Puasson yig'indisi formulasi (PSF) bu bilan bog'liq bo'lgan tenglama Fourier seriyasi ning koeffitsientlari davriy yig'ish funktsiyani funktsiyaning uzluksiz Furye konvertatsiyasining qiymatlariga. Puasson yig'indisi formulasida aytilganidek, muntazam funktsiyalar uchun f,

${ displaystyle sum _ {n} { hat {f}} (n) = sum _ {n} f (n).}$

Furye konvertatsiyasining masshtablash va vaqtni almashtirish xususiyatlarini qo'llash orqali asosiy shakllardan kelib chiqadigan turli xil foydali shakllarga ega. Formulada muhandislik, fizika va sonlar nazariyasi. Standart Poisson yig'indisi formulasining chastota-domen duali ham deyiladi diskret vaqtdagi Furye konvertatsiyasi.

Puasson summasi odatda davriy muhit fizikasi bilan bog'liq, masalan, aylana bo'ylab issiqlik o'tkazuvchanligi. Issiqlik tenglamasining aylana ustidagi asosiy echimi a deb ataladi teta funktsiyasi. Bu ishlatiladi sonlar nazariyasi ning bir turi bo'lib chiqadigan teta funktsiyalarining transformatsion xususiyatlarini isbotlash modulli shaklva u umuman nazariyasiga bog'liqdir avtomorf shakllar qaerda u bir tomonida paydo bo'ladi Selberg iz formulasi.

Differentsiya

Aytaylik f (x) mutlaqo uzluksiz farqlanadigan funktsiya va ikkalasi ham f va uning hosilasi f ′ birlashtirilishi mumkin. Keyin hosilaning Furye konvertatsiyasi quyidagicha berilgan

${ displaystyle { widehat {f ';}} ( xi) = 2 pi i xi { hat {f}} ( xi).}$

Umuman olganda, ning Fourier konvertatsiyasi nlotin f⁽ⁿ⁾ tomonidan berilgan

${ displaystyle { widehat {f ^ {(n)}}} ( xi) = (2 pi i xi) ^ {n} { hat {f}} ( xi).}$

Furye konvertatsiyasini qo'llagan holda va ushbu formulalardan foydalangan holda, ba'zilari oddiy differentsial tenglamalar echish ancha oson bo'lgan algebraik tenglamalarga aylantirilishi mumkin. Ushbu formulalar ham bosh barmoq qoidasini keltirib chiqaradi "f (x) silliq agar va faqat agar f̂ (ξ) tezda 0 ga tushadi |ξ| → ∞"Teskari Furye konvertatsiyasi uchun o'xshash qoidalardan foydalangan holda, shuni ham aytish mumkin"f (x) tezda 0 ga tushadi |x| → ∞ agar va faqat agar f̂ (ξ) silliq. "

Konvolyutsiya teoremasi

Fourier konvertatsiyasi o'rtasida tarjima qilinadi konversiya va funktsiyalarni ko'paytirish. Agar f (x) va g(x) Fourier transformatsiyalari bilan integral funktsiyalardir f̂ (ξ) va ĝ(ξ) tegishlicha, u holda konvolyutsiyaning Furye konvertatsiyasi Furye konversiyasining hosilasi bilan beriladi f̂ (ξ) va ĝ(ξ) (Furye konvertatsiyasini aniqlash bo'yicha boshqa konventsiyalar bo'yicha doimiy omil paydo bo'lishi mumkin).

Bu shuni anglatadiki, agar:

${ displaystyle h (x) = (f * g) (x) = int _ {- infty} ^ { infty} f (y) g (x-y) , dy,}$

qayerda ∗ konvolyutsiya operatsiyasini bildiradi, keyin:

${ displaystyle { hat {h}} ( xi) = { hat {f}} ( xi) cdot { hat {g}} ( xi).}$

Yilda chiziqli vaqt o'zgarmas (LTI) tizim nazariyasi, talqin qilish odatiy holdir g(x) sifatida impulsli javob kirish bilan LTI tizimining f (x) va chiqish h(x), o'rniga birlik impulsi uchun f (x) hosil h(x) = g(x). Ushbu holatda, ĝ(ξ) ifodalaydi chastotali javob tizimning.

Aksincha, agar f (x) ikkita kvadrat integral funktsiyalar mahsuloti sifatida ajralib chiqishi mumkin p(x) va q(x), keyin Fourier konvertatsiyasi f (x) tegishli Furye konvertatsiyasining konvolusi bilan berilgan p̂(ξ) va q̂(ξ).

O'zaro bog'liqlik teoremasi

Shunga o'xshash tarzda, agar buni ko'rsatsa bo'ladi h(x) bo'ladi o'zaro bog'liqlik ning f (x) va g(x):

${ displaystyle h (x) = (f star g) (x) = int _ {- infty} ^ { infty} { overline {f (y)}} g (x + y) , dy }$

keyin Fourier konvertatsiyasi h(x) bu:

${ displaystyle { hat {h}} ( xi) = { overline {{ hat {f}} ( xi)}} cdot { hat {g}} ( xi).}$

Maxsus holat sifatida avtokorrelyatsiya funktsiyasi f (x) bu:

${ displaystyle h (x) = (f star f) (x) = int _ {- infty} ^ { infty} { overline {f (y)}} f (x + y) , dy }$

buning uchun

${ displaystyle { hat {h}} ( xi) = { overline {{ hat {f}} ( xi)}} { hat {f}} ( xi) = chap | { hat {f}} ( xi) right | ^ {2}.}$

O'ziga xos funktsiyalar

Ortonormal asosning muhim tanlovlaridan biri L²(ℝ) Hermit funktsiyalari bilan berilgan

${ displaystyle psi _ {n} (x) = { frac { sqrt [{4}] {2}} { sqrt {n!}}} e ^ {- pi x ^ {2}} mathrm {He} _ {n} chap (2x { sqrt { pi}} o'ng),}$

qayerda U_n(x) "probabilistlar" Hermit polinomlarisifatida belgilanadi

${ displaystyle mathrm {He} _ {n} (x) = (- 1) ^ {n} e ^ { frac {x ^ {2}} {2}} left ({ frac {d} {) dx}} o'ng) ^ {n} e ^ {- { frac {x ^ {2}} {2}}}}$

Furye konvertatsiyasi bo'yicha ushbu konvensiyaga binoan bizda shunday narsa bor

${ displaystyle { hat { psi}} _ {n} ( xi) = (- i) ^ {n} psi _ {n} ( xi)}$.

Boshqacha qilib aytganda, Hermit funktsiyalari to'liqni tashkil qiladi ortonormal tizimi o'ziga xos funktsiyalar Fourier konvertatsiyasi uchun L²(ℝ).^[13] Biroq, bu o'ziga xos funktsiyalarni tanlash noyob emas. Faqat to'rt xil o'zgacha qiymatlar Fourier konvertatsiyasining (± 1 va ±)men) va o'ziga xos qiymati bir xil bo'lgan xususiy funktsiyalarning har qanday chiziqli birikmasi boshqa o'ziga xos funktsiyani beradi. Buning natijasida parchalanish mumkin L²(ℝ) to'rtta bo'shliqning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi sifatida H₀, H₁, H₂va H₃ bu erda Furye konvertatsiyasi ishlaydi U_k shunchaki tomonidan ko'paytish orqali men^k.

Hermite funktsiyalarining to'liq to'plami identifikatsiyani aniqligini ta'minlaganligi sababli, Furye konvertatsiyasi yuqoridagi xususiy qiymatlar bilan tortilgan atamalarning bunday yig'indisi bilan ifodalanishi mumkin va bu yig'indilar aniq ifodalanishi mumkin. Furye konvertatsiyasini aniqlash uchun ushbu yondashuv birinchi bo'lib amalga oshirildi Norbert Viner.^[18] Boshqa xususiyatlar qatori, Hermite funktsiyalari ham chastota, ham vaqt oralig'ida tez sur'atlarda pasayib boradi va shu bilan ular Furye konvertatsiyasini umumlashtirishni, ya'ni kasrli Furye konvertatsiyasi vaqt chastotasi tahlilida ishlatiladi.^[19] Yilda fizika, ushbu konvertatsiya tomonidan kiritilgan Edvard Kondon.^[20]

Heisenberg guruhi bilan aloqa

The Heisenberg guruhi aniq guruh ning unitar operatorlar ustida Hilbert maydoni L²(ℝ) kvadrat birlashtiriladigan murakkab qiymatli funktsiyalar f tarjimalar tomonidan yaratilgan haqiqiy chiziqda (T_y f )(x) = f (x + y) va tomonidan ko'paytma e^2πixξ, (M_ξ f )(x) = e^2πixξ f (x). Ushbu operatorlar o'zlarining (guruh) kommutatorlari bo'lgani kabi qatnovni amalga oshirmaydilar

${ displaystyle left (M _ { xi} ^ {- 1} T_ {y} ^ {- 1} M _ { xi} T_ {y} f right) (x) = e ^ {2 pi iy xi} f (x)}$

bu doimiyga ko'paytiriladi (ga bog'liq emas x) e^2πiyξ ∈ U(1) (the doira guruhi kompleks modullarning birlik moduli). Abstrakt guruh sifatida Geyzenberg guruhi uch o'lchovli Yolg'on guruh uchtadan (x, ξ, z) ∈ ℝ² × U(1), guruh qonuni bilan

${ displaystyle left (x_ {1}, xi _ {1}, t_ {1} right) cdot left (x_ {2}, xi _ {2}, t_ {2} right) = chap (x_ {1} + x_ {2}, xi _ {1} + xi _ {2}, t_ {1} t_ {2} e ^ {2 pi i left (x_ {1} ) xi _ {1} + x_ {2} xi _ {2} + x_ {1} xi _ {2} right)} right).}$

Heisenberg guruhini belgilang H₁. Yuqoridagi protsedura nafaqat guruh tuzilishini, balki standartni ham tavsiflaydi unitar vakillik ning H₁ biz belgilaydigan Hilbert makonida r : H₁ → B(L²(ℝ)). Ning chiziqli avtomorfizmini aniqlang ℝ² tomonidan

${ displaystyle J { begin {pmatrix} x xi end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} - xi x end {pmatrix}}}$

Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida J² = −Men. Bu J ning noyob avtomorfizmiga qadar kengaytirilishi mumkin H₁:

${ displaystyle j chap (x, xi, t o'ng) = chap (- xi, x, te ^ {- 2 pi ix xi} o'ng).}$

Ga ko'ra Stoun-fon Neyman teoremasi, unitar vakolatxonalar r va r ∘ j bir-biriga tengdir, shuning uchun noyob aralashuvchi mavjud V ∈ U(L²(ℝ)) shu kabi

${ displaystyle rho circ j = W rho W ^ {*}.}$

Ushbu operator V Fourier konvertatsiyasi.

Furye konvertatsiyasining ko'plab standart xususiyatlari bu umumiy ramkaning bevosita natijalaridir.^[21] Masalan, Furye konversiyasining kvadrati, V², bilan bog'liq bo'lgan intertwiner J² = −Menva shuning uchun bizda bor (V²f )(x) = f (−x) asl funktsiyasining aksidir f.

Kompleks domen

The ajralmas Fourier konvertatsiyasi uchun

${ displaystyle { hat {f}} ( xi) = int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- 2 pi i xi t} f (t) , dt}$

uchun o'rganish mumkin murakkab uning argumenti qiymatlari ξ. Xususiyatlariga qarab f, bu haqiqiy o'qdan umuman yaqinlashmasligi yoki a ga yaqinlashishi mumkin murakkab analitik funktsiya ning barcha qiymatlari uchun ξ = σ + iτ, yoki biron bir narsa.^[22]

The Peyli-Viyner teoremasi buni aytadi f silliq (ya'ni, n- barcha musbat butun sonlar uchun farqlanadigan vaqtlar n) va agar shunday bo'lsa, ixcham qo'llab-quvvatlanadi f̂ (σ + iτ) a holomorfik funktsiya buning uchun mavjud bo'lgan a doimiy a > 0 har qanday kishi uchun tamsayı n ≥ 0,

${ displaystyle left vert xi ^ {n} { hat {f}} ( xi) right vert leq Ce ^ {a vert tau vert}}$

ba'zi bir doimiy uchun C. (Ushbu holatda, f yoqilgan [−a, a].) Buni shu bilan ifodalash mumkin f̂ bu butun funktsiya qaysi tez kamayib boradi yilda σ (sobit uchun τ) va eksponent o'sish τ (bir xilda σ).^[23]

(Agar f silliq emas, lekin faqat L², bayonot hanuzgacha taqdim etilgan n = 0.^[24]) A ning bunday funktsiyalarining maydoni murakkab o'zgaruvchi Paley - Wiener maydoni deb nomlanadi. Ushbu teorema yarim sodda qilib umumlashtirildi Yolg'on guruhlar.^[25]

Agar f yarim chiziqda qo'llab-quvvatlanadi t ≥ 0, keyin f "sabab" deb aytiladi, chunki impulsga javob berish funktsiyasi jismonan amalga oshiriladigan filtr ushbu xususiyatga ega bo'lishi kerak, chunki hech qanday ta'sir uning sababidan oldin turolmaydi. Paley va Wiener shunda ko'rsatdi f̂ a ga qadar uzaytiriladi holomorfik funktsiya murakkab pastki yarim tekislikda τ < 0 kabi nolga intiladi τ cheksizlikka boradi.^[26] The converse is false and it is not known how to characterise the Fourier transform of a causal function.^[27]

Laplasning o'zgarishi

The Fourier transform f̂ (ξ) bilan bog'liq Laplasning o'zgarishi F(s), which is also used for the solution of differentsial tenglamalar va ning tahlili filtrlar.

It may happen that a function f for which the Fourier integral does not converge on the real axis at all, nevertheless has a complex Fourier transform defined in some region of the murakkab tekislik.

Masalan, agar f (t) is of exponential growth, i.e.,

${displaystyle vert f(t)vert$

for some constants C, a ≥ 0, keyin^[28]

${displaystyle {hat {f}}(i au )=int _{-infty }^{infty }e^{2pi au t}f(t),dt,}$

convergent for all 2πτ < −a, bo'ladi two-sided Laplace transform ning f.

The more usual version ("one-sided") of the Laplace transform is

${displaystyle F(s)=int _{0}^{infty }f(t)e^{-st},dt.}$

Agar f is also causal, then

${displaystyle {hat {f}}(i au )=F(-2pi au ).}$

Thus, extending the Fourier transform to the complex domain means it includes the Laplace transform as a special case—the case of causal functions—but with the change of variable s = 2πiξ.

Inversiya

Agar f̂ is complex analytic for a ≤ τ ≤ b, keyin

${displaystyle int _{-infty }^{infty }{hat {f}}(sigma +ia)e^{2pi ixi t},dsigma =int _{-infty }^{infty }{hat {f}}(sigma +ib)e^{2pi ixi t},dsigma }$

tomonidan Koshining integral teoremasi. Therefore, the Fourier inversion formula can use integration along different lines, parallel to the real axis.^[29]

Theorem: If f (t) = 0 uchun t < 0va |f (t)| < Ce^a|t| for some constants C, a > 0, keyin

${displaystyle f(t)=int _{-infty }^{infty }{hat {f}}(sigma +i au )e^{2pi ixi t},dsigma ,}$

har qanday kishi uchun τ < −a/2π.

This theorem implies the Mellin inversion formula for the Laplace transformation,^[28]

${displaystyle f(t)={frac {1}{2pi i}}int _{b-iinfty }^{b+iinfty }F(s)e^{st},ds}$

har qanday kishi uchun b > a, qayerda F(s) is the Laplace transform of f (t).

The hypotheses can be weakened, as in the results of Carleman and Hunt, to f (t) e^−da bo'lish L¹, provided that f is of bounded variation in a closed neighborhood of t (qarang Dirichlet-Dini theorem), the value of f da t is taken to be the o'rtacha arifmetik of the left and right limits, and provided that the integrals are taken in the sense of Cauchy principal values.^[30]

L² versions of these inversion formulas are also available.^[31]

Fourier transform on Euclidean space

The Fourier transform can be defined in any arbitrary number of dimensions n. As with the one-dimensional case, there are many conventions. For an integrable function f (x), this article takes the definition:

${displaystyle {hat {f}}({oldsymbol {xi }})={mathcal {F}}(f)({oldsymbol {xi }})=int _{mathbb {R} ^{n}}f(mathbf {x} )e^{-2pi imathbf {x} cdot {oldsymbol {xi }}},dmathbf {x} }$

qayerda x va ξ bor n- o'lchovli vektorlarva x · ξ bo'ladi nuqta mahsuloti of the vectors. Shu bilan bir qatorda, ξ can be viewed as belonging to the ikkilangan vektor maydoni ${displaystyle mathbb {R} ^{nstar }}$, in which case the dot product becomes the qisqarish ning x va ξ, odatda sifatida yoziladi ⟨x, ξ⟩.

All of the basic properties listed above hold for the n-dimensional Fourier transform, as do Plancherel's and Parseval's theorem. When the function is integrable, the Fourier transform is still uniformly continuous and the Riemann-Lebesgue lemma ushlab turadi.^[15]

Noaniqlik printsipi

Generally speaking, the more concentrated f (x) is, the more spread out its Fourier transform f̂ (ξ) must be. In particular, the scaling property of the Fourier transform may be seen as saying: if we squeeze a function in x, its Fourier transform stretches out in ξ. It is not possible to arbitrarily concentrate both a function and its Fourier transform.

The trade-off between the compaction of a function and its Fourier transform can be formalized in the form of an noaniqlik printsipi by viewing a function and its Fourier transform as conjugate variables ga nisbatan simpektik shakl ustida time–frequency domain: from the point of view of the linear canonical transformation, the Fourier transform is rotation by 90° in the time–frequency domain, and preserves the simpektik shakl.

Aytaylik f (x) is an integrable and kvadrat bilan birlashtirilishi mumkin funktsiya. Without loss of generality, assume that f (x) is normalized:

${displaystyle int _{-infty }^{infty }|f(x)|^{2},dx=1.}$

Dan kelib chiqadi Plancherel teoremasi bu f̂ (ξ) is also normalized.

The spread around x = 0 may be measured by the dispersion about zero^[32] tomonidan belgilanadi

${displaystyle D_{0}(f)=int _{-infty }^{infty }x^{2}|f(x)|^{2},dx.}$

In probability terms, this is the ikkinchi lahza ning |f (x)|² about zero.

The uncertainty principle states that, if f (x) is absolutely continuous and the functions x·f (x) va f ′(x) are square integrable, then^[13]

${displaystyle D_{0}(f)D_{0}left({hat {f}} ight)geq {frac {1}{16pi ^{2}}}}$.

The equality is attained only in the case

${displaystyle {egin{aligned}f(x)&=C_{1},e^{-pi {frac {x^{2}}{sigma ^{2}}}} herefore {hat {f}}(xi )&=sigma C_{1},e^{-pi sigma ^{2}xi ^{2}}end{aligned}}}$

qayerda σ > 0 is arbitrary and C₁ = ⁴√2/√σ Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida f bu L²-normalized.^[13] In other words, where f is a (normalized) Gauss funktsiyasi with variance σ², centered at zero, and its Fourier transform is a Gaussian function with variance σ⁻².

In fact, this inequality implies that:

${displaystyle left(int _{-infty }^{infty }(x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2},dx ight)left(int _{-infty }^{infty }(xi -xi _{0})^{2}left|{hat {f}}(xi ) ight|^{2},dxi ight)geq {frac {1}{16pi ^{2}}}}$

har qanday kishi uchun x₀, ξ₀ ∈ ℝ.^[12]

Yilda kvant mexanikasi, momentum va pozitsiyasi to'lqin funktsiyalari are Fourier transform pairs, to within a factor of Plankning doimiysi. With this constant properly taken into account, the inequality above becomes the statement of the Heisenberg noaniqlik printsipi.^[33]

A stronger uncertainty principle is the Hirschman uncertainty principle, which is expressed as:

${displaystyle Hleft(left|f ight|^{2} ight)+Hleft(left|{hat {f}} ight|^{2} ight)geq log left({frac {e}{2}} ight)}$

qayerda H(p) bo'ladi differentsial entropiya ning ehtimollik zichligi funktsiyasi p(x):

${displaystyle H(p)=-int _{-infty }^{infty }p(x)log {igl (}p(x){igr )},dx}$

where the logarithms may be in any base that is consistent. The equality is attained for a Gaussian, as in the previous case.

Sinus va kosinus o'zgarishi

Fourier's original formulation of the transform did not use complex numbers, but rather sines and cosines. Statisticians and others still use this form. An absolutely integrable function f for which Fourier inversion holds good can be expanded in terms of genuine frequencies (avoiding negative frequencies, which are sometimes considered hard to interpret physically^[34]) λ tomonidan

${displaystyle f(t)=int _{0}^{infty }{igl (}a(lambda )cos(2pi lambda t)+b(lambda )sin(2pi lambda t){igr )},dlambda .}$

This is called an expansion as a trigonometric integral, or a Fourier integral expansion. The coefficient functions a va b can be found by using variants of the Fourier cosine transform and the Fourier sine transform (the normalisations are, again, not standardised):

${displaystyle a(lambda )=2int _{-infty }^{infty }f(t)cos(2pi lambda t),dt}$

va

${displaystyle b(lambda )=2int _{-infty }^{infty }f(t)sin(2pi lambda t),dt.}$

Older literature refers to the two transform functions, the Fourier cosine transform, a, and the Fourier sine transform, b.

Funktsiya f can be recovered from the sine and cosine transform using

${displaystyle f(t)=2int _{0}^{infty }int _{-infty }^{infty }f( au )cos {igl (}2pi lambda ( au -t){igr )},d au ,dlambda .}$

together with trigonometric identities. This is referred to as Fourier's integral formula.^{[28][35][36][37]}

Sferik harmonikalar

Let the set of bir hil harmonik polinomlar daraja k kuni ℝⁿ be denoted by A_k. To'plam A_k iborat solid spherical harmonics daraja k. The solid spherical harmonics play a similar role in higher dimensions to the Hermite polynomials in dimension one. Xususan, agar f (x) = e^−π|x|2P(x) kimdir uchun P(x) yilda A_k, keyin f̂ (ξ) = men^−k f (ξ). Let the set H_k be the closure in L²(ℝⁿ) of linear combinations of functions of the form f (|x|)P(x) qayerda P(x) ichida A_k. Bo'sh joy L²(ℝⁿ) is then a direct sum of the spaces H_k and the Fourier transform maps each space H_k to itself and is possible to characterize the action of the Fourier transform on each space H_k.^[15]

Ruxsat bering f (x) = f₀(|x|)P(x) (bilan P(x) yilda A_k), keyin

${displaystyle {hat {f}}(xi )=F_{0}(|xi |)P(xi )}$

qayerda

${displaystyle F_{0}(r)=2pi i^{-k}r^{-{frac {n+2k-2}{2}}}int _{0}^{infty }f_{0}(s)J_{frac {n+2k-2}{2}}(2pi rs)s^{frac {n+2k}{2}},ds.}$

Bu yerda J_{n + 2k − 2/2} belgisini bildiradi Bessel funktsiyasi of the first kind with order n + 2k − 2/2. Qachon k = 0 this gives a useful formula for the Fourier transform of a radial function.^[38] This is essentially the Hankel konvertatsiyasi. Moreover, there is a simple recursion relating the cases n + 2 va n^[39] allowing to compute, e.g., the three-dimensional Fourier transform of a radial function from the one-dimensional one.

Restriction problems

In higher dimensions it becomes interesting to study restriction problems for the Fourier transform. The Fourier transform of an integrable function is continuous and the restriction of this function to any set is defined. But for a square-integrable function the Fourier transform could be a general sinf of square integrable functions. As such, the restriction of the Fourier transform of an L²(ℝⁿ) function cannot be defined on sets of measure 0. It is still an active area of study to understand restriction problems in L^p uchun 1 < p < 2. Surprisingly, it is possible in some cases to define the restriction of a Fourier transform to a set S, taqdim etilgan S has non-zero curvature. Ish qachon S is the unit sphere in ℝⁿ is of particular interest. In this case the Tomas–Shteyn restriction theorem states that the restriction of the Fourier transform to the unit sphere in ℝⁿ is a bounded operator on L^p taqdim etilgan 1 ≤ p ≤ 2n + 2/n + 3.

One notable difference between the Fourier transform in 1 dimension versus higher dimensions concerns the partial sum operator. Consider an increasing collection of measurable sets E_R tomonidan indekslangan R ∈ (0,∞): such as balls of radius R centered at the origin, or cubes of side 2R. For a given integrable function f, consider the function f_R tomonidan belgilanadi:

${displaystyle f_{R}(x)=int _{E_{R}}{hat {f}}(xi )e^{2pi ixcdot xi },dxi ,quad xin mathbb {R} ^{n}.}$

Suppose in addition that f ∈ L^p(ℝⁿ). Uchun n = 1 va 1 < p < ∞, if one takes E_R = (−R, R), keyin f_R ga yaqinlashadi f yilda L^p kabi R tends to infinity, by the boundedness of the Hilbert o'zgarishi. Naively one may hope the same holds true for n > 1. Bunday holda E_R is taken to be a cube with side length R, then convergence still holds. Another natural candidate is the Euclidean ball E_R = {ξ : |ξ| < R}. In order for this partial sum operator to converge, it is necessary that the multiplier for the unit ball be bounded in L^p(ℝⁿ). Uchun n ≥ 2 it is a celebrated theorem of Charlz Fefferman that the multiplier for the unit ball is never bounded unless p = 2.^[18] In fact, when p ≠ 2, this shows that not only may f_R fail to converge to f yilda L^p, but for some functions f ∈ L^p(ℝⁿ), f_R is not even an element of L^p.

Fourier transform on function spaces

Yoqilgan L^p bo'shliqlar

Yoqilgan L¹

The definition of the Fourier transform by the integral formula

${displaystyle {hat {f}}(xi )=int _{mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2pi ixi cdot x},dx}$

is valid for Lebesgue integrable functions f; anavi, f ∈ L¹(ℝⁿ).

The Fourier transform F : L¹(ℝⁿ) → L^∞(ℝⁿ) a chegaralangan operator. This follows from the observation that

${displaystyle leftvert {hat {f}}(xi ) ightvert leq int _{mathbb {R} ^{n}}vert f(x)vert ,dx,}$

which shows that its operator normasi is bounded by 1. Indeed, it equals 1, which can be seen, for example, from the transform of the rect function. Ning tasviri L¹ is a subset of the space C₀(ℝⁿ) of continuous functions that tend to zero at infinity (the Riemann-Lebesgue lemma), although it is not the entire space. Indeed, there is no simple characterization of the image.

Yoqilgan L²

Since compactly supported smooth functions are integrable and dense in L²(ℝⁿ), Plancherel teoremasi allows us to extend the definition of the Fourier transform to general functions in L²(ℝⁿ) by continuity arguments. The Fourier transform in L²(ℝⁿ) is no longer given by an ordinary Lebesgue integral, although it can be computed by an improper integral, here meaning that for an L² funktsiya f,

${displaystyle {hat {f}}(xi )=lim _{R o infty }int _{|x|leq R}f(x)e^{-2pi ixcdot xi },dx}$

where the limit is taken in the L² sezgi. (More generally, you can take a sequence of functions that are in the intersection of L¹ va L² and that converges to f ichida L²-norm, and define the Fourier transform of f sifatida L² -limit of the Fourier transforms of these functions.^[40])

Many of the properties of the Fourier transform in L¹ carry over to L², by a suitable limiting argument.

Bundan tashqari, F : L²(ℝⁿ) → L²(ℝⁿ) a unitar operator.^[41] For an operator to be unitary it is sufficient to show that it is bijective and preserves the inner product, so in this case these follow from the Fourier inversion theorem combined with the fact that for any f, g ∈ L²(ℝⁿ) bizda ... bor

${displaystyle int _{mathbb {R} ^{n}}f(x){mathcal {F}}g(x),dx=int _{mathbb {R} ^{n}}{mathcal {F}}f(x)g(x),dx.}$

In particular, the image of L²(ℝⁿ) is itself under the Fourier transform.

Boshqa tomondan L^p

The definition of the Fourier transform can be extended to functions in L^p(ℝⁿ) uchun 1 ≤ p ≤ 2 by decomposing such functions into a fat tail part in L² plus a fat body part in L¹. In each of these spaces, the Fourier transform of a function in L^p(ℝⁿ) ichida L^q(ℝⁿ), qayerda q = p/p − 1 is the Hölder conjugate of p (tomonidan Hausdorff - Yosh tengsizlik). However, except for p = 2, the image is not easily characterized. Further extensions become more technical. The Fourier transform of functions in L^p for the range 2 < p < ∞ requires the study of distributions.^[14] In fact, it can be shown that there are functions in L^p bilan p > 2 so that the Fourier transform is not defined as a function.^[15]

Tempered distributions

One might consider enlarging the domain of the Fourier transform from L¹ + L² by considering generalized functions, or distributions. Tarqatish ℝⁿ is a continuous linear functional on the space C_v(ℝⁿ) of compactly supported smooth functions, equipped with a suitable topology. The strategy is then to consider the action of the Fourier transform on C_v(ℝⁿ) and pass to distributions by duality. The obstruction to doing this is that the Fourier transform does not map C_v(ℝⁿ) ga C_v(ℝⁿ). In fact the Fourier transform of an element in C_v(ℝⁿ) can not vanish on an open set; see the above discussion on the uncertainty principle. The right space here is the slightly larger space of Shvarts vazifalari. The Fourier transform is an automorphism on the Schwartz space, as a topological vector space, and thus induces an automorphism on its dual, the space of tempered distributions.^[15] The tempered distributions include all the integrable functions mentioned above, as well as well-behaved functions of polynomial growth and distributions of compact support.

For the definition of the Fourier transform of a tempered distribution, let f va g be integrable functions, and let f̂ va ĝ be their Fourier transforms respectively. Then the Fourier transform obeys the following multiplication formula,^[15]

${displaystyle int _{mathbb {R} ^{n}}{hat {f}}(x)g(x),dx=int _{mathbb {R} ^{n}}f(x){hat {g}}(x),dx.}$

Every integrable function f defines (induces) a distribution T_f munosabat bilan

${displaystyle T_{f}(varphi )=int _{mathbb {R} ^{n}}f(x)varphi (x),dx}$

Shvartsning barcha funktsiyalari uchun φ. So it makes sense to define Fourier transform T̂_f ning T_f tomonidan

${displaystyle {hat {T}}_{f}(varphi )=T_{f}left({hat {varphi }} ight)}$

Shvartsning barcha funktsiyalari uchun φ. Extending this to all tempered distributions T gives the general definition of the Fourier transform.

Distributions can be differentiated and the above-mentioned compatibility of the Fourier transform with differentiation and convolution remains true for tempered distributions.

Umumlashtirish

Fourier–Stieltjes transform

The Fourier transform of a finite Borel measure m kuni ℝⁿ tomonidan berilgan:^[42]

${displaystyle {hat {mu }}(xi )=int _{mathbb {R} ^{n}}e^{-2pi ixcdot xi },dmu .}$

This transform continues to enjoy many of the properties of the Fourier transform of integrable functions. One notable difference is that the Riemann-Lebesgue lemma fails for measures.^[14] Bunday holda dm = f (x) dx, then the formula above reduces to the usual definition for the Fourier transform of f. Bunday holda m is the probability distribution associated to a random variable X, the Fourier–Stieltjes transform is closely related to the xarakterli funktsiya, but the typical conventions in probability theory take e^ixξ o'rniga e^−2πixξ.^[13] In the case when the distribution has a ehtimollik zichligi funktsiyasi this definition reduces to the Fourier transform applied to the probability density function, again with a different choice of constants.

The Fourier transform may be used to give a characterization of measures. Bochner teoremasi characterizes which functions may arise as the Fourier–Stieltjes transform of a positive measure on the circle.^[14]

Bundan tashqari, Dirac delta funktsiyasi, although not a function, is a finite Borel o'lchovi. Its Fourier transform is a constant function (whose specific value depends upon the form of the Fourier transform used).

Locally compact abelian groups

The Fourier transform may be generalized to any locally compact abelian group. A locally compact abelian group is an abeliy guruhi that is at the same time a mahalliy ixcham Hausdorff topological space so that the group operation is continuous. Agar G is a locally compact abelian group, it has a translation invariant measure m, deb nomlangan Haar o'lchovi. For a locally compact abelian group G, the set of irreducible, i.e. one-dimensional, unitary representations are called its belgilar. With its natural group structure and the topology of pointwise convergence, the set of characters Ĝ is itself a locally compact abelian group, called the Pontryagin dual ning G. Funktsiya uchun f yilda L¹(G), its Fourier transform is defined by^[14]

${ displaystyle { hat {f}} ( xi) = int _ {G} xi (x) f (x) , d mu qquad { text {for}}} xi in { hat {G}}.}$

Bu holda Riemann-Lebesgue lemmasi amal qiladi; f̂ (ξ) - bu abadiylikda yo'q bo'lib ketadigan funktsiya Ĝ.

Fourier konvertatsiya qilinadi T= R / Z - bu misol; Bu yerga T mahalliy ixcham abeliya guruhi va Haar o'lchovidir m kuni T [0,1] bo'yicha Lebesg o'lchovi sifatida qaralishi mumkin. Ning vakilligini ko'rib chiqing T murakkab tekislikda C bu 1 o'lchovli murakkab vektor maydoni. Bir guruh vakolatxonalar mavjud (ular beri kamaytirilmaydi) C 1 xira) ${ displaystyle {e_ {k}: T rightarrow GL_ {1} (C) = C ^ {*} mid k in Z }}$ qayerda ${ displaystyle e_ {k} (x) = e ^ {2 pi ikx}}$ uchun ${ displaystyle x in T}$.

Bunday vakillikning xarakteri, ya'ni izidir ${ displaystyle e_ {k} (x)}$ har biriga ${ displaystyle x in T}$ va ${ displaystyle k in Z}$, bo'ladi ${ displaystyle e ^ {2 pi ikx}}$ o'zi. Cheklangan guruhning vakili bo'lsa, guruhning belgilar jadvali G vektorlarning satrlari bo'lib, har bir satr bitta qisqartirilmaydigan tasvirning belgisidir G, va bu vektorlar xaritadan sinf funktsiyalari makonining ortonormal asosini tashkil qiladi G ga C Schur lemma bilan. Endi guruh T endi cheklangan emas, lekin hali ham ixcham va u belgilar jadvali ortonomalligini saqlaydi. Jadvalning har bir qatori funktsiyadir ${ displaystyle e_ {k} (x)}$ ning ${ displaystyle x in T,}$ va ikkita sinf funktsiyalari orasidagi ichki mahsulot (barcha funktsiyalar buyon sinf funktsiyalari T abeliya) f,${ displaystyle g in L ^ {2} (T, d mu)}$ sifatida belgilanadi ${ displaystyle = { frac {1} {| T |}} int _ {[0,1)} f (y) { overline {g}} (y) d mu (y) )}$ normalizatsiya qiluvchi omil bilan ${ displaystyle | T | = 1.}$ Ketma-ketlik ${ displaystyle {e_ {k} mid k in Z }}$ sinf funktsiyalari makonining ortonormal asosidir ${ displaystyle L ^ {2} (T, d mu).}$

Har qanday vakillik uchun V cheklangan guruh G, ${ displaystyle chi _ {v}}$ span sifatida ifodalanishi mumkin ${ displaystyle sum _ {i} < chi _ {v}, chi _ {v_ {i}}> chi _ {v_ {i}}}$(${ displaystyle V_ {i}}$ ning irrepslari G), s.t ${ displaystyle < chi _ {v}, chi _ {v_ {i}}> = { frac {1} {| G |}} sum _ {g in G} chi _ {v} ( g) { overline { chi}} _ {v_ {i}} (g)}$. Xuddi shunday ${ displaystyle G = T}$ va ${ displaystyle f in L ^ {2} (T, d mu)}$, ${ displaystyle f (x) = sum _ {k in Z} { hat {f}} (k) e_ {k}}$. Pontriagin duali ${ displaystyle { hat {T}}}$ bu ${ displaystyle {e_ {k} } (k in Z)}$ va uchun ${ displaystyle f in L ^ {2} (T, d mu)}$, ${ displaystyle { hat {f}} (k) = { frac {1} {| T |}} int _ {[0,1)} f (y) e ^ {- 2 pi iky} dy }$ uning Fourier konvertatsiyasi ${ displaystyle e_ {k} in { hat {T}}}$.

Gelfand o'zgarishi

Fourier konvertatsiyasi, shuningdek, Gelfand o'zgarishi. Ushbu alohida kontekstda u yuqorida belgilangan Pontryagin ikkilik xaritasi bilan chambarchas bog'liqdir.

Abeliya berilgan mahalliy ixcham Hausdorff topologik guruh G, oldingi kabi, biz bo'shliqni ko'rib chiqamiz L¹(G), Haar o'lchovi yordamida aniqlangan. Ko'payish kabi konvulsiya bilan, L¹(G) abeliyalik Banach algebra. Unda ham bor involyutsiya * tomonidan berilgan

${ displaystyle f ^ {*} (g) = { overline {f left (g ^ {- 1} right)}}.}$

Mumkin bo'lgan eng katta hajmdagi ishni bajarish C*-norm o'zining konvertini beradi C*-algebra, guruh deb nomlangan C*-algebra C*(G) ning G. (Har qanday C*-norm yoqilgan L¹(G) bilan chegaralanadi L¹ norma, shuning uchun ularning supremumi mavjud.)

Har qanday abeliya berilgan C*-algebra A, Gelfand konvertatsiyasi orasidagi izomorfizmni beradi A va C₀(A^), qayerda A^ multiplikativ chiziqli funktsionallar, ya'ni bir o'lchovli tasvirlar, bo'yicha A zaif bilan * topologiya. Xarita oddiygina tomonidan berilgan

${ displaystyle a mapsto { bigl (} varphi mapsto varphi (a) { bigr)}}$

Ning multiplikativ chiziqli funksionallari chiqadi C*(G), mos identifikatsiyadan so'ng, aniq belgilar G, va Gelfand o'zgaradi, agar zich ichki qism bilan cheklangan bo'lsa L¹(G) bu Furye-Pontryagin o'zgarishi.

Abeliya bo'lmagan ixcham guruhlar

Furye konvertatsiyasini abeliya bo'lmagan guruhdagi funktsiyalar uchun ham aniqlash mumkin, agar guruh bo'lsa ixcham. Asosiy guruh abeliya degan tushunchani olib tashlash, kamaytirilmaydigan unitar vakillar har doim ham bir o'lchovli bo'lishi shart emas. Demak, abelian bo'lmagan guruhdagi Furye konvertatsiyasi qiymatlarni Xilbert kosmik operatorlari sifatida qabul qiladi.^[43] Furye konvertatsiyasi ixcham guruhlar uchun asosiy vosita hisoblanadi vakillik nazariyasi^[44] va komutativ bo'lmagan harmonik tahlil.

Ruxsat bering G ixcham bo'ling Hausdorff topologik guruh. Ruxsat bering Σ cheklangan o'lchovli barcha izomorfizm sinflari to'plamini belgilang unitar vakolatxonalar, vakillikning aniq tanlovi bilan birga U^(σ) ustida Hilbert maydoni H_σ cheklangan o'lchov d_σ har biriga σ ∈ Σ. Agar m cheklangan Borel o'lchovi kuni G, keyin Fourier-Stieltjes konvertatsiyasi m operator yoqilgan H_σ tomonidan belgilanadi

${ displaystyle left langle { hat { mu}} xi, eta right rangle _ {H _ { sigma}} = int _ {G} left langle { overline {U}} _ {g} ^ {( sigma)} xi, eta right rangle , d mu (g)}$

qayerda U^(σ) ning murakkab-konjuge vakili hisoblanadi U^(σ) harakat qilish H_σ. Agar m bu mutlaqo uzluksiz ga nisbatan chap-o'zgarmas ehtimollik o'lchovi λ kuni G, vakili kabi

${ displaystyle d mu = f , d lambda}$

kimdir uchun f ∈ L¹(λ), ning Fourier konvertatsiyasini aniqlaydi f ning Fourier-Stieltjes konvertatsiyasi bilan m.

Xaritalash

${ displaystyle mu mapsto { hat { mu}}}$

orasidagi izomorfizmni belgilaydi Banach maydoni M(G) cheklangan Borel o'lchovlari (qarang bo'sh joy) va Banax makonining yopiq subspace C_∞(Σ) barcha ketma-ketliklardan iborat E = (E_σ) tomonidan indekslangan Σ (chegaralangan) chiziqli operatorlar E_σ : H_σ → H_σ buning uchun norma

${ displaystyle | E | = sup _ { sigma in Sigma} left | E _ { sigma} right |}$

cheklangan. "konvulsiya teoremasi"bundan tashqari, Banax bo'shliqlarining bu izomorfizmi aslida izometrik izomorfizmidir C * algebralar ning subspace-ga C_∞(Σ). Ko'paytirish yoqilgan M(G) tomonidan berilgan konversiya chora-tadbirlar va involution * tomonidan belgilanadi

${ displaystyle f ^ {*} (g) = { overline {f left (g ^ {- 1} right)}},}$

va C_∞(Σ) tabiiyga ega C*-algebra tuzilishi, Hilbert fazoviy operatorlari sifatida.

The Piter-Veyl teoremasi ushlab turadi va Furye inversiya formulasining versiyasi (Plancherel teoremasi) quyidagicha: agar f ∈ L²(G), keyin

${ displaystyle f (g) = sum _ { sigma in Sigma} d _ { sigma} operatorname {tr} left ({ hat {f}} ( sigma) U_ {g} ^ {( sigma)} o'ng)}$

bu erda yig'indisi konvergent sifatida tushuniladi L² sezgi.

Furye konvertatsiyasini umumiy bo'lmagan holatga umumlashtirish, qisman rivojlanishiga hissa qo'shdi noaniq geometriya.^{[iqtibos kerak]} Shu nuqtai nazardan, Furye konversiyasining nodavlat guruhlarga kategorik ravishda umumlashtirilishi Tannaka - Kerin ikkiligi, bu belgilar guruhini vakolatxonalar toifasiga almashtiradi. Biroq, bu harmonik funktsiyalar bilan aloqani yo'qotadi.

Shu bilan bir qatorda

Yilda signallarni qayta ishlash atamalar, funktsiya (vaqt) - bu signalning mukammal bilan ifodalanishi vaqtni aniqlash, ammo Fourier konvertatsiyasi mukammal bo'lsa-da, chastota haqida ma'lumot yo'q chastota o'lchamlari, ammo vaqt haqida ma'lumot yo'q: Furye konvertatsiyasining kattaligi bir nuqtada qancha chastota tarkibiga ega, lekin joylashish faqat faza bilan beriladi (Furye transformatsiyasining nuqtadagi argumenti) va turgan to'lqinlar o'z vaqtida lokalizatsiya qilinmagan - sinus to'lqin parchalanmasdan cheksizgacha davom etadi. Bu Fourier konvertatsiyasining vaqt ichida lokalizatsiya qilingan signallarni tahlil qilish uchun foydaliligini cheklaydi, xususan vaqtinchalikyoki cheklangan darajadagi har qanday signal.

Furye konvertatsiyasiga alternativ sifatida, yilda vaqt chastotasini tahlil qilish, signallarni bir muncha vaqt ma'lumotlari va ba'zi bir chastota ma'lumotlariga ega bo'lgan shaklda namoyish qilish uchun vaqt chastotasi o'zgarishi yoki vaqt chastotasi taqsimotidan foydalaniladi - noaniqlik printsipiga ko'ra, bular o'rtasida kelishuv mavjud. Ular Fourier konvertatsiyasining umumlashtirilishi bo'lishi mumkin, masalan qisqa vaqt ichida Fourier konvertatsiyasi yoki kasrli Furye konvertatsiyasiyoki kabi signallarni aks ettirish uchun boshqa funktsiyalar dalgalanma o'zgaradi va chirplet o'zgaradi, Fourier konvertatsiyasining to'lqinli analogi bilan (doimiy) uzluksiz to'lqin o'zgarishi.^[19]

Ilovalar

Furye konvertatsiyasi qo'llanilganda, masalan, ba'zi bir differentsial tenglamalar kabi ba'zi masalalarni echish osonlashadi. U holda teskari Furye konvertatsiyasi yordamida asl muammoning echimi tiklanadi.

Differentsial tenglamalarni tahlil qilish

Ehtimol, Furye transformatsiyasining eng muhim ishlatilishi hal qilishdir qisman differentsial tenglamalar.XX asr matematik fizikasining ko'plab tenglamalariga shunday munosabatda bo'lish mumkin. Furye bir o'lchovda va o'lchovsiz birliklarda bo'lgan issiqlik tenglamasini o'rgangan

${ displaystyle { frac { kısmi ^ {2} y (x, t)} { qismli ^ {2} x}} = { frac { qismli y (x, t)} {{qisman t}} .}$

Biz keltiradigan misol, biroz qiyinroq, bir o'lchovdagi to'lqin tenglamasi,

${ displaystyle { frac { kısmi ^ {2} y (x, t)} { qismli ^ {2} x}} = { frac { qismli ^ {2} y (x, t)} { qisman ^ {2} t}}.}$

Odatdagidek, muammo echim topishda emas: cheksiz ko'p. Muammo shundaki, "chegara masalasi" deb nomlanadi: "chegara shartlari" ni qondiradigan echimni toping

${ displaystyle y (x, 0) = f (x), qquad { frac { qisman y (x, 0)} { qisman t}} = g (x).}$

Bu yerda, f va g funktsiyalari berilgan. Issiqlik tenglamasi uchun faqat bitta chegara sharti talab qilinishi mumkin (odatda birinchi). Ammo to'lqin tenglamasi uchun hali ham cheksiz ko'p echimlar mavjud y birinchi chegara shartini qondiradigan. Ammo har ikkala shartni qo'yganda, faqat bitta echim bo'lishi mumkin.

Furye konvertatsiyasini topish osonroq ŷ to'g'ridan-to'g'ri echimni topishdan ko'ra eritmaning. Buning sababi shundaki, Furye konversiyasi differentsiatsiyani Furye-ikkilangan o'zgaruvchiga ko'paytirishga oladi va shuning uchun dastlabki funktsiyaga tatbiq etiladigan qisman differentsial tenglama, o'zgartirilgan funktsiyaga tatbiq etiladigan ikkilamchi o'zgaruvchilarning polinom funktsiyalari bilan ko'paytirilishga aylanadi. Keyin ŷ aniqlandi, topish uchun teskari Furye transformatsiyasini qo'llashimiz mumkin y.

Furye usuli quyidagicha. Birinchidan, shakllarning har qanday funktsiyasiga e'tibor bering

${ displaystyle cos { bigl (} 2 pi xi (x pm t) { bigr)} { mbox {or}} sin { bigl (} 2 pi xi (x pm t) ) { bigr)}}$

to'lqin tenglamasini qondiradi. Ularga elementar echimlar deyiladi.

Ikkinchidan, har qanday ajralmas narsaga e'tibor bering

${ displaystyle y (x, t) = int _ {0} ^ { infty} a _ {+} ( xi) cos { bigl (} 2 pi xi (x + t) { bigr) } + a _ {-} ( xi) cos { bigl (} 2 pi xi (xt) { bigr)} + ​​b _ {+} ( xi) sin { bigl (} 2 pi ) xi (x + t) { bigr)} + ​​b _ {-} ( xi) sin chap (2 pi xi (xt) right) , d xi}$

(o'zboshimchalik uchun a₊, a₋, b₊, b₋) to'lqin tenglamasini qondiradi. (Bu integral faqat uzluksiz chiziqli birikmaning bir turi va tenglama chiziqli).

Endi bu funktsiyaning Furye sintezi formulasiga o'xshaydi. Aslida, bu haqiqiy teskari Fourier konvertatsiyasi a_± va b_± o'zgaruvchida x.

Uchinchi qadam - o'ziga xos noma'lum koeffitsient funktsiyalarini qanday topish kerakligini tekshirish a_± va b_± olib keladi y chegara shartlarini qondirish. Ushbu echimlarning qiymatlari bizni qiziqtiradi t = 0. Shunday qilib, biz o'rnatamiz t = 0. Furye inversiyasi uchun zarur bo'lgan shartlar qondirilgan deb hisoblasak, Furye sinusi va kosinus o'zgarishini topish mumkin (o'zgaruvchida x) ikkala tomonning va oling

${ displaystyle 2 int _ {- infty} ^ { infty} y (x, 0) cos (2 pi xi x) , dx = a _ {+} + a _ {-}}$

va

${ displaystyle 2 int _ {- infty} ^ { infty} y (x, 0) sin (2 pi xi x) , dx = b _ {+} + b _ {-}.}$

Xuddi shunday, ning hosilasini olish y munosabat bilan t va keyin Furye sinusi va kosinus konvertatsiyasini qo'llang

${ displaystyle 2 int _ {- infty} ^ { infty} { frac { qisman y (u, 0)} { qisman t}} sin (2 pi xi x) , dx = (2 pi xi) chap (-a _ {+} + a _ {-} o'ng)}$

va

${ displaystyle 2 int _ {- infty} ^ { infty} { frac { qisman y (u, 0)} { qisman t}} cos (2 pi xi x) , dx = (2 pi xi) chap (b _ {+} - b _ {-} o'ng).}$

Bu to'rtta noma'lum uchun to'rtta chiziqli tenglama a_± va b_±, elementar algebra bilan osonlikcha hal qilinadigan chegara shartlarining Furye sinusi va kosinus o'zgarishlari nuqtai nazaridan, bu o'zgarishni topish mumkin.

Xulosa qilib aytganda, biz parametrlangan elementar echimlar to'plamini tanladik ξ, ulardan umumiy echim parametr bo'yicha integral (doimiy) chiziqli kombinatsiya bo'ladi ξ. Ammo bu integral Furye integrali shaklida bo'lgan. Keyingi qadam chegara shartlarini ushbu integrallar bilan ifodalash va ularni berilgan funktsiyalarga tenglashtirish edi f va g. Ammo bu iboralar, shuningdek, hosilaning Furye konvertatsiyasining xususiyatlari tufayli Furye integrali shaklini oldi. Oxirgi qadam, Furye konversiyasini har ikki tomonga tatbiq etish orqali Fourier inversiyasidan foydalanish va shu bilan koeffitsient funktsiyalari uchun iboralarni olish edi. a_± va b_± berilgan chegara shartlari bo'yicha f va g.

Yuqori nuqtai nazardan, Furye protsedurasini ko'proq kontseptual ravishda o'zgartirish mumkin. Ikki o'zgaruvchi bo'lgani uchun, biz ikkalasida ham Furye transformatsiyasidan foydalanamiz x va t shunchaki fazoviy o'zgaruvchilarni o'zgartirgan Furye kabi ishlashdan ko'ra. Yozib oling ŷ beri tarqatish ma'nosida ko'rib chiqilishi kerak y(x, t) bo'lmaydi L¹: to'lqin sifatida, u vaqt o'tishi bilan davom etadi va shuning uchun vaqtinchalik hodisa emas. Ammo u cheklangan bo'ladi va shuning uchun uning Furye konvertatsiyasi taqsimot sifatida aniqlanishi mumkin. Furye transformatsiyasining ushbu tenglamaga taalluqli bo'lgan operatsion xususiyatlari shundaki, u differentsiatsiyani oladi x ga ko'paytirish 2πiξ va nisbatan farqlash t ga ko'paytirish 2πagar qayerda f chastota. Keyin to'lqin tenglamasi in algebraik tenglamaga aylanadi ŷ:

${ displaystyle xi ^ {2} { hat {y}} ( xi, f) = f ^ {2} { hat {y}} ( xi, f).}$

Bu talab bilan tengdir ŷ(ξ, f ) = 0 agar bo'lmasa ξ = ±f. Darhol, bu nima uchun biz ilgari qilgan elementar echimlarni tanlash juda yaxshi ishlaganligini tushuntiradi: aniq f̂ = δ(ξ ± f ) echimlar bo'ladi. Ushbu delta funktsiyalariga Fourier inversiyasini qo'llagan holda, avval tanlagan elementar echimlarni olamiz. Ammo yuqori nuqtai nazardan, oddiy echimlarni tanlamaydi, aksincha (degeneratsiya qilingan) konusda qo'llab-quvvatlanadigan barcha taqsimotlarning maydonini hisobga oladi. ξ² − f² = 0.

Biz chiziqdagi bitta o'zgaruvchining taqsimotlari bilan berilgan konusda qo'llab-quvvatlanadigan taqsimotlarni ham ko'rib chiqishimiz mumkin ξ = f qatorda tarqatish ξ = −f quyidagicha: agar ϕ har qanday sinov funktsiyasi,

${ displaystyle iint { hat {y}} phi ( xi, f) , d xi , df = int s _ {+} phi ( xi, xi) , d xi + int s _ {-} phi ( xi, - xi) , d xi,}$

qayerda s₊va s₋, bitta o'zgaruvchining taqsimoti.

Keyin Fourier inversiyasi, chegara shartlari uchun, biz yuqorida aniqroq bo'lgan narsalarga juda o'xshash narsani beradi (qo'yilgan) ϕ(ξ, f ) = e^{2πmen(xξ+tf )}, bu aniq polinom o'sishi):

${ displaystyle y (x, 0) = int { bigl {} s _ {+} ( xi) + s _ {-} ( xi) { bigr }} e ^ {2 pi i xi x + 0} , d xi}$