WikiDer > Peano yadrosi teoremasi

Peano kernel theorem

Yilda raqamli tahlil, Peano yadrosi teoremasi raqamli yaqinlashuvning keng klassi uchun xato chegaralarida umumiy natijadir (masalan sonli kvadratchalar) bilan belgilanadi chiziqli funktsiyalar. Bunga bog'liq Juzeppe Peano.^[1]

Bayonot

Ruxsat bering ${ displaystyle { mathcal {V}} [a, b]}$ barchaning makoni bo'ling farqlanadigan funktsiyalar ${ displaystyle f}$ uchun belgilangan ${ displaystyle x in (a, b)}$ ular chegaralangan o'zgarish kuni ${ displaystyle [a, b]}$ va ruxsat bering ${ displaystyle L}$ bo'lishi a chiziqli funktsional kuni ${ displaystyle { mathcal {V}} [a, b]}$ . Buni taxmin qiling ${ displaystyle f}$ bu ${ textstyle nu +1}$ marta doimiy ravishda farqlanadigan va bu ${ displaystyle L}$ yo'q qiladi darajadagi barcha polinomlar ${ displaystyle leq nu}$ , ya'ni

{ displaystyle Lp = 0, qquad forall p in mathbb {P} _ { nu} [x].}

Bundan tashqari, har qanday kishi uchun ikki tomonlama funktsiya

{ displaystyle g (x, theta)}

bilan

{ displaystyle g (x, cdot), , g ( cdot, theta) in C ^ { nu +1} [a, b]}

, quyidagilar amal qiladi:

{ displaystyle L int _ {a} ^ {b} g (x, theta) , d theta = int _ {a} ^ {b} Lg (x, theta) , d theta, }

va ni aniqlang Peano yadrosi ning

{ displaystyle L}

kabi

{ displaystyle k ( theta) = L [(x- theta) _ {+} ^ { nu}], qquad theta in [a, b],}

yozuvlarni kiritish

{ displaystyle (x- theta) _ {+} ^ { nu} = { begin {case} (x- theta) ^ { nu}, & x geq theta, 0, & x leq theta. end {case}}}

The Peano yadrosi teoremasi keyin buni ta'kidlaydi

{ displaystyle Lf = { frac {1} { nu!}} int _ {a} ^ {b} k ( theta) f ^ {( nu +1)} ( theta) , d teta,}

taqdim etilgan

{ displaystyle k in { mathcal {V}} [a, b]}

.^[1]^[2]

Chegaralar

Qiymatining bir necha chegaralari ${ displaystyle Lf}$ ushbu natijadan foydalaning:

{ displaystyle { begin {aligned} | Lf | & leq { frac {1} { nu!}} | k | _ {1} | f ^ {( nu +1)}} | _ { infty} [5pt] | Lf | & leq { frac {1} { nu!}} | k | _ { infty} | f ^ {( nu +1)} | _ {1} [5pt] | Lf | & leq { frac {1} { nu!}} | K | _ {2} | f ^ {( nu +1)} | _ {2} end {hizalangan}}}

qayerda ${ displaystyle | cdot | _ {1}}$ , ${ displaystyle | cdot | _ {2}}$ va ${ displaystyle | cdot | _ { infty}}$ ular taksik, Evklid va maksimal normalar navbati bilan.^[2]

Ilova

Amalda Peano yadrosi teoremasining asosiy qo'llanilishi hamma uchun aniq bo'lgan taxminiy xatolarni bog'lashdir. ${ displaystyle f in mathbb {P} _ { nu}}$ . Yuqoridagi teorema Teylor polinomi uchun ${ displaystyle f}$ ajralmas qoldiq bilan:

{ displaystyle { begin {aligned} f (x) = f (a) + {} & (xa) f '(a) + { frac {(xa) ^ {2}} {2}} f' ' (a) + cdots [6pt] & cdots + { frac {(xa) ^ { nu}} { nu!}} f ^ { nu} (a) + { frac {1} { nu!}} int _ {a} ^ {x} (xa) ^ { nu} f ^ {( nu +1)} ( theta) , d theta, end {hizalangan}} }

belgilaydigan ${ displaystyle L (f)}$ dan foydalanib, taxminiy xato sifatida chiziqlilik ning ${ displaystyle L}$ aniqligi bilan birga ${ displaystyle f in mathbb {P} _ { nu}}$ tugmachasini o'ng tomonida yo'q qilish va ${ displaystyle ( cdot) _ {+}}$ o'chirish uchun yozuv ${ displaystyle x}$ -integral integral chegaralaridan bog'liqlik.^[3]

Shuningdek qarang

Bo'lingan farqlar

Adabiyotlar

^ ^a ^b Ridgvey Skott, L. (2011). Raqamli tahlil. Princeton, NJ: Princeton University Press. pp.209. ISBN 9780691146867. OCLC 679940621.
^ ^a ^b Iserles, Arie (2009). Differentsial tenglamalarni sonli tahlil qilishning birinchi kursi (2-nashr). Kembrij: Kembrij universiteti matbuoti. pp.443–444. ISBN 9780521734905. OCLC 277275036.
^ Izerlar, Arie (1997). "Raqamli tahlil" (PDF). Olingan 2018-08-09.

[Ridgway_Scott_2011-1] Ridgvey Skott, L. (2011). Raqamli tahlil. Princeton, NJ: Princeton University Press. pp.209. ISBN 9780691146867. OCLC 679940621.

[Iserles_2009-2] Iserles, Arie (2009). Differentsial tenglamalarni sonli tahlil qilishning birinchi kursi (2-nashr). Kembrij: Kembrij universiteti matbuoti. pp.443–444. ISBN 9780521734905. OCLC 277275036.

[3] Izerlar, Arie (1997). "Raqamli tahlil" (PDF). Olingan 2018-08-09.

[1]

[2]

[3]

Navigation