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Das Operatortheorie oder Theorie der linearen Operatoren ist Teil von Funktionsanalyse, wiederum eine Filiale der Mathematik.

Beschreibung und Motivation

Die Operatortheorie untersucht die Eigenschaften von lineare Bilder zwischen topologische Vektorräume. Es findet seinen Ursprung in der Arbeit von Erik Ivar Fredholm Über Integralgleichungen. Der Name kommt wahrscheinlich vom Titel des Buches von Stefan Banach, Theorie des opérations linéaires (1932).

Mathematiker hatten schon viel früher bemerkt, dass einige Operationen aus dem Analyse als lineare Abbildungen zwischen Funktionsmengen verstanden werden könnten. Der große Durchbruch kam, als ab Ende des 19. Jahrhunderts wichtige Ergebnisse zustande kamen Matrizen wurden auf die unendlich-dimensionalen Vektorräume verallgemeinert, die diese Funktionsmengen tatsächlich sind.

Die klassische Operatortheorie beschränkt sich auf kontinuierlich lineare Abbildungen zwischen topologischen Vektorräumen,

${Anzeigestil f:V oder W}$

Insbesondere die Quantenmechanik macht es notwendig, auch diskontinuierliche Bilder (sog. unbegrenzte Operatoren), deren Domäne nicht die gesamte Quellmenge ist (Teilfunktion)

${displaystyle f:D o W, Dsubset V}$

Um brauchbare Ergebnisse zu erhalten, werden an solche unbeschränkten Operatoren in der Regel Randbedingungen gestellt, zum Beispiel: die Domain Lügen schließen in der Quellensammlung und die Diagramm

${displaystyle mathrm {Graf} (f)={(v,w)|vin D, f(v)=w}}$

ist ein Geschlossen Teilmenge der kartesisches Produkt${displaystyle Mumm W}$ mit dem Produkttopologie. Solche Operatoren heißen einfach Geschlossen.

Die bekanntesten Beispiele für solche unbeschränkten Operatoren in der Quantenmechanik sind Schrödinger-Operatoren.

Einige wichtige Ergebnisse

Die unten aufgeführten Theoreme beziehen sich auf Banachräume. Es gibt teilweise Verallgemeinerungen auf breitere Klassen topologischer Vektorräume.

Satz des geschlossenen Graphen

Ein wichtiges Ergebnis ist die Satz des geschlossenen Graphen:

Wenn ein linearer Operator zwischen banach räume ist überall definiert (d.h. sein Definitionsbereich ist der gesamte Raum) und hat einen geschlossenen Graphen, er ist stetig.

Bildsatz öffnen

(Ebenfalls Satz von Banach-Schauder erwähnt, um Verwechslungen mit dem offenen Abbildungssatz aus dem komplexe Analyse)

EIN surjektiv stetiger linearer Operator zwischen Banach-Räumen zeigt offene Sammlungen basierend auf offenen Sammlungen.

Grundsatz der einheitlichen Begrenzung

(Ebenfalls Banach-Steinhaus-Theorem erwähnt)

Die Stetigkeit eines linearen Operators kann wie folgt ausgedrückt werden: für jede Umgebung ${Anzeigestil B}$ des Nullvektor von ${Anzeigestil W}$ Gibt es eine Umgebung? ${Anzeigestil A}$ des Nullvektors von ${Anzeigestil V}$ der drinnen ${Anzeigestil B}$ wird gezeigt.

Eine Familie von linearen Bildern heißt gleichkontinuierlich wenn es die obige Eigenschaft einheitlich erfüllt, d. h. für jede Umgebung ${Anzeigestil B}$ des Nullvektors von ${Anzeigestil W}$ es gibt eine umgebung ${Anzeigestil A}$ des Nullvektors von ${Anzeigestil V}$ existiert von allen Mitgliedern der Familie innerhalb ${Anzeigestil B}$ wird gezeigt.

Als Familie stetiger linearer Abbildungen von a Banach-Raum${Anzeigestil V}$ zu einer standardisierter Raum${Anzeigestil W}$ jeder punkt von ${Anzeigestil V}$ bildet auf eine begrenzte Menge von Punkten von ab ${Anzeigestil W,}$ dann ist die Bildfamilie gleichkontinuierlich.

Spektrum kompakter Operatoren

Das nächste Ergebnis von Frigyes Rieszo über die Spektrum von a kompakt Operator zwischen einem Banach-Raum und sich selbst, war ursprünglich für das Studium von Integralgleichungen wichtig.

Das Spektrum eines kompakten Operators in einem Banachraum ist höchstens zählbar. Alle Spektralwerte außerhalb von 0 sind isoliert Eigenwerte mit endlicher Vielheit. Wenn es unendlich viele solcher Eigenwerte gibt, dann ist 0 ihr einziger Sammelpunkt. Gibt es endlich viele solcher Eigenwerte, dann ist Statue des endlichdimensionalen Operators.

Operator hinzugefügt

Für eine stetige lineare Abbildung zwischen topologischen Vektorräumen

${Anzeigestil T:X oder Y}$

hört natürlich eine kontinuierliche lineare Karte zwischen den duale topologische Vektorräume

${Anzeigestil T^{*}:Y^{*} oder X^{*}}$

Siehe dazu den Hauptartikel Operator hinzugefügt.

Einige wichtige Bereiche

• Studium von Banach-Algebra's
• Studium von Betreiber-Halbgruppen
• Spektralrechnung
• Untersuchung von beschränkten und unbeschränkten Operatoren in Hilbert-Räume, insbesondere das Studium von normale Betreiber und selbst hinzugefügte Operatoren.