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Die Hypotenuse eines rechtwinkligen und gleichschenkligen Dreiecks mit rechtwinkligen Seiten 1 hat die Länge √2

Das Quadratwurzel von (oder von) 2, geschrieben als √2, ist es positivreelle Zahl die mit sich selbst multipliziert gleich der Zahl 2:

${displaystyle {sqrt {2}}>0}$ und ${displaystyle {sqrt {2}} imes {sqrt {2}}=2}$

√2 ist a irrationale Zahl was ungefähr gleich ist^[1]:

1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875....

die Pause 99/70 wird oft als Näherung für √2 verwendet. Diese Näherung ist bis einschließlich der vierten Dezimalstelle korrekt.

Nach der Definition von gebrochen Kräfte kann auch geschrieben werden: ${displaystyle {sqrt {2}}=2^{frac {1}{2}}}$.

Geschichte

Tontafel YBC 7289 (ca. 1800–1600 v. Chr.)

Es Babylonisch Tontafel YBC 7289^[2]von ca. 1800-1600 v. gibt eine Näherung von √2 in vier sexagesimale Ziffern, das entspricht etwa sechs Dezimalstellen

${displaystyle 1 {frac {24}{60}} {frac {51}{60^{2}}} {frac {10}{60^{3}}}={frac {30547}{21600}}=1 {,}41421{overline {296}}}$

Wo der durchgestrichene Teil sich wiederholend (wiederholt).

Eine weitere genaue Näherung der Zahl ist in alter Indianer mathematische Texte, die Sulbasutras, von etwa 800-200 v. Chr.: Erhöhen Sie die Länge [der Seite] um das Drittel und dieses Drittel um das eigene Viertel minus den vierunddreißigsten Teil dieses Viertels.^[3] Das kommt darauf an,

${displaystyle 1 {frac {1}{3}} {frac {1}{3 imes 4}}-{frac {1}{3 imes 4 imes 34}}={frac {577}{408}}ca. 1{ ,}414215686}$

Dieser altindische Ansatz ist der siebte in einer Reihe von immer genaueren Annäherungen basierend auf pell serie, die sich aus dem Kettenbruch von √2 ableiten lässt.

Ansätze

Irrationale Zahlen: (3) √2 √3√5φeπ
Verschiedene Darstellungen von √2
binär	1,0110101000001001111...
Dezimal	1,4142135623730950488...
hexadezimal	1,6A09E667F3BCC908B2F...
Kettenbruch	${displaystyle 1 {cfrac {1}{2 {cfrac {1}{2 {cfrac {1}{2 {cfrac {1}{2 ddots }}}}}}}}}$

Es gibt eine Zahl Algorithmen zu ${displaystyle {sqrt {2}}}$ kann als Bruch von ganzen Zahlen oder als Dezimalzahl angenähert werden. Der am häufigsten verwendete Algorithmus dafür, der auch in Computern und Taschenrechnern weit verbreitet ist, ist die babylonische Methode^[4] zu Möhren berechnen.

Die Methode geht von der folgenden Gleichheit aus:

${displaystyle {sqrt {2}}={frac {1}{2}}left({sqrt {2}} {frac {2}{sqrt {2}}}ight)}$

Mit einem Startwert ${displaystyle a_{0}>0}$, was eine grobe Annäherung an √2 ist, dann wird √2 besser angenähert, indem der folgende Iterationsschritt durchgeführt wird:

${displaystyle a_{n 1}={frac {1}{2}}links(a_{n} {frac {2}{a_{n}}}ight)={frac {a_{n}}{2}} {frac {1}{a_{n}}}}$

wenn ${Anzeigestil a}$ ist die Grenze dieses Prozesses:

${displaystyle a={frac {a}{2}} {frac {1}{a}}}$,

So ${Displaystil a^{2}=2}$.

Je mehr Iterationen, desto besser wird die Approximation. Jede Iteration verdoppelt die Anzahl der korrekten Dezimalstellen (quadratisch Konvergenz). Beginnt mit

${displaystyle a_{0}=1}$,

dann sind die folgenden Näherungen (die richtigen Zahlen sind unterstrichen) in der Reihenfolge gegeben durch:

${displaystyle a_{1}=3/2={unterstreichen {1}}{,}5}$

${displaystyle a_{2}=17/12={unterstreichen {1{,}41}}6ldots }$

${displaystyle a_{3}=577/408={unterstreichen {1{,}41421}}5ldots }$

${displaystyle a_{4}=665857/470832={unterstreichen {1{,}41421356237}}46ldots }$

Diese Methode funktioniert nicht nur für zwei, so kann die Wurzel einer beliebigen Zahl, falls sie positiv ist, bestimmt werden.

Der Wert von √2 wurde 1997 von einem Team unter der Leitung von Yasumasa Kanada auf 137.438.953.444 Dezimalstellen berechnet. Diese Präzision wurde im Februar 2006 von Shigeru Kondo übertroffen, der auf einem 3,6 GHz PC mit 16 . läuft GiB Speicher in etwas mehr als 13 Tagen und 14 Stunden 200Milliarde, oder 2 × 10¹¹, Dezimalzahlen berechnet.^[5]

Das Konvergenten des Kettenbruches sind 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, ... (sie bilden eine Reihe mit lineare Konvergenz). Sie sind in gewisser Weise die besten Approximationen von √2 durch Brüche (nicht zu verwechseln mit der Konvergenzrate der Folge):

• Für jede Konvergenz ist der Absolutwert der Abweichung von √2 kleiner als für jeden anderen Bruch mit kleinerem oder gleichem Nenner. Es gibt jedoch auch andere Brüche mit dieser Eigenschaft, wie 4/3 und 24/17.
• Auch der Absolutwert der Abweichung multipliziert mit dem Nenner ist kleiner als jeder andere Bruch mit kleinerem oder gleichem Nenner. Es gilt auch das Umgekehrte: Jeder Bruch mit dieser Eigenschaft ist konvergent von √2.

irrationale Zahl

Das Gestell dass √2 a irrationale Zahl gemeint ist die Entdeckung von Zahlen, die nicht rational waren, d.h. nicht als die Fraktion von zwei natürliche Zahlen sind zu schreiben. So ist das Weltbild der Pythagoräer, die die natürlichen Zahlen als das Maß aller Dinge ansahen, wurden gestürzt.

Der Satz kann auf verschiedene Weise bewiesen werden, zum Beispiel mit dem Hauptsatz der Arithmetik.^[6] Es heißt in Buch 10 der Elemente von Euklid ein Beweis durch unendliche Abstammung dass √2 keine rationale Zahl sein kann, aber seit dem frühen 19. Jahrhundert wird angenommen, dass der Beweis in den Elementen a . ist Interpolation ist.^[7]

Beweise aus dem Absurden

Es ist ein Beweis durch Widerspruch.

Angenommen √2 a Rationale Zahl ist und gut ${displaystyle {sqrt {2}}={frac {a}{b}}}$, in dem der Bruch so ist vereinfacht ist das ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$relativ prim keine gemeinsamen Faktoren haben.

Dann folgt das ${displaystyle b,{sqrt {2}}=a}$ und nach links und rechts Quadrat Welche ${displaystyle 2b^{2}=a^{2}}$.

Es folgt dem ${Displaystil a^{2}}$ ein gerade Zahl ist, also auch ${Anzeigestil a}$ sich für eine Weile, sagen wir ${Anzeigestil a=2k}$.

Daraus folgt wieder ${Displaystil 2b^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}}$, so ist ${displaystyle b^{2}=2k^{2}}$.

${displaystyle b^{2}}$ ist anscheinend eben, und damit ${displaystyle b}$ selbst. Aber das widerspricht der Tatsache, dass ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ relativ prim sein. Die Annahme, dass √2 eine rationale Zahl ist, hat zu einem Widerspruch geführt. Diese Annahme war daher falsch und damit ist bewiesen, dass √2 eine irrationale Zahl ist.

Beweisen Sie mit dem Fundamentalsatz der Arithmetik

Auch dieser Beweis ist absurd.

Annehmen ${displaystyle {sqrt {2}}}$ ein Rationale Zahl ist und kann als Quotient zweier positiver natürlicher Zahlen geschrieben werden ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$: ${displaystyle {frac {a}{b}}={sqrt {2}}}$.

Dann folgt ${displaystyle b}$ vom Nenner entfernen und nach links und rechts Quadrat Welche ${Anzeigestil a^{2}=2b^{2}}$.

Name ${displaystyle r}$ und ${Anzeigestil s}$ die größten Kräfte von ${Anzeigestil 2}$, so dass ${Anzeigestil a}$ durch ${Displaystil 2^{r}}$ und ${displaystyle b}$ durch ${Displaystil 2^{s}}$ sind zu teilen. sich auflösen ${Displaystil a^{2}}$ und ${Displaystil 2b^{2}}$ in Primfaktoren und zähle, wie oft ${Anzeigestil 2}$ tritt in Primfaktoren im geschriebenen Produkt auf. Dann ist ${Anzeigestil 2r=2s 1}$.

Das widerspricht dem Hauptsatz der Arithmetik, was besagt, dass jede ganze Zahl größer als 1 nur auf eine Weise Primfaktoren ist aufzulösen. Die Annahme, dass ${displaystyle {sqrt {2}}}$ ist eine rationale Zahl, war also falsch. Das bedeutet, dass ${displaystyle {sqrt {2}}}$ ist irrational und der Satz ist bewiesen.

Der A-Standard für Papierformate

sehen Papier größe für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Die A-Reihe von Papierformaten ist eine Reihe von Blättern, bei denen das nächste Format immer doppelt so klein ist. Das Verhältnis der Long- zur Short-Seite ist immer √2 : 1. Die Serie beginnt mit A0, einem Blatt mit einer Fläche von 1 m². Mit dem berechneten Verhältnis ergibt dies ein Blatt von 1189 mm x 841 mm.