WikiDer > Nilpotentli matritsa

Yilda chiziqli algebra, a nilpotentli matritsa a kvadrat matritsa N shu kabi

${ displaystyle N ^ {k} = 0 ,}$

ba'zi ijobiy uchun tamsayı ${ displaystyle k}$. Eng kichigi ${ displaystyle k}$ deyiladi indeks ning ${ displaystyle N}$^[1], ba'zan daraja ning ${ displaystyle N}$.

Umuman olganda, a nilpotent o'zgarish a chiziqli transformatsiya ${ displaystyle L}$ a vektor maydoni shu kabi ${ displaystyle L ^ {k} = 0}$ ba'zi bir musbat tamsayı uchun ${ displaystyle k}$ (va shunday qilib, ${ displaystyle L ^ {j} = 0}$ Barcha uchun ${ displaystyle j geq k}$).^[2][3][4] Ushbu ikkala tushuncha ham umumiy tushunchaning maxsus holatlaridir nilpotensiya elementlariga tegishli uzuklar.

Misollar

1-misol

Matritsa

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {bmatrix}}}$

chunki indeks 2 bilan nilpotent bo'ladi ${ displaystyle A ^ {2} = 0}$.

2-misol

Umuman olganda, har qanday ${ displaystyle n}$- o'lchovli uchburchak matritsa bo'ylab nollar bilan asosiy diagonal nilpotent, indeks bilan ${ displaystyle leq n}$. Masalan, matritsa

${ displaystyle B = { begin {bmatrix} 0 & 2 & 1 & 6 0 & 0 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0 end {bmatrix}}}$

nilpotent, bilan

${ displaystyle B ^ {2} = { begin {bmatrix} 0 & 0 & 2 & 7 0 & 0 & 0 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {bmatrix}}; B ^ {3} = { begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 6 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end {bmatrix}}; B ^ {4} = { begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {bmatrix}}.}$

Ning indeksi ${ displaystyle B}$ shuning uchun 4 ga teng.

3-misol

Yuqoridagi misollarda juda ko'p nol yozuvlar mavjud bo'lsa-da, odatda nilpotentli matritsa yo'q. Masalan,

${ displaystyle C = { begin {bmatrix} 5 & -3 & 2 15 & -9 & 6 10 & -6 & 4 end {bmatrix}} qquad C ^ {2} = { begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 va 0 & 0 end {bmatrix}}}$

matritsada nol yozuvlari bo'lmasa ham.

4-misol

Bundan tashqari, shaklning har qanday matritsalari

${ displaystyle { begin {bmatrix} a_ {1} & a_ {1} & cdots & a_ {1} a_ {2} & a_ {2} & cdots & a_ {2} vdots & vdots & ddots & vdots - a_ {1} -a_ {2} - ldots -a_ {n-1} & - a_ {1} -a_ {2} - ldots -a_ {n-1} & ldots & -a_ {1} -a_ {2} - ldots -a_ {n-1} end {bmatrix}}}$

kabi

${ displaystyle { begin {bmatrix} 5 & 5 & 5 6 & 6 & 6 - 11 & -11 & -11 end {bmatrix}}}$

yoki

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 4 4 & 4 & 4 & 4 - 7 & -7 & -7 & -7 end {bmatrix}}}$

kvadrat nolga.

5-misol

Ehtimol, nilpotent matritsalarning eng yorqin misollari ${ displaystyle n times n}$ kvadratning matritsalari:

${ displaystyle { begin {bmatrix} 2 & 2 & 2 & cdots & 1-n n + 2 & 1 & 1 & cdots & -n 1 & n + 2 & 1 & cdots & -n 1 & 1 & n + 2 & cdots & -n vdots & vdots & vdots & ddots & vdots end {bmatrix}}}$

Ularning bir nechtasi:

${ displaystyle { begin {bmatrix} 2 & -1 4 & -2 end {bmatrix}} qquad { begin {bmatrix} 2 & 2 & -2 5 & 1 & -3 1 & 5 & -3 end {bmatrix}} qquad { begin {bmatrix} 2 & 2 & 2 & -3 6 & 1 & 1 & -4 1 & 6 & 1 & -4 1 & 1 & 6 & -4 end {bmatrix}} qquad { begin {bmatrix} 2 & 2 & 2 & 2 & -4 7 & 1 & 1 & 1 & -5 1 & 7 & 1 & 1 & -5 1 & 1 & 7 & 1 & -5 1 & 1 & 1 & 7 & -5 end {bmatrix}} qquad ldots}$

Ushbu matritsalar nilpotent, ammo ularning biron bir kuchida indeksdan kam nol yozuvlar mavjud emas.^[5]

Xarakteristikasi

Ushbu bo'lim emas keltirish har qanday manbalar. Iltimos yordam bering ushbu bo'limni yaxshilang tomonidan ishonchli manbalarga iqtiboslarni qo'shish. Manbaga ega bo'lmagan materialga qarshi chiqish mumkin va olib tashlandi. (2018 yil may) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Uchun ${ displaystyle n times n}$ kvadrat matritsa ${ displaystyle N}$ bilan haqiqiy (yoki murakkab) yozuvlar, quyidagilar teng:

• ${ displaystyle N}$ nolpotent.
• The xarakterli polinom uchun ${ displaystyle N}$ bu ${ displaystyle det left (xI-N right) = x ^ {n}}$.
• The minimal polinom uchun ${ displaystyle N}$ bu ${ displaystyle x ^ {k}}$ ba'zi bir musbat tamsayı uchun ${ displaystyle k leq n}$.
• Uchun yagona o'ziga xos qiymat ${ displaystyle N}$ 0 ga teng.
• tr(N^k) = 0 hamma uchun ${ displaystyle k> 0}$.

So'nggi teorema matritsalar uchun to'g'ri keladi maydon xarakteristikasi 0 yoki etarlicha katta xarakteristikasi. (qarang Nyutonning o'ziga xosliklari)

Ushbu teorema bir nechta oqibatlarga olib keladi, jumladan:

• An indeksi ${ displaystyle n times n}$ nilpotentli matritsa har doim kichik yoki unga teng ${ displaystyle n}$. Masalan, har biri ${ displaystyle 2 times 2}$ nolpotentli matritsa kvadratlari nolga teng.
• The aniqlovchi va iz nilpotentli matritsaning har doim nolga teng. Binobarin, nilpotentli matritsa bo'lishi mumkin emas teskari.
• Yagona nilpotent diagonalizatsiya qilinadigan matritsa nol matritsa.

Tasnifi

Ni ko'rib chiqing ${ displaystyle n times n}$ smenali matritsa:

${ displaystyle S = { begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & ldots & 0 0 & 0 & 1 & ldots & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & ldots & 1 0 & 0 & 0 & ldots & 0 oxiri {bmatrix}}.}$

Ushbu matritsaning bo'ylab 1 sonlari mavjud superdiagonal va hamma joyda 0-lar. Chiziqli transformatsiya sifatida siljish matritsasi vektorning tarkibiy qismlarini bitta pozitsiyani chapga "siljitadi" va oxirgi holatda nol paydo bo'ladi:

${ displaystyle S (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) = (x_ {2}, ldots, x_ {n}, 0).}$^[6]

Ushbu matritsa daraja bilan nolpotentdir ${ displaystyle n}$, va kanonik nilpotentli matritsa.

Xususan, agar ${ displaystyle N}$ har qanday nolpotent matritsa, keyin ${ displaystyle N}$ bu o'xshash a blokli diagonali matritsa shaklning

${ displaystyle { begin {bmatrix} S_ {1} & 0 & ldots & 0 0 & S_ {2} & ldots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & ldots & S_ {r} oxiri {bmatrix}}}$

bloklarning har biri ${ displaystyle S_ {1}, S_ {2}, ldots, S_ {r}}$ smenali matritsa (ehtimol har xil o'lchamlarda). Ushbu forma Iordaniya kanonik shakli matritsalar uchun.^[7]

Masalan, nolpotentli har qanday nol bo'lmagan matritsa matritsaga o'xshaydi

${ displaystyle { begin {bmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {bmatrix}}.}$

Ya'ni, agar ${ displaystyle N}$ har qanday nolpotentli matritsa 2 × 2 bo'lsa, unda asos mavjud b₁, b₂ shu kabi Nb₁ = 0 va Nb₂ = b₁.

Ushbu tasnif teoremasi har qanday matritsa uchun amal qiladi maydon. (Maydonning algebraik tarzda yopilishi shart emas.)

Subspaces bayrog'i

Nilpotent o'zgarish ${ displaystyle L}$ kuni ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ tabiiy ravishda belgilaydi a bayroq subspaces

${ displaystyle {0 } subset ker L subset ker L ^ {2} subset ldots subset ker L ^ {q-1} subset ker L ^ {q} = mathbb { R} ^ {n}}$

va imzo

${ displaystyle 0 = n_ {0}$

Imzo xarakterlanadi ${ displaystyle L}$ qadar teskari chiziqli transformatsiya. Bundan tashqari, u tengsizlikni qondiradi

${ displaystyle n_ {j + 1} -n_ {j} leq n_ {j} -n_ {j-1}, qquad { mbox {for all}} j = 1, ldots, q-1.}$

Aksincha, ushbu tengsizlikni qondiradigan har qanday tabiiy sonlar ketma-ketligi nilpotent o'zgarishning imzosidir.

Qo'shimcha xususiyatlar

• Agar ${ displaystyle N}$ nolpotent bo'lsa ${ displaystyle I + N}$ va ${ displaystyle I-N}$ bor teskari, qayerda ${ displaystyle I}$ bo'ladi ${ displaystyle n times n}$ identifikatsiya matritsasi. Teskari tomonlar tomonidan berilgan

${ displaystyle { begin {aligned} (I + N) ^ {- 1} & = displaystyle sum _ {m = 0} ^ { infty} left (-N right) ^ {m} = I -N + N ^ {2} -N ^ {3} + N ^ {4} -N ^ {5} + N ^ {6} -N ^ {7} + cdots, (IN) ^ {- 1} & = displaystyle sum _ {m = 0} ^ { infty} N ^ {m} = I + N + N ^ {2} + N ^ {3} + N ^ {4} + N ^ { 5} + N ^ {6} + N ^ {7} + cdots end {hizalanmış}}}$

Modomiki, hamonki; sababli, uchun ${ displaystyle N}$ nolpotent, ikkala sum ham birlashadi, chunki juda ko'p atamalar nolga teng.

• Agar ${ displaystyle N}$ nolpotent bo'lsa

${ displaystyle det (I + N) = 1, ! ,}$

qayerda ${ displaystyle I}$ belgisini bildiradi ${ displaystyle n times n}$ identifikatsiya matritsasi. Aksincha, agar ${ displaystyle A}$ bu matritsa va

${ displaystyle det (I + tA) = 1 ! ,}$

ning barcha qiymatlari uchun ${ displaystyle t}$, keyin ${ displaystyle A}$ nolpotent. Aslida, beri ${ displaystyle p (t) = det (I + tA) -1}$ daraja polinomidir ${ displaystyle n}$, buni ushlab turish kifoya ${ displaystyle n + 1}$ ning aniq qiymatlari ${ displaystyle t}$.

• Har bir yagona matritsa nilpotent matritsalar mahsuloti sifatida yozilishi mumkin.^[8]
• Nilpotentli matritsa - bu $ a $ ning alohida holati konvergent matritsa.

Umumlashtirish

A chiziqli operator ${ displaystyle T}$ bu mahalliy nilpotent agar har bir vektor uchun bo'lsa ${ displaystyle v}$, mavjud a ${ displaystyle k in mathbb {N}}$ shu kabi

${ displaystyle T ^ {k} (v) = 0. ! ,}$

Sonli o'lchovli vektor maydonidagi operatorlar uchun lokal nilpotentsiya nilpotentsiyaga tengdir.

Izohlar

Adabiyotlar

• Beuregard, Raymond A.; Fraley, Jon B. (1973), Chiziqli algebra bo'yicha birinchi kurs: guruhlar, halqalar va maydonlarga ixtiyoriy kirish bilan, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
• Gershteyn, I. N. (1975), Algebradagi mavzular (2-nashr), John Wiley & Sons
• Nering, Evar D. (1970), Chiziqli algebra va matritsa nazariyasi (2-nashr), Nyu-York: Vili, LCCN 76091646

Tashqi havolalar

• Nilpotentli matritsa va nilpotent o'zgarish kuni PlanetMath.