WikiDer > Gifthaken

In dem Hamilton-Formalismus wird der Gifthaken für zwei dynamische Größen ${Anzeigestil f(p_{i},,q_{i},t)}$ und ${Anzeigestil g(p_{i},,q_{i},t)}$ wie folgt definiert:

${displaystyle {f,g}=sum _{i=1}^{N}left({frac {partial f}{partial q_{i}}}{frac {partial g}{partial p_{i}}}- {frac {teilweise f}{teilweise p_{i}}}{frac {teilweise g}{teilweise q_{i}}}ight).}$

bei welchem ${Anzeigestil (q_{i},,p_{i})}$ die Koordinaten im Phasenraum sein.

Dieses Konzept wurde von dem französischen Mathematiker geprägt Simeon Poisson eingeführt 1809^[1]. Der Gifthaken im klassische Mechanik entspricht dem Kommutator in dem Quantenmechanik.

Eigenschaften

Die folgenden Eigenschaften gelten für alle drei Funktionen ${Anzeigestil f,,g,,h}$ die vom Phasenraum und der Zeit abhängen:

Antisymmetrisch

${displaystyle {f,g}=-{g,f}}$

Linear

${displaystyle {af bg,h}=a{f,h} b{g,h},quad {h,af bg}=a{h,f} b{h,g},quad a,bin mathbb {R } }$

Produktreihe

${displaystyle {fg,h}={f,h}g f{g,h}}$

Treffe den Jacobi-Identität

${Anzeigestil {f,{g,h}} {g,{h,f}} {h,{f,g}}=0}$

Basierend auf diesen Eigenschaften ist der Poisson-Haken ein Beispiel für a Lügenhaken.

Hamilton-Gleichungen

Mit dem Poisson-Haken kann man Hamiltons Gleichungen schreibe ganz elegant so:

${displaystyle { egin{cases}{dot {q}}={q,H}/{dot {p}}={p,H}end{cases}}}$