WikiDer > Nullteiler

Nuldeler

In dem abstrakte Algebra heißt a Element von a Ring ein Nullteiler wenn das Element selbst nicht 0 ist und mit einem anderen Element ungleich 0 multipliziert ergibt 0 als Produkt. EIN Nullteiler ist sozusagen ein Teiler von 0. Zu unterscheiden linke Nullteiler und richtiger Nullteiler abhängig davon, ob der Nullteiler der linke oder rechte Faktor im Produkt ist. Wenn ein Element sowohl einen linken als auch einen rechten Nullteiler hat, wird es einfach a Nullteiler erwähnt. Als die Multiplikation im Ring kommutativ , jeder linke oder rechte Nullteiler ist ein Nullteiler. Ein Element eines Rings ungleich Null, das weder ein linker noch ein rechter Nullteiler ist, heißt regulär erwähnt.

Definition

Ein Element ${displaystyle aeq 0}$ eines Rings ${Anzeigestil R}$ heißt a linker Nullteiler wenn es einen gibt ${displaystyle bin R,beq 0}$ , so dass ${Anzeigestil ab=0.}$

Analog heiß ${Anzeigestil a}$ ein richtiger Nullteiler wenn es einen gibt ${displaystyle bin R,beq 0}$ , so dass ${displaystyle ba=0.}$

Ist ${Anzeigestil a}$ sowohl ein linker als auch ein rechter Nullteiler, dann heißt a Nullteiler.

Beispiele

Der Ring ${displaystyle mathbb {Z} }$ des ganze Zahlen hat keine Nullteiler.
Bei der modulare Mathematik erfinde die Zahlen ${displaystyle {overline {n}}={0,1,ldots,n-1}}$ ein Ring. wenn ${displaystyle n}$ ist eine Primzahl oder eine Potenz einer Primzahl ist ${displaystyle {overline {n}}}$ sogar ein Feld/Feld und es gibt keine Nullteiler. In allen anderen Fällen sind die reellen Teiler von ${displaystyle n}$ Nullteiler. Zum Beispiel sind modulo 12 die Zahlen 2, 3, 4 und 6 reelle Teiler von 12 und somit Nullteiler: ${displaystyle 2 mal 6=3 mal 4=0{pmod {12}}}$
Ein Beispiel für einen Nullteiler im Ring der 2脳2-Matrizen ist die Matrix

{displaystyle { start{pmatrix}1&1/2&2end{pmatrix}}}

weil zum Beispiel

{displaystyle { egin{pmatrix}1&1/2&2end{pmatrix}}cdot { egin{pmatrix}1&1/-1&-1end{pmatrix}}={ egin{pmatrix}-2&1/-2&1end{pmatrix}}cdot { egin{pmatrix }1&1/2&2end{pmatrix}}={ egin{pmatrix}0&0/0&0end{pmatrix}}.}

Häufiger in den Ring von ring fallen ${Anzeigestil n imes n}$ -Matrizen über einem beliebigen Körper/Feld der linke und der rechte Nullteiler zusammen; sie sind genau die Nicht-Null- singuläre Matrizen. Im Ring der ${Anzeigestil n imes n}$ -Matrizen über einem beliebigen Integritätsdomäne sind die Nullteiler genau die von Null verschiedenen Matrizen mit bestimmend Null.
Der Ring darunter enthält Elemente, die nur einseitige Nullteiler sind. spät ${Anzeigestil S}$ sind die Reihen von ganzen Zahlen ${displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},ldots).}$ Für den Ring nehmen Sie alle additiven Bilder von ${Anzeigestil S}$ auf ${Anzeigestil S}$ , mit Punktaddition und Komposition als Ringoperationen. Der Ring ist also ${displaystyle mathrm {End} (S)}$ , das Endomorphismen des Additivgruppe ${displaystyle S.}$ Drei Elemente in diesem Ring sind die richtige Verschiebung ${displaystyle R(a_{1},a_{2},a_{3},ldots)=(0,a_{1},a_{2},a_{3},ldots),}$ die Linksverschiebung ${Anzeigestil L(a_{1},a_{2},a_{3},ldots)=(a_{2},a_{3},ldots),}$ und eine Projektion ${Anzeigestil T(a_{1},a_{2},a_{3},ldots )=(a_{1},0,0,ldots).}$ Alle diese drei additiven Bilder sind nicht Null, aber die Kompositionen ${displaystyle LT}$ und ${displaystyle TR}$ sind beide null, also ${Anzeigestil L}$ ein linker Nullteiler und ${Anzeigestil R}$ ist ein rechter Nullteiler im Ring der additiven Bilder ${Anzeigestil S}$ auf ${Anzeigestil S}$ . Das Bild ${Anzeigestil L}$ ist jedoch kein richtiger Nullteiler und ${Anzeigestil R}$ kein linker Nullteiler. Die Zusammensetzung ${displaystyle LR}$ ist die Identität, und wenn ja, eine beliebige additive Karte ${displaystyle f}$ von ${Anzeigestil S}$ auf ${Anzeigestil S}$ trifft ${Anzeigestil fL=0,}$ dann folgt ${Anzeigestil 0=(fL)R=f(LR)=f1=f}$ und in gleicher Weise folgt aus ${Anzeigestil Rf=0}$ Welche ${Anzeigestil f=0.}$
Im vorherigen Beispiel, ${Anzeigestil RL}$ ein linker Nullteiler, weil ${Anzeigestil (RL)T=R(LT)=0,}$ weil ${Anzeigestil LT=0,}$ aber ${Anzeigestil RL}$ ist weder linker noch rechter Nullteiler, denn ${Anzeigestil RL=1.}$
Die additiven Bilder von ${Anzeigestil S}$ zu ${Anzeigestil S}$ kann dargestellt werden als zählbar unendlich Matrizen. Die Matrix

${displaystyle quad A={ egin{pmatrix}0&1&0&0&0&/0&0&1&0&0&cdots /0&0&0&1&0&/0&0&0&0&1&/&&vdots &&&ddots end{pmatrix}}}$

zum Beispiel die Bildersätze ${Anzeigestil L}$ vor und die transponierte Matrix ${Displaystil B=A^{T}}$ die richtige Verschiebung ${Displaystil R.}$ Welche ${Anzeigestil AB}$ das Einheitenmatrix ist das gleiche wie das zu sagen ${displaystyle LR}$ die Identität ist. Die Matrix ${Anzeigestil A}$ ist ein linker Nullteiler, aber kein rechter Nullteiler.

Eigenschaften

Linker und rechter Nullteiler können nicht Einheit sein. Immerhin, wenn ${Anzeigestil a}$ ist eine Einheit, dann ist ${displaystyle ba=ab=beq 0}$ für alle ${displaystyle beq 0.}$

Jeder idempotent ${displaystyle aeq 0,aeq 1}$ ist ein Nullteiler, da ${displaystyle a^{2}=a}$ , So ${Anzeigestil a(a-1)=(a-1)a=0.}$ nilpotent Ringelemente ungleich 0 sind trivialerweise Nullteiler.