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Allgemeine Relativitätstheorie
	(das Einstein-Gleichung) ;
	Hintergrund Spezielle Relativität; Äquivalenzprinzip · Weltlinie; Koordinatenunabhängigkeit; Mathematikhintergrund: Tensoren; metrischer Tensor
	Gleichungen Einstein-Gleichung; Friedmann-Gleichung; ADM-Formalismus
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Metrische tensor

EIN metrischer Tensor ist ein symmetrischer Tensor vom Typ (0.2) auf a glatte Sorte. Das heißt, in jedem Punkt von diesem Platz, der metrische Tensor a symmetrische bilineare Form bestimmt auf dem berührenden Raum:

{displaystyle g(p):T_{p}M imes T_{p}M o mathbb {R} :(v,w)mapto g(p)(v,w)}

Der metrische Tensor bestimmt vollständig die lokale geometrische Struktur der Mannigfaltigkeit. Es kann Folgendes enthalten: Riemann Sorte oder ein Lorentz-Sorte Besorgnis, Sorge. Das Riemannscher Krümmungstensor kann aus dem metrischen Tensor abgeleitet werden. Der Tensor ist eine Einheit für sich, unabhängig von den verwendeten Koordinaten. Eine Koordinatenbeschreibung ändert sich daher bei a therefore Koordinatentransformation.

Flacher Raum

Ein metrischer Tensor auf einem endlichdimensionalen Vektorraum ist die gleiche symmetrische bilineare Form an jedem Punkt des Raumes Berührungsraum, und ist somit durch eine Bilinearform auf dem Raum selbst gegeben. Dies ist einerseits ein Spezialfall einer glatten Mannigfaltigkeit, andererseits gilt es für jeden Tangentialraum einer glatten Mannigfaltigkeit.

wenn Gpositiv-definitiv ist dann ist G ein internes Produkt, und so ist die Wurzel a Norm und ein metrisch im strengen Sinne von a metrischer Raum. Da ist dann a Base in Bezug auf die die Koordinatenraum das euklidischer Raum der relevanten Dimension, also ist die Metrik die gemeinsame Metrik ist. Also für Basisvektoren ${Anzeigestil g(b_{i},b_{j})=Delta_{ij}}$ , das kronecker delta. Das Länge einer Kurve in Bezug auf die fragliche Metrik dann das Linienintegral ${displaystyle int {sqrt {g(dx,dx))}}}$ . Das kann man auch kurz anmerken ${Anzeigestil (ds)^{2}=g(dx,dx)}$ , mit ${displaystyle ds}$ die Länge eines Linienelements.^[1]

Ein weiterer wichtiger Fall ist der Minkowski-Raum, das ist im spezielle Relativitätstheorie der Raum von positioniere vier Vektoren mit der Bilinearform ${displaystyle (ct)^{2}-|r|^{2}}$ (hier mit time-like Zeichnungskonvention, d. h. die Bilinearform ist positiv auf a Weltlinie). Der metrische Tensor ist hier der Minkowski-Tensor. In einer zeitlichen Trennung, ${displaystyle (cd au )^{2}=(cdt)^{2}-|dr|^{2}}$ , mit ${displaystyle au }$ das eigene Zeit. Dieses ${displaystyle (cdt)^{2}-|dr|^{2}}$ ist deshalb Lorent-Ausdrucksvariante (auch mit raumartiger Trennung).

Die zweidimensionale Variante ist eine vereinfachte Version des Minkowski-Tensors, wobei a (zweidimensional) Minkowski-Diagramm kann aufschlussreich sein; es besteht Symmetrie zwischen den Koordinaten ct und X, in dem Sinne, dass sich beim Vertauschen nur das Vorzeichen der Bilinearform ändert; Es besteht also (mathematisch) eine weitreichende Symmetrie zwischen Zeit und Raum. Physikalisch besteht noch der Unterschied, dass eine zeitähnliche Raum-Zeit-Kurve im Grunde eine mögliche Weltlinie eines Objekts ist, eine andere Kurve nicht.

Die dreidimensionale Variante ist eine weiterentwickelte, etwas weniger vereinfachte Version des Minkowski-Tensors, bei dem der Raum eine Zeitachse und zwei Raumachsen hat. Dieser Raum ist leichter vorstellbar als die vierdimensionale Raumzeit, aber ausreichend, um bestimmte Eigenschaften und Formeln zu verdeutlichen, die in der zweidimensionalen Raumzeit nicht existieren.

Vielfalt

Wie bereits erwähnt, ist der metrische Tensor auf a . definiert glatte Sorte, mit Berührungsräume, Das Vektorräume sind, ist aber im Allgemeinen selbst kein Vektorraum.

An einer Riemann Sorte ist die symmetrische bilineare Form auf einem beliebigen Tangentialraum positiv-definitiv, also ist jeder Tangentialraum a metrischer Raum. Das Bogenlänge einer Kurve ist wieder das Linienintegral ${displaystyle int {sqrt {g(dx,dx))}}}$ , oder nochmal ${Anzeigestil (ds)^{2}=g(dx,dx)}$ , mit ${displaystyle ds}$ die Länge eines Linienelements. Der Abstand zwischen zwei Punkten kann dann im Prinzip als die Länge der kürzesten Kurve zwischen den Punkten definiert werden, wodurch die Mannigfaltigkeit selbst zu einem metrischen Raum wird.

Mehrere andere geometrische Begriffe, wie z Ecke, Oberfläche oder Inhalt, Krümmung, das Gradient einer Funktion und Abweichungen von a Vektorfeld kann auch auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit definiert werden.

Ein Beispiel ist das Einheitskreis ${Displaystil S^{1}}$ im ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ . Der Tangentialraum von ${Displaystil S^{1}}$ in einem Punkt ${displaystyle p}$ ist die Tangente an ${Displaystil S^{1}}$ im ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ . Als die Ursprung des Vektorraums ${displaystyle T_{p}S^{1}}$ nehmen wir den kontaktpunkt ${displaystyle p}$ selbst. Die Metrik ist die des euklidischen Raums ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ , ist eine Teilmenge eines metrischen Raums, die die gleichen Abstände enthält, selbst ein metrischer Raum. Der Abstand zwischen zwei Punkten auf dem Kreis wird jetzt als die Länge der kürzesten Kurve entlang des Kreises zwischen den Punkten definiert. Dies ist eine andere Metrik als direkt gemäß der Metrik von ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ .

Koordinaten

Der Tensor hat zwei Kovariante Indizes, die als Subindizes aufgeführt sind. Er kann als Quadrat dargestellt werden, nicht singulär nein Biene neinsymmetrische Matrix, bei welchem nein das Abmessungen ist von Raum, nicht zu verwechseln mit der Dimension eines höherdimensionalen Raums, in den der Raum eingebettet ist, um die Krümmung zu veranschaulichen. Die Matrix ist eine Funktion des Punktes im Raum. Die Komponenten sind mit . gekennzeichnet G_ij, wo die Indizes ich und ja von 1 bis . laufen nein; in der Relativitätstheorie werden häufig griechische Buchstaben für die Indizes verwendet. Die Komponenten bilden somit ein Quadrat nein Mahlzeit neinMatrix. Sie sind die Werte der Bilinearform bei Anwendung auf zwei Einheitsvektoren in einem bestimmten Raum Koordinatensystem, und daher abhängig von deren Wahl. Im einstein-/Tensor-Notation ist die Bilinearform ${displaystyle g_{ij}v^{i}w^{j}}$ oder ${displaystyle g_{mu u }v^{mu}w^{u }}$ . In der Physik, wenn v und wpositioniere vier Vektoren sein, ${displaystyle g_{ij}v^{i}w^{j}}$ das Abmessungen Länge im Quadrat. Die Dimension von ${displaystyle x^{mu}}$ hängt im Allgemeinen davon ab ${Anzeigestil mu}$ . Die Dimension ist beispielsweise Länge oder Zeit, oder es handelt sich beispielsweise um eine dimensionslose Größe. Aus dem Vorstehenden folgt, dass die Dimension von ${displaystyle g_{mu u }}$ ist: Länge zum Quadrat, dividiert durch die Abmessung der ${Anzeigestil mu}$ 'die Koordinate, und dividiert durch die Dimension der ${Anzeigestil u}$ 'die Koordinate (siehe zum Beispiel die schwarzer Schild metrisch im Kugelkoordinaten). Dem entspricht die Notation von kovarianten und kontravarianten Indizes: ein oberer Index bedeutet multiplizieren mit, ein unterer Index dividieren durch die relevante Dimension, um die Dimension des Ergebnisses zu bestimmen. Bei Anwendung auf einen Positions-Vier-Vektor und sich selbst erhalten wir ${displaystyle g_{mu u }x^{mu}x^{u }}$ mit Maßlänge quadriert. Der metrische Tensor kann nicht nur auf die Position von vier Vektoren angewendet werden, sondern auch auf andere vier Vektoren angewendet werden, teilweise weil die Dimensionen der Komponenten eines Vierervektors eine feste Beziehung zu den Dimensionen der Komponenten des Positionsviervektors haben. Zum Beispiel für die vier GeschwindigkeitenV eines Objekts hat ${displaystyle V^{mu}}$ die Dimension des ${Anzeigestil mu}$ 'die Koordinate des Positions-4-Vektors, dividiert durch die Zeit, und gilt ${displaystyle g_{mu u }mathbf {V} ^{mu }mathbf {V} ^{u }=c^{2}}$ . Die Dimension eines Vierervektors SIE ist die Quadratwurzel der Dimension von ${displaystyle g_{mu u }mathbf {U} ^{mu }mathbf {U} ^{u }}$ .

${displaystyle g^{mu u }}$ , also ohne den Exponenten -1 die Notation für die inverse Matrix des metrischen Tensors. Es Erhöhen der beiden Indizes einer Matrix jedoch nur im Fall des metrischen Tensors bedeutet die Invertierung der Matrix. Allgemein gilt für einen durch eine Matrix gegebenen Tensor: ${displaystyle A^{alpha eta}=g^{alpha mu}g^{eta u}A_{mu u}}$ . Außerdem, ${Displaystil g_{c}^{a}=g^{ab}g_{bc}=Delta _{c}^{a}}$ (dimensionslos).

Das metrischer Tensor in der Relativitätstheorie ist eine symmetrische 4 mal 4 Matrix, die also durch 10 reelle Funktionen der vier Raumzeitvariablen gegeben ist.

Ein Linienelement einer Raumzeitkurve ist zeitähnlich wie bei der with meist minus Konvention ${displaystyle g_{mu u }dx^{mu }dx^{u }}$ (Einstein-Notation, also die Summe über den Indizes) ist positiv. Mit anderen Worten: Eine Raum-Zeit-Kurve ist in einem Punkt der Kurve zeitähnlich wie bei der Tangente durch diesen Punkt auf der Kurve haben wir ${displaystyle g_{mu u }Delta x^{mu }Delta x^{u }}$ ist positiv. Das Linienelement ist 'hell', wenn ${displaystyle g_{mu u }dx^{mu }dx^{u }}$ ist null. Das Linienelement ist 'space-like', wenn ${displaystyle g_{mu u }dx^{mu }dx^{u }}$ ist negativ. Eine Raum-Zeit-Kurve ist „zeitähnlich“ und so weiter. wenn jedes Linienelement ist (in der anderen Formulierung: wenn die Raumzeitkurve die in jedem ihrer Punkte ist). Eine zeitähnliche Raum-Zeit-Kurve ist prinzipiell möglich Weltlinie eines Objekts, abhängig von den darauf einwirkenden Nichtgravitationskräften. Eine Weltlinie eines Objekts, auf die keine Nichtgravitationskräfte wirken, ist nicht nur zeitähnlich, sondern auch geodätisch.

Die Länge einer zeit- oder raumartigen Kurve ist das Linienintegral ${displaystyle int {sqrt {|g_{mu u}dx^{mu}dx^{u }|}}}$ , und ist bzw. c mal die eigene Zeit, oder der Eigenabstand (für eine Riemannsche Mannigfaltigkeit können die absoluten Balken weggelassen werden und wir erhalten ${displaystyle int {sqrt {g_{mu u}dx^{mu}dx^{u}}}}$ , das Abstand entlang der Kurve). In einer zeitähnlichen Trennung und einer zeitähnlichen Zeichnungskonvention der metrische Tensor lässt sich also mit einer Notation der Form ${displaystyle c^{2}d au ^{2}=g_{mu u }dx^{mu }dx^{u }}$ . Damit ist der Tensor fixiert und kann auch für eine raumartige Trennung verwendet werden.^[2]

Für eine glatte Mannigfaltigkeit sind globale Koordinaten nicht immer möglich. Mit dem genannten Integral kann sich also das Koordinatensystem entlang der Kurve ändern. Dies geschieht so, dass das Integral eindeutig bestimmt bleibt, siehe auch unten.

Für den Minkowski-Raum gibt es neben der Vorzeichenkonvention und der Konvention für die Position der zeit darstellenden Koordinate (erste oder letzte) auch die Wahl, ob dieser tatsächlich die Dimension Zeit hat und das Diagonalelement im Absolutwert die Lichtgeschwindigkeit c quadriert wird oder ob diese Dimension eine Länge hat, indem die Zeit mit . multipliziert wird c, und das Diagonalelement im Absolutwert ist die dimensionslose Zahl 1. ${displaystyle g_{mu u }}$ wird hier vermerkt ${displaystyle eta _{mu u }}$

Koordinatentransformation

EIN Koordinatentransformation mit entsprechender Änderung der Mengenmatrix ${displaystyle g_{mu u }}$ liefert das gleiche ${displaystyle g_{mu u }v_{mu }w_{u }}$ so dass die neue Matrix die gleiche geometrische Struktur bestimmt. Es gilt:

{displaystyle g_{{ ar {mu}}{ ar {u}}}={frac {partial x^{ho}}{partial x^{ ar {mu}}}}}{frac {partial x^{sigma }} {teilweise x^{ ar {u}}}}g_{ho sigma }}

Dies läuft darauf hinaus, den metrischen Tensor auf Spaltenpaare der jakobisch der Koordinatentransformation vergleichen Sie die Jacobi am Polarübergang.

Beispiel: die Minkowski-Tensor ${displaystyle eta _{mu u }}$ = diag (1,-1,-1,-1) verwendet die Koordinate ct, während ${displaystyle g_{mu u }}$ = diag (c²,-1,-1,-1) mit Koordinate t die gleiche geometrische Struktur. In diesem Fall, ${displaystyle g_{tt}}$ die Dimension Geschwindigkeit zum Quadrat und ihre ${displaystyle g_{xx}}$ , ${displaystyle g_{yy}}$ und ${displaystyle g_{zz}}$ dimensionslos, damit ${displaystyle g_{mu u }v^{mu}w^{u }}$ wie immer hat die Dimension die Länge zum Quadrat.

Polar Koordinaten

In jedem Punkt der Ebene mit der gewöhnlichen Metrik ist der metrische Tensor das innere Standardprodukt auf dem Tangentialraum:

{displaystyle g(p):T_{p}M imes T_{p}M o mathbb {R} :(v,w)mapto vcdot w=|v||w|cos phi }

mit ${Anzeigestil phi}$ der Winkel zwischen v und w.

${Anzeigestil g(p)}$ es kommt also nicht darauf an p aus (Raum ist flach).

Die Wahl der Basis des Tangentialraums kann jedoch sein p abhängen. Dies gilt in Polar Koordinaten (als einfaches Beispiel für krummlinige Koordinaten)

{displaystyle { egin{bmatrix}dx^{1}/dx^{2}end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}cos heta _{p}&-r_{p}sin heta _{p}/sin heta _{p}&r_{p}cos heta _{p}/end{bmatrix}}{ egin{bmatrix}dr/d heta /end{bmatrix}}}

wobei die Spalten der Matrix die Basisvektoren im Tangentialraum in . sind p sind und:

{displaystyle g_{mu u }dx^{mu }dx^{u }=(dr)^{2} r_{p}^{2}(d heta)^{2}}

das kann man kurz anmerken

{displaystyle (dr)^{2} r^{2}(d heta)^{2}}

Die Wertematrix ${displaystyle g_{mu u }}$ ist also diag(1,r²) und hängt somit von r aus.

Das Beispiel zeigt auch, dass die Dimension von ${displaystyle x^{mu}}$ kann davon abhängen ${Anzeigestil mu}$ . Diese Abmessungen sind hier längen- und dimensionslos. Die Dimension von ${displaystyle g_{mu u }}$ ist Länge zum Quadrat dividiert durch die Dimension der ${Anzeigestil mu}$ 'die Koordinate, und dividiert durch die Dimension der ${Anzeigestil u}$ 'die Koordinate, hier dimensionslos und längenquadrat.

Christophorus-Symbole

Das Christoffel-Symbole sind in Bezug auf den metrischen Tensor wie folgt definiert:

{displaystyle Gamma _{ eta gamma }^{alpha }={frac {1}{2}}g^{alpha epsilon }(partiell _{gamma }g_{ eta epsilon } partiell _{ eta }g_{gamma epsilon }- teilweise _{epsilon}g_{eta gamma})}

.

Die Dimension von ${displaystyle Gamma _{ eta gamma }^{alpha }}$ ist die Dimension des ${displaystyle alpha }$ 'die Koordinate, dividiert durch die Dimension der ${displaystyle eta }$ 'die Koordinate, und dividiert durch die Dimension der ${Displaystil-Gamma }$ die Koordinate.

Einige Sonderfälle:

${displaystyle g_{mu u }}$ hängt nicht vom Punkt im Raum ab. In diesem Fall, ${displaystyle Gamma _{ eta gamma }^{alpha }=0}$ .
Der Raum ist eindimensional. In diesem Fall gilt:

{displaystyle Gamma _{11}^{1}={frac {1}{2}}g^{11}partiell _{1}g_{11}}

.

Kovariante Ableitung

Für einen kontravarianten Tensor ${Displaystil A^{u}}$ wird der kovariante Ableitung ${displaystyle abla A^{u}}$ in dem ${Anzeigestil mu}$ -Richtung gegeben von

{displaystyle abla _{mu}A^{u}=partiell _{mu}A^{u} Gamma _{mu ho}^{u }A^{ho}}

und für einen kovarianten Tensor durch

{displaystyle abla _{mu }A_{u}=partiell _{mu}A_{u}-Gamma _{mu u}^{ho }A_{ho }}