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Eigene Zeit ist ein Konzept aus dem Relativitätstheorie, wahr absolute Zeit existiert nicht: Eigenzeit ist die Zeit, die zu einem bestimmten Weltlinie (Reise) abläuft (das Altern einer Person, die Reisezeit laut Uhr inklusive, der Grad der radioaktiver Zerfall, usw.).

Flacher Raum

Auf Weltlinien durch die Minkowski-Raum es gilt folgendes.

Wenn A und B jeweils eine konstante Geschwindigkeit haben und die Geschwindigkeit von B bezüglich A ist ${displaystyle v,}$, dann ist die richtige Zeit von B, die zwischen zwei Ereignissen in Bs Raumschiff verstrichen ist, gegeben durch

${displaystyle Delta au =Delta t{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$.

bei welchem ${Anzeigestil c,}$ ist die Lichtgeschwindigkeit, und ${Anzeigestil Delta t,}$ die gemäß den Uhren von A verstrichene Zeit (für synchrone Uhren von A, bei denen B passiert).

Bei variabler Geschwindigkeit wird daraus:

${displaystyle au =int d au =int {sqrt {1-{frac {v(t)^{2}}{c^{2}}}}}dt={frac {1}{c}}int {sqrt {dx^{mu}dx^{u}eta_{mu u}}},}$.

mit im letzten Schritt die Minkowski-Tensor${displaystyle eta _{mu u},}$ und der Einstein-Notation.

In jedem Koordinatensystem wird daraus:

${displaystyle au =int d au ={frac {1}{c}}int {sqrt {dx^{mu }dx^{u }g_{mu u }}}}$

jetzt sofort metrischer Tensor${displaystyle g_{mu u},}$ das genau wie ${displaystyle eta _{mu u},}$ hängt nicht von der Raumzeitposition ab und wird durch eine regelmäßige symmetrische Matrix gegeben.

Weltlinien mit einem gemeinsamen Start- und einem gemeinsamen Endpunkt

Für zwei Weltlinien mit einer Raum-Zeit-Position als gemeinsamem Ausgangspunkt und einer Raum-Zeit-Position als gemeinsamem Endpunkt können die beiden Eigenzeiten konkret verglichen werden. In einer symmetrischen Situation gibt es natürlich keinen Unterschied, aber wenn die Geschwindigkeit auf Fahrt A konstant ist und nicht auf Fahrt B, dann ist die Eigenzeit von B kürzer.

Gekrümmter Raum

In dem generelle Relativität man beschreibt auch "Krümmung des Raumes", gegeben durch a Krümmungstensor. Das metrischer Tensor${displaystyle g_{mu u},}$ hängt jetzt von der Raumzeitposition ab ${displaystyle x^{mu},}$. Dadurch ist keine globale Koordinatentransformation möglich, die G diagonalisiert.

Man erhält wie oben:

${displaystyle au =int d au ={frac {1}{c}}int {sqrt {dx^{mu }dx^{u }g_{mu u }}}}$

Damit verbunden, an jedem Punkt der Weltlinie für die vier GeschwindigkeitenV:

${Anzeigestil V^{mu}V^{u}g_{mu u}=c^{2}}$

Siehe auch

• Zeitdilatation
• Zwillingsparadoxon
• Minkowski-Raum
• Spezielle Relativitätstheorie
• Distanz (Mathematik)
• vier vektor
• Unterzeichnungskonvention