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Das Pellzahlen sind ein unendlicher Mathematiker Warteschlange von positiven ganzen Zahlen, benannt nach dem englischen Mathematiker John Pello (1611-1685). Neben den Pell-Zahlen unterscheidet man auch Pellzahlen der zweiten Art oder Pell-Lucas-Zahlen (Englisch: Gefährten-Pell-Nummern). Beide Zeilen sind definiert durch a Rekursionsbeziehung.

Die Pell-Zahlen

Die Pell-Zahlen werden durch die folgende Rekursionsbeziehung definiert:

${displaystyle P_{n}={ egin{cases}0&{mbox{for }}n=0;/1&{mbox{for }}n=1;/2P_{n-1} P_{n-2}&{ mbox{for }}ngeq 2.end{cases}}}$

Diese Zeile beginnt also mit 0 und 1 und jede nachfolgende Zahl wird erhalten, indem die vorherige Zahl zweimal zur Zahl davor addiert wird. Die Zeile beginnt also so:

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378...(Reihe A000129 im OEIS)

Es gibt auch einen geschlossenen Ausdruck für die n-te Pell-Zahl:

${displaystyle P_{n}={frac {(1 {sqrt {2}})^{n}-(1-{sqrt {2}})^{n}}{2{sqrt {2}}}}. }$

Pell-Zahlen zweiter Art (Pell-Lucas-Zahlen)

Diese Zahlenfolge wird durch die folgende Rekursionsbeziehung definiert:

${displaystyle Q_{n}={ egin{cases}2&{mbox{for }}n=0;/2&{mbox{for }}n=1;/2Q_{n-1} Q_{n-2}&{ mbox{for }}ngeq 2.end{cases}}}$

Die Folge beginnt also mit 2 und 2, und die folgenden Zahlen werden auf die gleiche Weise wie oben erhalten: indem die vorherige Zahl zweimal zur vorherigen Zahl addiert wird.

Die ersten Zahlen in dieser Zeile sind:
2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, ...(Reihe A002203 im OEIS)

Für diese Sequenz gilt folgender geschlossener Ausdruck:

${displaystyle Q_{n}=(1 {sqrt {2}})^{n} (1-{sqrt {2}})^{n}.}$

Beachten Sie, dass, wenn nein groß, der erste Term dieses Ausdrucks überwiegt, so dass gesagt werden kann, dass der nein-die Pell-Lucas-Zahl ist eine Näherung für ${displaystyle (1 {sqrt {2}})^{n}}$; man hat zum Beispiel:

${displaystyle Q_{4}=34simeq (1 {sqrt {2}})^{4}=33,97056275dots ,}$

${displaystyle Q_{8}=1154simeq (1 {sqrt {2}})^{8}=1153,999133dots ,}$

Annäherung an die Quadratwurzel aus zwei

Man kann die Pell-Zahlen verwenden, um eine genaue Ansatz des Quadratwurzel aus zwei berechnen. Das Verhältnis von zwei aufeinanderfolgenden Pell-Zahlen oder Pell-Lucas-Zahlen nimmt tendenziell zu nein immer mehr zu ${displaystyle (1 {sqrt {2}})^{n}}$. Daraus folgt, dass eine Näherung von ${displaystyle scriptstyle {sqrt {2}}}$ erhalten, indem man eine Pell- oder Pell-Lucas-Zahl durch die vorangehende Zahl teilt und eins vom Quotienten subtrahiert; beispielsweise:

2378/985 - 1 = 1,414213... oder

478/198 - 1 = 1,4141414...

Die Näherung wird besser, wenn man größere Zahlen nimmt.

Die Reihe Brüche Mit als Nenner die Pell-Zahlen (außer der ersten) und wenn Zähler Hälfte der entsprechenden Pell-Zahlen zweiter Art, bildet eine immer genauere rational Ansatz von ${displaystyle scriptstyle {sqrt {2}}}$:

${displaystyle 1,{frac {3}{2}},{frac {7}{5}},{frac {17}{12}},{frac {41}{29}},{frac {99}{ 70}},{frac {239}{169}}Punkte}$

Das sind Brüche ${displaystyle { frac {x}{y}}}$ wahr X und ja bilden eine Lösung von Pell-Gleichung${displaystyle displaystyle x^{2}-2y^{2}=pm 1}$.

Sie werden durch das Unendliche erhalten Kettenbruch vor dem ${displaystyle scriptstyle {sqrt {2}}}$ nach endlich vielen Termen zerlegen:

${displaystyle {sqrt {2}}=1 {cfrac {1}{2 {cfrac {1}{2 {cfrac {1}{2 {cfrac {1}{2 {cfrac {1}{2 ddots ,}}} }}}}}}}}.}$

Auf diese Weise erhält man sukzessive:

${displaystyle 1 {frac {1}{2}}={frac {3}{2}},1 {cfrac {1}{2 {frac {1}{2}}}}={frac {7}{5 }},1 {cfrac {1}{2 {cfrac {1}{2 {frac {1}{2}}}}}}={frac {17}{12}},Punkte .}$

Eine andere Möglichkeit, dies zu erreichen, ist die wiederholte Anwendung der Bild${displaystyle f(a/b)={frac {a 2b}{a b}}}$, beginnen mit ${Anzeigestil a=b=1}$.

Pell-Primzahlen

Eine Pell-Primzahl ist eine Pell-Zahl, die auch a . hat Primzahl ist. Die ersten Pell-Primzahlen sind:

2, 5, 29, 5741, ... (Reihe A086383 im OEIS).

Eine Pell-Zahl ${displaystyle P_{n}}$ kann nur prim sein, wenn nein ist auch prima.