WikiDer > Poisson nuqtasi jarayoni

0 dan boshlanadigan Poisson nuqtasi jarayonining vizual tasviri, bunda o'sishlar doimiy ravishda va mustaqil ravishda rate darajasida sodir bo'ladi.

Yilda ehtimollik, statistika va tegishli sohalar, a Poisson nuqtasi jarayoni ning bir turi tasodifiy matematik ob'ekt iborat bo'lgan ochkolar tasodifiy joylashgan matematik makon.^[1] Poisson nuqtasi jarayoni odatda oddiy deb nomlanadi Poisson jarayoni, lekin u ham deyiladi a Poisson tasodifiy o'lchov, Poisson tasodifiy nuqta maydoni yoki Poisson nuqta maydoni. Bu nuqta jarayoni qulay matematik xususiyatlarga ega,^[2] bu tez-tez aniqlanishiga olib keldi Evklid fazosi va a sifatida ishlatilgan matematik model kabi ko'plab fanlarda tasodifiy ko'rinadigan jarayonlar uchun astronomiya,^[3] biologiya,^[4] ekologiya,^[5] geologiya,^[6] seysmologiya,^[7] fizika,^[8] iqtisodiyot,^[9] tasvirni qayta ishlash,^[10] va telekommunikatsiya.^[11][12]

Jarayon nomi berilgan Frantsuzcha matematik Simyon Denis Poisson Poisson bu jarayonni hech qachon o'rganmaganiga qaramay. Uning nomi shundan kelib chiqadiki, agar ba'zi bir bo'shliqdagi tasodifiy nuqtalar to'plami Puasson jarayonini hosil qilsa, u holda cheklangan kattalikdagi mintaqadagi nuqtalar soni tasodifiy o'zgaruvchi bilan Poissonning tarqalishi. Jarayon mustaqil ravishda va bir necha bor bir nechta sharoitlarda, shu jumladan radioaktiv parchalanish, telefon orqali qo'ng'iroqlar va sug'urta matematikasi bo'yicha tajribalar orqali aniqlandi.^[13][14]

Puasson nuqtasi jarayoni ko'pincha haqiqiy chiziq, bu erda uni a deb hisoblash mumkin stoxastik jarayon. Ushbu sozlamada, masalan, ichida ishlatiladi navbat nazariyasi^[15] xaridorlarning do'konga kelishi, birjadagi telefon qo'ng'iroqlari yoki paydo bo'lishi kabi tasodifiy hodisalarni modellashtirish zilzilalar, o'z vaqtida tarqatilgan. In samolyot, nuqta jarayoni, shuningdek, a fazoviy Puasson jarayoni,^[16] a-da transmitterlar kabi tarqoq narsalarning joylashishini aks ettirishi mumkin simsiz tarmoq,^{[11][17][18][19]} zarralar detektorga yoki o'rmondagi daraxtlarga to'qnashish.^[20] Ushbu parametrda jarayon ko'pincha matematik modellarda va fazoviy nuqta jarayonlarining tegishli sohalarida qo'llaniladi,^[21] stoxastik geometriya,^[1] fazoviy statistika ^[21][22] va doimiy perkolyatsiya nazariyasi.^[23] Poisson nuqtasi jarayonini ko'proq belgilash mumkin mavhum bo'shliqlar. Ilovalardan tashqari, Puasson nuqtasi jarayoni o'z-o'zidan matematik o'rganish ob'ekti hisoblanadi.^[2] Barcha parametrlarda Puasson nuqtasi jarayoni har bir nuqta bo'lgan xususiyatga ega stoxastik jihatdan mustaqil jarayonning boshqa barcha nuqtalariga, shuning uchun ba'zan uni a deb atashadi faqat yoki to'liq tasodifiy jarayon.^[24] Fokuslarning nuqta sifatida ifodalanadigan stoxastik modeli sifatida keng qo'llanilishiga qaramay, jarayonning o'ziga xos xususiyati u nuqtalar o'rtasida etarlicha kuchli o'zaro ta'sir mavjud bo'lgan hodisalarni etarli darajada tavsiflamasligini anglatadi. Bu boshqa o'zaro ta'sirni qo'lga kiritishni maqsad qilgan Puasson nuqta jarayoni bilan qurilgan boshqa nuqta jarayonlarining taklifiga ilhom berdi.^[25]

Nuqta jarayoni bitta matematik ob'ektga bog'liq bo'lib, u kontekstga qarab a bo'lishi mumkin doimiy, a mahalliy darajada integral funktsiya yoki, umumiy sozlamalarda, a Radon o'lchovi.^[26] Birinchi holda, doimiy deb nomlanuvchi doimiy stavka yoki intensivlik, o'rtacha zichlik kosmosning ba'zi mintaqalarida joylashgan Puasson jarayonidagi nuqtalarning. Olingan nuqta jarayoni a deb nomlanadi bir hil yoki statsionar Puasson nuqtasi jarayoni.^[27] Ikkinchi holda, nuqta jarayoni an deb nomlanadi bir hil emas yoki bir hil bo'lmagan Poisson nuqtasi jarayoni, va nuqtalarning o'rtacha zichligi Puasson nuqta jarayonining asosiy fazosi joylashganligiga bog'liq.^[28] So'z nuqta ko'pincha tashlab yuboriladi,^[29][2] ammo boshqalari bor Poisson jarayonlari kabi murakkab matematik ob'ektlardan tashkil topgan ob'ektlar chiziqlar va ko'pburchaklarva bunday jarayonlar Puasson nuqta jarayoniga asoslangan bo'lishi mumkin.^[30]

Ta'riflarga umumiy nuqtai

Sozlamaga qarab, jarayon bir nechta teng ta'riflarga ega^[31] shuningdek, uning ko'plab dasturlari va tavsiflari tufayli turli xil umumiylikning ta'riflari.^[32] Puasson nuqtasi jarayoni bir o'lchovda aniqlanishi, o'rganilishi va ishlatilishi mumkin, masalan, haqiqiy chiziqda, bu hisoblash jarayoni yoki navbat modelining bir qismi sifatida talqin qilinishi mumkin;^[33][34] u rol o'ynaydigan tekislik kabi yuqori o'lchamlarda stoxastik geometriya^[1] va fazoviy statistika;^[35] yoki umumiy matematik bo'shliqlarda.^[36] Binobarin, Puasson nuqta jarayoni va umuman nuqtalar jarayonlarini aniqlash va o'rganish uchun foydalanilgan yozuvlar, terminologiya va matematik qat'iylik darajasi kontekstga qarab farq qiladi.^[37]

Shunga qaramay, Puasson nuqta jarayoni ikkita asosiy xususiyatga ega - Poisson xususiyati va mustaqillik xususiyati - bu Pousson nuqtasi jarayoni ishlatiladigan barcha sharoitlarda muhim rol o'ynaydi.^[26][38] Ikkala xususiyat mantiqan mustaqil emas; haqiqatan ham mustaqillik Puassonning nuqta sonlarini taqsimlanishini nazarda tutadi, aksincha emas.^[a]

Nuqta hisoblarining Puasson taqsimoti

Poisson nuqtasi jarayoni orqali tavsiflanadi Poissonning tarqalishi. Puasson taqsimoti - bu ehtimollikning taqsimoti tasodifiy o'zgaruvchi ${ displaystyle textstyle N}$ (a deb nomlangan Poisson tasodifiy o'zgaruvchisi) shunday bo'lishi mumkin ${ displaystyle textstyle N}$ teng ${ displaystyle textstyle n}$ tomonidan berilgan:

${ displaystyle P {N = n } = { frac { Lambda ^ {n}} {n!}} e ^ {- Lambda}}$

qayerda ${ displaystyle textstyle n!}$ bildiradi ${ displaystyle textstyle n}$ faktorial va parametr ${ displaystyle textstyle Lambda}$ taqsimot shaklini belgilaydi. (Aslini olib qaraganda, ${ displaystyle textstyle Lambda}$ kutilgan qiymatiga teng ${ displaystyle textstyle N}$.)

Ta'rifga ko'ra, Puasson nuqta jarayoni, jarayonning asosiy kosmosining cheklangan hududidagi nuqtalar soni Puasson tomonidan taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchidir.^[38]

To'liq mustaqillik

To'plamini ko'rib chiqing ajratish va pastki fazoning chegaralangan subregionlari. Ta'rifga ko'ra, har bir chegaralangan subregionda Puasson nuqtasi jarayonining nuqtalari soni boshqalaridan butunlay mustaqil bo'ladi.

Ushbu xususiyat bir nechta ismlar bilan mashhur to'liq tasodifiylik, to'liq mustaqillik,^[39] yoki mustaqil tarqalish ^[40][41] va Puassonning barcha jarayonlari uchun umumiydir. Boshqacha qilib aytganda, turli mintaqalar va umuman nuqtalar o'rtasida o'zaro aloqalar mavjud emas,^[42] bu Puasson jarayonini ba'zan a deb atashga turtki beradi faqat yoki to'liq tasodifiy jarayon.^[39]

Bir hil Poisson nuqtasi jarayoni

Agar Puasson nuqta jarayoni shaklning parametriga ega bo'lsa ${ displaystyle textstyle Lambda = nu lambda}$, qayerda ${ displaystyle textstyle nu}$ bu Lebesgue o'lchovidir (ya'ni to'plamlarga uzunlik, maydon yoki hajmni belgilaydi) va ${ displaystyle textstyle lambda}$ doimiy, keyin nuqta jarayoni bir hil yoki statsionar Puasson nuqta jarayoni deb ataladi. Parametr, chaqirildi stavka yoki intensivlik, ba'zi bir cheklangan mintaqalarda mavjud bo'lgan Poisson nuqtalarining kutilgan (yoki o'rtacha) soni bilan bog'liq,^[43][44] qayerda stavka odatda asosiy bo'shliq bir o'lchovga ega bo'lganda ishlatiladi.^[43] Parametr ${ displaystyle textstyle lambda}$ kabi ba'zi bir birliklar bo'yicha o'rtacha ball soni sifatida talqin qilinishi mumkin uzunlik, maydon, hajmi, yoki vaqt, asosiy matematik maydonga qarab va u ham deyiladi o'rtacha zichlik yoki o'rtacha stavka;^[45] qarang Terminologiya.

Hisoblash jarayoni sifatida talqin etiladi

Bir hil Poisson nuqta jarayoni, ijobiy yarim chiziqda ko'rib chiqilganda, a deb belgilanishi mumkin hisoblash jarayoni, deb belgilanishi mumkin bo'lgan stoxastik jarayonning bir turi ${ displaystyle textstyle {N (t), t geq 0 }}$.^[31][34] Hisoblash jarayoni vaqtgacha va shu jumladan sodir bo'lgan voqealar yoki hodisalarning umumiy sonini aks ettiradi ${ displaystyle textstyle t}$. Hisoblash jarayoni - tezligi bir hil bo'lgan Poisson hisoblash jarayoni ${ displaystyle textstyle lambda> 0}$ agar u quyidagi uchta xususiyatga ega bo'lsa:^[31][34]

• ${ textstyle N (0) = 0;}$
• bor mustaqil o'sish; va
• har qanday uzunlik oralig'idagi hodisalar (yoki nuqtalar) soni ${ textstyle t}$ parametri bo'lgan (yoki o'rtacha) Poisson tasodifiy o'zgaruvchisi ${ textstyle lambda t}$.

Oxirgi xususiyat quyidagilarni nazarda tutadi:

${ displaystyle mathbb {E} [N (t)] = lambda t.}$

Boshqacha aytganda, tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoli ${ textstyle N (t)}$ ga teng bo'lish ${ textstyle n}$ tomonidan berilgan:

${ displaystyle mathbb {P} {N (t) = n } = { frac {( lambda t) ^ {n}} {n!}} e ^ {- lambda t}.}$

Puassonni hisoblash jarayonini hisoblash jarayoni hodisalari orasidagi vaqt farqlari o'rtacha ko'rsatkichga ega bo'lgan eksponent o'zgaruvchilar ekanligi bilan ham aniqlash mumkin. ${ displaystyle textstyle 1 / lambda}$.^[46] Voqealar yoki kelishlar o'rtasidagi vaqt farqlari ma'lum kelishuv ^[47] yoki o'zaro kelishuv marta.^[46]

Haqiqiy chiziqdagi nuqta jarayoni sifatida talqin etiladi

Sifatida talqin qilingan nuqta jarayoni, Poisson nuqtasi jarayonini haqiqiy chiziq intervaldagi jarayonning nuqtalari sonini hisobga olgan holda ${ displaystyle textstyle (a, b]}$. Parametrli haqiqiy chiziqda bir hil Poisson nuqta jarayoni uchun ${ displaystyle textstyle lambda> 0}$, bu erda yozilgan tasodifiy sonlar ehtimoli ${ displaystyle textstyle N (a, b]}$, ba'zilariga teng bo'lish hisoblash raqami ${ displaystyle textstyle n}$ tomonidan berilgan:^[48]

${ displaystyle P {N (a, b] = n } = { frac {[ lambda (b-a)] ^ {n}} {n!}} e ^ {- lambda (b-a)},}$

Bir necha musbat tamsayı uchun ${ displaystyle textstyle k}$, bir hil Poisson nuqta jarayoni cheklangan o'lchovli taqsimotga ega:^[48]

${ displaystyle P {N (a_ {i}, b_ {i}] = n_ {i}, i = 1, dots, k } = prod _ {i = 1} ^ {k} { frac {[ lambda (b_ {i} -a_ {i})] ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}} e ^ {- lambda (b_ {i} -a_ {i})} ,}$

bu erda haqiqiy raqamlar ${ displaystyle textstyle a_ {i}$.

Boshqa so'zlar bilan aytganda, ${ displaystyle textstyle N (a, b]}$ o'rtacha bo'lgan Puasson tasodifiy o'zgaruvchisi ${ displaystyle textstyle lambda (b-a)}$, qayerda ${ displaystyle textstyle a leq b}$. Bundan tashqari, har qanday ajratilgan oraliqdagi ballar soni, aytaylik, ${ displaystyle textstyle (a_ {1}, b_ {1}]}$ va ${ displaystyle textstyle (a_ {2}, b_ {2}]}$ bir-biridan mustaqildirlar va bu har qanday cheklangan intervalgacha tarqaladi.^[48] Navbat nazariyasi kontekstida mavjud bo'lgan (oraliqda) nuqtani an deb hisoblash mumkin tadbir, ammo bu so'z bilan farq qiladi tadbir ehtimollar nazariyasi ma'nosida.^[b] Bundan kelib chiqadiki ${ displaystyle textstyle lambda}$ kutilayotgan soni Qaytish vaqt birligida sodir bo'ladi.^[34]

Asosiy xususiyatlar

Oldingi ta'rifda, umuman, Poissonning nuqta jarayonlari tomonidan ikkita muhim xususiyat mavjud:^[48][26]

• har bir cheklangan oraliqdagi kelganlar soni Puasson taqsimotiga ega;
• ajratilgan intervallarda kelganlar soni mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar.

Bundan tashqari, u faqat bir hil Poisson nuqtasi jarayoni bilan bog'liq uchinchi xususiyatga ega:^[49]

• har bir intervalda kelganlar sonining Puasson taqsimoti ${ displaystyle textstyle (a + t, b + t]}$ faqat interval uzunligiga bog'liq ${ displaystyle textstyle b-a}$.

Boshqacha qilib aytganda, har qanday cheklangan uchun ${ displaystyle textstyle t> 0}$, tasodifiy o'zgaruvchi ${ displaystyle textstyle N (a + t, b + t]}$ dan mustaqildir ${ displaystyle textstyle t}$, shuning uchun u Statsionar Poisson jarayoni deb ham ataladi.^[48]

Katta sonlar qonuni

Miqdor ${ displaystyle textstyle lambda (b_ {i} -a_ {i})}$ kutilgan yoki sifatida talqin qilinishi mumkin o'rtacha intervalda yuzaga keladigan ballar soni ${ displaystyle textstyle (a_ {i}, b_ {i}]}$, ya'ni:

${ displaystyle E {N (a_ {i}, b_ {i}] } = lambda (b_ {i} -a_ {i}),}$

qayerda ${ displaystyle textstyle E}$ belgisini bildiradi kutish operator. Boshqacha aytganda, parametr ${ displaystyle textstyle lambda}$ Puasson jarayoniga to'g'ri keladi zichlik ochkolar. Bundan tashqari, bir hil Poisson nuqta jarayoni ko'p sonli (kuchli) qonunning o'ziga xos shakliga amal qiladi.^[50] Aniqrog'i, ehtimollik bilan:

${ displaystyle lim _ {t rightarrow infty} { frac {N (t)} {t}} = lambda,}$

qayerda ${ displaystyle textstyle lim}$ belgisini bildiradi chegara funktsiyasi va ${ displaystyle lambda}$ kutilayotgan vaqt birligi uchun kelganlar soni.

Xotirasiz mulk

Haqiqiy chiziqdagi nuqta jarayonining ketma-ket ikkita nuqtasi orasidagi masofa an bo'ladi eksponentli tasodifiy miqdor parametr bilan ${ displaystyle textstyle lambda}$ (yoki unga teng ravishda, o'rtacha ${ displaystyle textstyle 1 / lambda}$). Bu shuni anglatadiki, ballar xotirasiz xususiyat: cheklangan oraliqda mavjud bo'lgan bir nuqtaning mavjudligi boshqa nuqtalarning ehtimolligiga (taqsimlanishiga) ta'sir qilmaydi,^[51][52] ammo Puasson jarayoni kattaroq o'lchamlarga ega bo'shliqda aniqlanganda bu xususiyat tabiiy ekvivalentlikka ega emas.^[53]

Tartibli va soddaligi

Ba'zan statsionar o'sish bilan nuqta jarayoni deyiladi tartibli^[54] yoki muntazam agar:^[55]

${ displaystyle P {N (t, t + delta]> 1 } = o ( delta),}$

qayerda little-o notation ishlatilmoqda. Nuqta jarayoni a deb nomlanadi oddiy nuqta jarayoni uning ikkala nuqtasining istalganining bir xil holatga, asosiy bo'shliqqa to'g'ri kelish ehtimoli nolga teng bo'lganda. Umuman olganda real chiziqdagi nuqta jarayonlari uchun tartiblilik xususiyati bu jarayon oddiyligini anglatadi,^[56] bu bir hil Poisson nuqta jarayoni uchun amal qiladi.^[57]

Martingale xarakteristikasi

Haqiqiy chiziqda bir hil Poisson nuqta jarayoni nazariyasi bilan bog'liq martingalalar quyidagi tavsiflash orqali: nuqta jarayoni bir hil Poisson nuqta jarayoni va agar shunday bo'lsa

${ displaystyle N (- infty, t] -t,}$

martingale.^[58]

Boshqa jarayonlar bilan aloqasi

Haqiqiy chiziqda Puasson jarayoni doimiy vaqt turidir Markov jarayoni sifatida tanilgan tug'ilish jarayoni, ning maxsus ishi tug'ilish - o'lim jarayoni (faqat tug'ilish va o'limning nol darajasi bilan).^[59][60] Bilan yanada murakkab jarayonlar Markov mulki, kabi Markovning kelish jarayoni, Poisson jarayoni alohida holat bo'lgan joyda aniqlandi.^[46]

Yarim chiziq bilan cheklangan

Agar bir hil Poisson jarayoni faqat yarim chiziqda ko'rib chiqilsa ${ displaystyle textstyle [0, infty)}$, qachon bo'lishi mumkin ${ displaystyle textstyle t}$ vaqtni anglatadi^[31] natijada olingan jarayon tarjima ostida haqiqatan ham o'zgarmas emas.^[53] U holda Puasson jarayoni statsionarlikning ba'zi ta'riflariga ko'ra endi harakatsiz emas.^[27]

Ilovalar

Tasodifiy va mustaqil ko'rinadigan hodisalarni modellashtirish uchun bir hil Poisson jarayonining haqiqiy chizig'ida ko'plab qo'llanmalari mavjud edi. Bu muhim rol o'ynaydi navbat nazariyasi, bu ma'lum bir hodisalarning tasodifiy kelishi va ketishini ifodalash uchun mos stoxastik modellarni ishlab chiqish ehtimoli sohasi.^[15][46] Masalan, kelayotgan va xizmat ko'rsatilayotgan mijozlar yoki telefon stantsiyasiga kelgan telefon qo'ng'iroqlarini navbatning nazariyasidan kelib chiqqan holda o'rganish mumkin.

Umumlashtirish

Haqiqiy chiziqdagi bir hil Poisson jarayoni tasodifiy sonlarni hisoblash uchun eng oddiy stoxastik jarayonlardan biri hisoblanadi.^[61][62] Ushbu jarayonni bir necha usullar bilan umumlashtirish mumkin. Mumkin bo'lgan umumlashtirishlardan biri, intervalgacha vaqtlarni taqsimotini eksponensial taqsimotdan boshqa taqsimotlarga uzaytirishdir, bu esa stoxastik jarayonni yangilanish jarayoni. Yana bir umumlashma - bu Pousson nuqtasi jarayonini tekislik kabi yuqori o'lchovli bo'shliqlarda aniqlash.^[63]

Fazoviy Puasson nuqtasi jarayoni

A fazoviy Puasson jarayoni tekislikda aniqlangan Puasson nuqta jarayoni ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {2}}$.^[58][64] Matematik ta'rifi uchun avvalo chegaralangan, ochiq yoki yopiq (aniqrog'i, Borelni o'lchash mumkin) mintaqa ${ displaystyle textstyle B}$ samolyot. Nuqta jarayonining nuqtalari soni ${ displaystyle textstyle N}$ ushbu mintaqada mavjud ${ displaystyle textstyle B subset { textbf {R}} ^ {2}}$ bilan belgilanadigan tasodifiy o'zgaruvchidir ${ displaystyle textstyle N (B)}$. Agar ballar parametrli bir hil Poisson jarayoniga tegishli bo'lsa ${ displaystyle textstyle lambda> 0}$, keyin ehtimoli ${ displaystyle textstyle n}$ mavjud nuqtalar ${ displaystyle textstyle B}$ tomonidan berilgan:

${ displaystyle P {N (B) = n } = { frac {( lambda | B |) ^ {n}} {n!}} e ^ {- lambda | B |}}$

qayerda ${ displaystyle textstyle | B |}$ maydonini bildiradi ${ displaystyle textstyle B}$.

Ba'zi cheklangan tamsayılar uchun ${ displaystyle textstyle k geq 1}$, oldin birlashtirilmagan, chegaralangan Borel (o'lchovli) to'plamlar to'plamini ko'rib chiqib, bir hil Poisson nuqta jarayonining chekli o'lchovli taqsimotini berishimiz mumkin. ${ displaystyle textstyle B_ {1}, nuqtalar, B_ {k}}$. Nuqta jarayonining nuqtalari soni ${ displaystyle textstyle N}$ mavjud ${ displaystyle textstyle B_ {i}}$ sifatida yozilishi mumkin ${ displaystyle textstyle N (B_ {i})}$. Keyin bir hil Poisson nuqta jarayoni parametr bilan ${ displaystyle textstyle lambda> 0}$ cheklangan o'lchovli taqsimotga ega:^[65]

${ displaystyle P {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, nuqtalar, k } = prod _ {i = 1} ^ {k} { frac {( lambda | B_ {i} |) ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}} E ^ {- lambda | B_ {i} |}.}$

Ilovalar

Bir statistik tadqiqotga ko'ra, Avstraliya shahridagi uyali yoki mobil telefonlar bazasi stantsiyalari SidneyYuqorida tasvirlangan, bir hil Poisson nuqtasi jarayonini amalga oshirishga o'xshaydi, dunyoning boshqa ko'plab shaharlarida esa bunday emas va boshqa nuqtaviy jarayonlar talab qilinadi.^[66]

Poisson-ning fazoviy jarayoni muhim xususiyatlarga ega fazoviy statistika,^[21][22] stoxastik geometriyava doimiy perkolyatsiya nazariyasi.^[23] Ushbu nuqta jarayoni turli fizika fanlarida qo'llaniladi, masalan, alfa zarralari aniqlangan model. So'nggi yillarda u ba'zi simsiz aloqa tarmoqlarining tartibsiz ko'rinadigan fazoviy konfiguratsiyalarini modellashtirish uchun tez-tez ishlatib kelinmoqda.^[17][18][19] Masalan, uyali yoki mobil telefon tarmoqlari uchun modellar ishlab chiqilgan bo'lib, ularda bazaviy stantsiyalar deb nomlanuvchi telefon tarmog'i uzatgichlari bir hil Poisson nuqtasi jarayoniga muvofiq joylashtirilgan deb taxmin qilinadi.

Yuqori o'lchamlarda aniqlangan

Oldingi bir hil Poisson nuqta jarayoni maydon tushunchasini (yuqori o'lchovli) hajm bilan almashtirish orqali darhol yuqori o'lchamlarga tarqaladi. Ba'zi cheklangan mintaqalar uchun ${ displaystyle textstyle B}$ Evklid fazosining ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$, agar nuqtalar parametr bilan bir hil Poisson jarayonini hosil qilsa ${ displaystyle textstyle lambda> 0}$, keyin ehtimoli ${ displaystyle textstyle n}$ mavjud nuqtalar ${ displaystyle textstyle B subset { textbf {R}} ^ {d}}$ tomonidan berilgan:

${ displaystyle P {N (B) = n } = { frac {( lambda | B |) ^ {n}} {n!}} e ^ {- lambda | B |}}$

qayerda ${ displaystyle textstyle | B |}$ endi the ni bildiradi ${ displaystyle textstyle d}$o'lchov hajmi ${ displaystyle textstyle B}$. Bundan tashqari, ajratilgan, cheklangan Borel to'plamlari to'plami uchun ${ displaystyle textstyle B_ {1}, dots, B_ {k} subset { textbf {R}} ^ {d}}$, ruxsat bering ${ displaystyle textstyle N (B_ {i})}$ nuqtalarining sonini belgilang ${ displaystyle textstyle N}$ mavjud ${ displaystyle textstyle B_ {i}}$. Keyin parametr bilan mos keladigan bir hil Poisson nuqta jarayoni ${ displaystyle textstyle lambda> 0}$ cheklangan o'lchovli taqsimotga ega:^[67]

${ displaystyle P {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, nuqtalar, k } = prod _ {i = 1} ^ {k} { frac {( lambda | B_ {i} |) ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}} E ^ {- lambda | B_ {i} |}.}$

Bir hil Poisson nuqta jarayonlari uning parametri orqali asosiy fazoning holatiga bog'liq emas ${ displaystyle textstyle lambda}$Bu shuni anglatadiki, bu ham statsionar jarayon (tarjima uchun o'zgarmas), ham izotropik (aylanish uchun o'zgarmas) stoxastik jarayon.^[27] Bir o'lchovli holatga o'xshab, bir hil nuqta jarayoni ba'zi cheklangan kichik to'plam bilan cheklangan ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$, keyin statsionarlikning ba'zi ta'riflariga qarab, jarayon endi statsionar emas.^[27][53]

Ballar bir xil taqsimlanadi

Agar bir hil nuqta jarayoni real chiziqda qandaydir hodisa ro'y berishining matematik modeli sifatida aniqlansa, u holda bu hodisa yoki hodisalarning haqiqiy chiziqdagi joylashuvi (ko'pincha vaqt deb talqin etiladi) bir tekis taqsimlanishi xususiyati mavjud. Aniqrog'i, agar hodisa (bu jarayonga muvofiq) oraliqda sodir bo'lsa ${ displaystyle textstyle (a, b]}$ qayerda ${ displaystyle textstyle a leq b}$, keyin uning joylashuvi shu oraliqda aniqlangan bir xil tasodifiy o'zgaruvchiga aylanadi.^[65] Bundan tashqari, bir hil nuqta jarayoni ba'zan deyiladi bir xil Puasson nuqtasi jarayoni (qarang Terminologiya). Ushbu bir xillik xususiyati dekart koordinatasidagi kattaroq o'lchamlarga tarqaladi, lekin masalan, qutb koordinatalarida emas.^[68][69]

Bir hil bo'lmagan Puasson nuqtasi jarayoni

Haqiqiy chiziqdagi bir hil bo'lmagan Poisson nuqta jarayonining grafigi. Voqealar qora xochlar bilan belgilanadi, vaqtga bog'liq tezlik ${ displaystyle lambda (t)}$ qizil bilan belgilangan funktsiya bilan beriladi.

The bir hil emas yoki bir hil bo'lmagan Poisson nuqtasi jarayoni (qarang Terminologiya) - bu Poisson jarayoni aniqlangan asosiy bo'shliqda joylashuvga bog'liq funktsiya sifatida o'rnatilgan Poisson parametri bilan Poisson nuqta jarayoni. Evklid fazosi uchun ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$, bunga mahalliy darajada integral funktsiyani joriy etish orqali erishiladi ${ displaystyle textstyle lambda (x)}$, qayerda ${ displaystyle textstyle x}$ a ${ displaystyle textstyle d}$- joylashgan o'lchovli nuqta ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$, har qanday chegaralangan mintaqa uchun ${ displaystyle textstyle B}$ (${ displaystyle textstyle d}$ning o'lchovli) hajm integrali ${ displaystyle textstyle lambda (x)}$ mintaqa bo'ylab ${ displaystyle textstyle B}$ cheklangan. Boshqacha qilib aytganda, agar bu integral, bilan belgilanadi ${ displaystyle textstyle Lambda (B)}$, bu:^[44]

${ displaystyle Lambda (B) = int _ {B} lambda (x) , mathrm {d} x < infty,}$

qayerda ${ displaystyle textstyle { mathrm {d} x}}$ bu (${ displaystyle textstyle d}$- o'lchovli) hajm elementi,^[c] keyin chegaralangan har qanday to'plam uchun Borelni o'lchash mumkin to'plamlar ${ displaystyle textstyle B_ {1}, nuqtalar, B_ {k}}$, (intensivligi) funktsiyasi bilan bir hil bo'lmagan Poisson jarayoni ${ displaystyle textstyle lambda (x)}$ cheklangan o'lchovli taqsimotga ega:^[67]

${ displaystyle P {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, nuqtalar, k } = prod _ {i = 1} ^ {k} { frac {( Lambda ( B_ {i})) ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}} E ^ {- Lambda (B_ {i})}.}$

Bundan tashqari, ${ displaystyle textstyle Lambda (B)}$ chegaralangan mintaqada joylashgan Puasson jarayonining kutilayotgan nuqtalari talqiniga ega ${ displaystyle textstyle B}$, ya'ni

${ displaystyle Lambda (B) = E [N (B)].}$

Haqiqiy chiziqda aniqlangan

Haqiqiy chiziqda bir hil yoki bir hil bo'lmagan Puasson nuqta jarayoni bir o'lchovli integral bilan berilgan o'rtacha o'lchovga ega. Ikkala haqiqiy raqam uchun ${ displaystyle textstyle a}$ va ${ displaystyle textstyle b}$, qayerda ${ displaystyle textstyle a leq b}$, bilan belgilanadi ${ displaystyle textstyle N (a, b]}$ intensivlik funktsiyasi bilan bir hil bo'lmagan Poisson jarayonining son nuqtalari ${ displaystyle textstyle lambda (t)}$ oralig'ida sodir bo'ladi ${ displaystyle textstyle (a, b]}$. Ehtimolligi ${ displaystyle textstyle n}$ yuqoridagi intervalda mavjud bo'lgan nuqtalar ${ displaystyle textstyle (a, b]}$ tomonidan berilgan:

${ displaystyle P {N (a, b] = n } = { frac {[ Lambda (a, b)] ^ {n}} {n!}} e ^ {- Lambda (a, b )}.}$

o'rtacha yoki intensivlik o'lchovi:

${ displaystyle Lambda (a, b) = int _ {a} ^ {b} lambda (t) , mathrm {d} t,}$

bu tasodifiy o'zgaruvchini anglatadi ${ displaystyle textstyle N (a, b]}$ o'rtacha Pusson tasodifiy o'zgaruvchisidir ${ displaystyle textstyle E {N (a, b] } = Lambda (a, b)}$.

Bir o'lchovli sozlamaning o'ziga xos xususiyati shundaki, bir hil bo'lmagan Poisson jarayoni bir hilga aylanishi mumkin. monotonli o'zgarish yoki teskari bilan erishiladigan xaritalash ${ displaystyle textstyle Lambda}$.^[70][71]

Hisoblash jarayonining talqini

Bir hil bo'lmagan Poisson nuqtasi jarayoni, ijobiy yarim chiziqda ko'rib chiqilganda, ba'zida hisoblash jarayoni sifatida ham belgilanadi. Ushbu talqin bilan, ba'zan yoziladigan jarayon ${ displaystyle textstyle {N (t), t geq 0 }}$, vaqtgacha bo'lgan voqealar yoki hodisalarning umumiy sonini anglatadi ${ displaystyle textstyle t}$. Hisoblash jarayoni to'rt xususiyatga ega bo'lsa, bir hil bo'lmagan Poissonni hisoblash jarayoni deb aytiladi:^[34][72]

• ${ displaystyle textstyle N (0) = 0;}$
• bor mustaqil o'sish;
• ${ displaystyle textstyle P {N (t + h) -N (t) = 1 } = lambda (t) h + o (h);}$ va
• ${ displaystyle textstyle P {N (t + h) -N (t) geq 2 } = o (h),}$

qayerda ${ displaystyle textstyle o (h)}$ asimptotik yoki little-o notation uchun ${ displaystyle textstyle o (h) / h rightarrow 0}$ kabi ${ displaystyle textstyle h rightarrow 0}$.Olovga chidamli nuqtali jarayonlarda (masalan, neyron boshoqli poezdlar) 4 xususiyatining kuchliroq versiyasi qo'llaniladi:^[73] ${ displaystyle P (N (t + h) -N (t) geq 2) = o (h ^ {2})})$.

Yuqoridagi xususiyatlar shuni anglatadiki ${ displaystyle textstyle N (t + h) -N (t)}$ parametrli (yoki o'rtacha) Poisson tasodifiy o'zgaruvchisi

${ displaystyle E [N (t + h) -N (t)] = int _ {t} ^ {t + h} lambda (s) , ds,}$

shuni anglatadiki

${ displaystyle E [N (h)] = int _ {0} ^ {h} lambda (s) , ds.}$

Mekansal Poisson jarayoni

Tekislikda aniqlangan bir hil bo'lmagan Poisson jarayoni ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {2}}$ deyiladi a fazoviy Puasson jarayoni^[16] U intensivlik funktsiyasi bilan aniqlanadi va uning intensivligi o'lchovi ma'lum bir mintaqada intensivlik funktsiyasining sirt integralini amalga oshirishda olinadi.^[20][74] Masalan, uning intensivligi funktsiyasi (dekart koordinatalari funktsiyasi sifatida ${ textstyle x}$ va ${ displaystyle textstyle y}$) bolishi mumkin

${ displaystyle lambda (x, y) = e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})},}$

shuning uchun mos keladigan intensivlik o'lchovi sirt integrali bilan beriladi

${ displaystyle Lambda (B) = int _ {B} e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})} , mathrm {d} x , mathrm {d} y, }$

qayerda ${ displaystyle textstyle B}$ samolyotda chegaralangan mintaqadir ${ textstyle mathbb {R} ^ {2}}$.

Yuqori o'lchamlarda

Samolyotda, ${ textstyle Lambda (B)}$ ichida bo'lsa, sirt integraliga mos keladi ${ textstyle mathbb {R} ^ {d}}$ integral (ga aylanadi${ textstyle d}$-o'lchovli) hajm integral.

Ilovalar

Haqiqiy chiziq vaqt sifatida talqin etilganda, bir hil bo'lmagan jarayon hisoblash jarayonlari sohalarida va navbat nazariyasida qo'llaniladi.^[72][75] Bir hil bo'lmagan Poisson nuqtasi jarayoni bilan ifodalangan yoki paydo bo'lgan hodisalarga quyidagilar kiradi:

• Gollar futbol o'yinida urilmoqda.^[76]
• Elektron platadagi nuqsonlar^[77]

Samolyotda Puasson nuqta jarayoni stoxastik geometriyaning tegishli fanlarida muhim ahamiyatga ega^[1][35] va makon statistikasi.^[21][22] Ushbu nuqta jarayonining intensivligi o'lchovi kosmosning joylashgan joyiga bog'liq, demak, u ba'zi mintaqalarda o'zgarib turadigan zichlikdagi hodisalarni modellashtirish uchun ishlatilishi mumkin. Boshqacha qilib aytganda, hodisalarni joylashuvga bog'liq zichlikka ega bo'lgan nuqta sifatida ko'rsatish mumkin.^[20] Ushbu jarayonlar turli xil fanlarda qo'llanilgan va ulardan foydalanish okeanlarda losos va dengiz bitlarini o'rganishni o'z ichiga oladi,^[78] o'rmon xo'jaligi,^[5] va qidirish muammolari.^[79]

Intensivlik funktsiyasining talqini

Poisson intensivligi funktsiyasi ${ textstyle lambda (x)}$ intuitiv deb hisoblanadigan talqinga ega,^[20] tovush elementi bilan ${ textstyle mathrm {d} x}$ cheksiz ma'noda: ${ textstyle lambda (x) , mathrm {d} x}$ - hajmga ega fazo mintaqasida mavjud bo'lgan Puasson nuqtasi jarayoni nuqtasining cheksiz kichik ehtimolligi ${ textstyle mathrm {d} x}$ joylashgan ${ textstyle x}$.^[20]

Masalan, haqiqiy chiziqda bir hil Poisson nuqta jarayoni berilgan bo'lsa, kichik kenglik oralig'ida jarayonning bitta nuqtasini topish ehtimoli ${ textstyle delta}$ taxminan ${ textstyle lambda delta x}$. Darhaqiqat, bunday sezgi, ba'zida Puasson nuqtasi jarayoni qanday joriy qilinadi va uning taqsimlanishidan kelib chiqadi.^[80][42][81]

Oddiy nuqta jarayoni

Agar Puasson nuqtasi jarayoni intensivlik o'lchoviga ega bo'lsa, u mahalliy darajada cheklangan va tarqoq (yoki atom bo'lmagan) bo'lsa, u holda bu oddiy nuqta jarayoni. Oddiy nuqta jarayoni uchun, bitta (bitta) nuqtada yoki asosiy (holat) fazodagi joyda mavjud bo'lgan nuqta ehtimoli nolga yoki birga teng. Bu shuni anglatadiki, Puasson nuqtasi jarayonining bitta, ikkita (yoki undan ko'p) nuqtasi pastki fazoda joylashgan joyiga to'g'ri kelmaydi.^[82][18][83]

Simulyatsiya

Kompyuterda Puasson nuqtasi jarayonini simulyatsiya qilish odatda simulyatsiya deb nomlanuvchi kosmosning chegaralangan mintaqasida amalga oshiriladi oynava ikkita bosqichni talab qiladi: mos ravishda tasodifiy sonli nuqtalarni yaratish va keyin mos ravishda tasodifiy tarzda joylashtirish. Ushbu ikkala qadam ham simulyatsiya qilinayotgan Poisson nuqtasi jarayoniga bog'liq.^[84][85]

1-qadam: ochkolar soni

Ballar soni ${ textstyle N}$ oynada, bu erda ko'rsatilgan ${ textstyle W}$, taqlid qilish kerak, bu (psevdo) yordamida amalga oshiriladi -tasodifiy son yaratish Poisson tasodifiy o'zgaruvchilarini simulyatsiya qilishga qodir bo'lgan funktsiya.

Bir hil holat

Doimiy bilan bir hil holat uchun ${ textstyle lambda}$, Puasson tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati ${ textstyle N}$ ga o'rnatildi ${ textstyle lambda | W |}$ qayerda ${ textstyle | W |}$ uzunligi, maydoni yoki (${ textstyle d}$o'lchovli) hajmi ${ textstyle W}$.

Bir hil bo'lmagan holat

Bir hil bo'lmagan holat uchun, ${ textstyle lambda | W |}$ bilan almashtiriladi (${ textstyle d}$-o'lchovli) hajm integral

${ displaystyle Lambda (W) = int _ {W} lambda (x) , mathrm {d} x}$

2-qadam: Ballarni joylashtirish

Ikkinchi bosqich tasodifiy joylashtirishni talab qiladi ${ displaystyle textstyle N}$ oynadagi ishora ${ displaystyle textstyle W}$.

Bir hil holat

Bir o'lchovdagi bir hil holat uchun barcha nuqtalar bir xil va mustaqil ravishda derazaga yoki intervalga joylashtirilgan ${ displaystyle textstyle W}$. Dekart koordinatalar tizimidagi yuqori o'lchamlar uchun har bir koordinat bir xil va mustaqil ravishda oynaga joylashtiriladi ${ displaystyle textstyle W}$. Agar deraza dekartiy fazosining kichik fazosi bo'lmasa (masalan, birlik shar ichida yoki birlik shar yuzasida), u holda nuqtalar bir tekis joylashtirilmaydi ${ displaystyle textstyle W}$va koordinatalarni mos ravishda o'zgartirish kerak (dekartiyadan).^[84]

Bir hil bo'lmagan holat

Bir hil bo'lmaganlar uchun intensivlik funktsiyasining xususiyatiga qarab bir nechta turli usullardan foydalanish mumkin ${ displaystyle textstyle lambda (x)}$.^[84] Agar intensivlik funktsiyasi etarlicha sodda bo'lsa, u holda nuqtalarning mustaqil va tasodifiy bir xil bo'lmagan (kartezyen yoki boshqa) koordinatalarini hosil qilish mumkin. Masalan, dumaloq oynada Puasson nuqta jarayonini simulyatsiya qilish izotrop intensivlik funktsiyasi uchun (qutb koordinatalarida) amalga oshirilishi mumkin. ${ displaystyle textstyle r}$ va ${ displaystyle textstyle theta}$), bu rotatsion ravishda o'zgaruvchan yoki unga bog'liq emasligini anglatadi ${ displaystyle textstyle theta}$ lekin bog'liq ${ displaystyle textstyle r}$, o'zgaruvchining o'zgarishi bilan ${ displaystyle textstyle r}$ agar intensivlik funktsiyasi etarlicha sodda bo'lsa.^[84]

Keyinchalik murakkab intensiv funktsiyalar uchun qabul qilish-rad etish usuliquyidagilar, faqat ba'zi tasodifiy nuqtalardan foydalanish (yoki "qabul qilish") va boshqa fikrlarni ishlatmaslik (yoki "rad etish") nisbati asosida:^[86]

${ displaystyle { frac { lambda (x_ {i})} { Lambda (W)}} = { frac { lambda (x_ {i})} { int _ {W} lambda (x) , mathrm {d} x.}}}$

qayerda ${ displaystyle textstyle x_ {i}}$ qabul qilish yoki rad etish uchun ko'rib chiqilayotgan nuqta.

Umumiy Poisson nuqtasi jarayoni

Poisson nuqtasi jarayonini ba'zan sifatida tanilgan narsaga yanada umumlashtirish mumkin umumiy Puasson nuqtasi jarayoni^[20][87] yoki umumiy Poisson jarayoni^[74] Radon o'lchovidan foydalangan holda ${ displaystyle textstyle Lambda}$, bu mahalliy darajada cheklangan o'lchovdir. Umuman olganda, bu Radon o'lchovi ${ displaystyle textstyle Lambda}$ atomik bo'lishi mumkin, demak, Puasson nuqta jarayonining bir nechta nuqtalari asosiy kosmosning bir xil joyida mavjud bo'lishi mumkin. Bunday vaziyatda ochkolar soni ${ displaystyle textstyle x}$ o'rtacha Pusson tasodifiy o'zgaruvchisidir ${ displaystyle textstyle Lambda ({x})}$.^[87] Ammo ba'zida buning teskarisi taxmin qilinadi, shuning uchun Radon o'lchovi ${ displaystyle textstyle Lambda}$ bu tarqoq yoki atom bo'lmagan.^[20]

Nuqta jarayoni ${ displaystyle textstyle {N}}$ intensivligi bilan umumiy Poisson nuqtasi jarayoni ${ displaystyle textstyle Lambda}$ agar u quyidagi ikkita xususiyatga ega bo'lsa:^[20]

• cheklangan Borel to'plamidagi nuqta soni ${ displaystyle textstyle B}$ o'rtacha bo'lgan Puasson tasodifiy o'zgaruvchisi ${ displaystyle textstyle Lambda (B)}$. Boshqacha qilib aytganda, joylashgan nuqtalarning umumiy sonini belgilang ${ displaystyle textstyle B}$ tomonidan ${ displaystyle textstyle {N} (B)}$, keyin tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoli ${ displaystyle textstyle {N} (B)}$ ga teng bo'lish ${ displaystyle textstyle n}$ tomonidan berilgan:

${ displaystyle P {{N} (B) = n } = { frac {( Lambda (B)) ^ {n}} {n!}} e ^ {- Lambda (B)}}$

• ballar soni ${ displaystyle textstyle n}$ ajratish Borel shakllarni o'rnatadi ${ displaystyle textstyle n}$ mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar.

Radon o'lchovi ${ displaystyle textstyle Lambda}$ kutilgan nuqtalar soni bo'yicha oldingi talqinini saqlab qoladi ${ displaystyle textstyle {N}}$ chegaralangan mintaqada joylashgan ${ displaystyle textstyle B}$, ya'ni

${ displaystyle Lambda (B) = E [{N} (B)].}$

Bundan tashqari, agar ${ displaystyle textstyle Lambda}$ zichligi borligi uchun muttasil uzluksiz (ya'ni Radon-Nikodim zichligi yoki lotin) Lebesgue o'lchoviga nisbatan, keyin barcha Borel to'plamlari uchun ${ displaystyle textstyle B}$ uni quyidagicha yozish mumkin:

${ displaystyle Lambda (B) = int _ {B} lambda (x) , mathrm {d} x,}$

qaerda zichlik ${ displaystyle textstyle lambda (x)}$ boshqa atamalar qatori intensivlik funktsiyasi sifatida tanilgan.

Tarix

Poissonning tarqalishi

Nomiga qaramay, Puasson nuqta jarayoni frantsuz matematikasi tomonidan kashf qilinmagan va o'rganilmagan Simyon Denis Poisson; nomi misol sifatida keltirilgan Stigler qonuni.^[13][14] Ism-ga xos munosabatidan kelib chiqadi Poissonning tarqalishi, Poisson tomonidan chegara ishi sifatida olingan binomial taqsimot.^[88] Bu tasvirlangan ehtimollik summasining ${ displaystyle textstyle n}$ Bernulli sinovlari ehtimollik bilan ${ displaystyle textstyle p}$, ko'pincha keyin bosh (yoki quyruq) soniga o'xshash ${ displaystyle textstyle n}$ xolis aylantirmoq bosh (yoki dum) paydo bo'lish ehtimoli bo'lgan tanga ${ displaystyle textstyle p}$. Ba'zi ijobiy doimiy uchun ${ displaystyle textstyle Lambda> 0}$, kabi ${ displaystyle textstyle n}$ cheksiz tomon ortadi va ${ displaystyle textstyle p}$ mahsulot nolga qarab kamayadi ${ displaystyle textstyle np = Lambda}$ aniqlangan, Puasson taqsimoti binomial taqsimotga yaqinroq.^[89]

Poisson 1841 yilda nashr etilgan Poisson taqsimotini binomial taqsimotni o'rganib chiqdi chegara ning ${ displaystyle textstyle p}$ (nolga) va ${ displaystyle textstyle n}$ (cheksizgacha). Bu Puassonning barcha asarlarida faqat bir marta uchraydi,^[90] va natijasi uning davrida yaxshi ma'lum emas edi. Keyingi yillarda bir qator odamlar tarqatishdan Poissonga murojaat qilmasdan foydalanishgan, shu jumladan Filipp Lyudvig fon Zeydel va Ernst Abbe.^[91][13] Oxirida 19-asr, Ladislaus Bortkievich would study the distribution again in a different setting (citing Poisson), using the distribution with real data to study the number of deaths from horse kicks in the Prussiya armiyasi.^[88][92]

Kashfiyot

There are a number of claims for early uses or discoveries of the Poisson point process.^[13][14] Masalan, Jon Mishel in 1767, a decade before Poisson was born, was interested in the probability a star being within a certain region of another star under the assumption that the stars were "scattered by mere chance", and studied an example consisting of the six brightest yulduzlar ichida Pleades, without deriving the Poisson distribution. Ushbu ish ilhomlantirdi Simon Newcomb to study the problem and to calculate the Poisson distribution as an approximation for the binomial distribution in 1860.^[14]

At the beginning of the 20th century the Poisson process (in one dimension) would arise independently in different situations.^[13][14] In Sweden 1903, Filip Lundberg nashr etilgan tezis containing work, now considered fundamental and pioneering, where he proposed to model insurance claims with a homogeneous Poisson process.^[93][94]

Yilda Daniya in 1909 another discovery occurred when A.K. Erlang derived the Poisson distribution when developing a mathematical model for the number of incoming phone calls in a finite time interval. Erlang was not at the time aware of Poisson's earlier work and assumed that the number phone calls arriving in each interval of time were independent to each other. He then found the limiting case, which is effectively recasting the Poisson distribution as a limit of the binomial distribution.^[13]

1910 yilda Ernest Rezerford va Xans Geyger published experimental results on counting alpha particles. Their experimental work had mathematical contributions from Garri Beytmen, who derived Poisson probabilities as a solution to a family of differential equations, though the solution had been derived earlier, resulting in the independent discovery of the Poisson process.^[13] After this time there were many studies and applications of the Poisson process, but its early history is complicated, which has been explained by the various applications of the process in numerous fields by biologists, ecologists, engineers and various physical scientists.^[13]

Dastlabki dasturlar

The years after 1909 led to a number of studies and applications of the Poisson point process, however, its early history is complex, which has been explained by the various applications of the process in numerous fields by biologlar, ekologlar, muhandislar and others working in the fizika fanlari. The early results were published in different languages and in different settings, with no standard terminology and notation used.^[13] For example, in 1922 Shved kimyogar va Nobel mukofoti sovrindori Teodor Svedberg proposed a model in which a spatial Poisson point process is the underlying process in order to study how plants are distributed in plant communities.^[95] A number of mathematicians started studying the process in the early 1930s, and important contributions were made by Andrey Kolmogorov, Uilyam Feller va Aleksandr Xinchin,^[13] Boshqalar orasida.^[96] Sohasida teletraffic muhandisligi, mathematicians and statisticians studied and used Poisson and other point processes.^[97]

History of terms

Shved Conny Palm in his 1943 dissertatsiya studied the Poisson and other point processes in the bir o'lchovli setting by examining them in terms of the statistical or stochastic dependence between the points in time.^[98][97] In his work exists the first known recorded use of the term nuqta jarayonlari kabi Punktprozesse nemis tilida.^[98][14]

Bunga ishonishadi ^[13] that William Feller was the first in print to refer to it as the Poisson jarayoni in a 1940 paper. Although the Swede Ove Lundberg used the term Poisson jarayoni in his 1940 PhD dissertation,^[14] in which Feller was acknowledged as an influence,^[99] it has been claimed that Feller coined the term before 1940.^[89] It has been remarked that both Feller and Lundberg used the term as though it were well-known, implying it was already in spoken use by then.^[14] Feller worked from 1936 to 1939 alongside Xarald Kramer da Stokgolm universiteti, where Lundberg was a PhD student under Cramér who did not use the term Poisson jarayoni in a book by him, finished in 1936, but did in subsequent editions, which his has led to the speculation that the term Poisson jarayoni was coined sometime between 1936 and 1939 at the Stockholm University.^[14]

Terminologiya

The terminology of point process theory in general has been criticized for being too varied.^[14] In addition to the word nuqta often being omitted,^[63][2] the homogeneous Poisson (point) process is also called a statsionar Poisson (point) process,^[48] shu qatorda; shu bilan birga bir xil Poisson (point) process.^[43] The inhomogeneous Poisson point process, as well as being called nonhomogeneous,^[48] deb ham yuritiladi statsionar bo'lmagan Poisson process.^[72][100]

Atama point process has been criticized, as the term jarayon can suggest over time and space, so random point field,^[101] resulting in the terms Poisson random point field yoki Poisson point field being also used.^[102] A point process is considered, and sometimes called, a random counting measure,^[103] hence the Poisson point process is also referred to as a Poisson tasodifiy o'lchov,^[104] a term used in the study of Lévy processes,^[104][105] but some choose to use the two terms for Poisson points processes defined on two different underlying spaces.^[106]

The underlying mathematical space of the Poisson point process is called a carrier space,^[107][108] yoki davlat maydoni, though the latter term has a different meaning in the context of stochastic processes. In the context of point processes, the term "state space" can mean the space on which the point process is defined such as the real line,^[109][110] which corresponds to the index set^[111] or parameter set^[112] in stochastic process terminology.

O'lchov ${ displaystyle textstyle Lambda}$ deyiladi intensivlik o'lchovi,^[113] mean measure,^[38] yoki parameter measure,^[67] as there are no standard terms.^[38] Agar ${ displaystyle textstyle Lambda}$ has a derivative or density, denoted by ${displaystyle extstyle lambda (x)}$, is called the intensity function of the Poisson point process.^[20] For the homogeneous Poisson point process, the derivative of the intensity measure is simply a constant ${displaystyle extstyle lambda >0}$, which can be referred to as the stavka,usually when the underlying space is the real line, or the intensivlik.^[43] U shuningdek mean rate yoki mean density^[114] yoki stavka .^[34] Uchun ${displaystyle extstyle lambda =1}$, the corresponding process is sometimes referred to as the standard Poisson (point) process.^{[44][58][115]}

The extent of the Poisson point process is sometimes called the chalinish xavfi.^[116][117]

Notation

The notation of the Poisson point process depends on its setting and the field it is being applied in. For example, on the real line, the Poisson process, both homogeneous or inhomogeneous, is sometimes interpreted as a counting process, and the notation ${displaystyle extstyle {N(t),tgeq 0}}$ is used to represent the Poisson process.^[31][34]

Another reason for varying notation is due to the theory of point processes, which has a couple of mathematical interpretations. For example, a simple Poisson point process may be considered as a random set, which suggests the notation ${displaystyle extstyle xin {N}}$, buni nazarda tutadi ${ displaystyle textstyle x}$ is a random point belonging to or being an element of the Poisson point process ${ displaystyle textstyle {N}}$. Another, more general, interpretation is to consider a Poisson or any other point process as a random counting measure, so one can write the number of points of a Poisson point process ${ displaystyle textstyle {N}}$ being found or located in some (Borel measurable) region ${ displaystyle textstyle B}$ kabi ${displaystyle extstyle {N}(B)}$, which is a random variable. These different interpretations results in notation being used from mathematical fields such as measure theory and set theory.^[118]

For general point processes, sometimes a subscript on the point symbol, for example ${ displaystyle textstyle x}$, is included so one writes (with set notation) ${displaystyle extstyle x_{i}in {N}}$ o'rniga ${displaystyle extstyle xin {N}}$va ${ displaystyle textstyle x}$ can be used for the dummy variable in integral expressions such as Campbell's theorem, instead of denoting random points.^[18] Sometimes an uppercase letter denotes the point process, while a lowercase denotes a point from the process, so, for example, the point ${ displaystyle textstyle x}$ yoki ${displaystyle extstyle x_{i}}$ belongs to or is a point of the point process ${ displaystyle textstyle X}$, and be written with set notation as ${ displaystyle textstyle x in X}$ yoki ${displaystyle extstyle x_{i}in X}$.^[110]

Furthermore, the set theory and integral or measure theory notation can be used interchangeably. For example, for a point process ${displaystyle extstyle N}$ defined on the Euclidean state space ${displaystyle extstyle {{ extbf {R}}^{d}}}$ and a (measurable) function ${displaystyle extstyle f}$ kuni ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$ , ifoda

${displaystyle int _{{ extbf {R}}^{d}}f(x),mathrm {d} N(x)=sum limits _{x_{i}in N}f(x_{i}),}$

demonstrates two different ways to write a summation over a point process (see also Campbell's theorem (probability)). More specifically, the integral notation on the left-hand side is interpreting the point process as a random counting measure while the sum on the right-hand side suggests a random set interpretation.^[118]

Functionals and moment measures

In probability theory, operations are applied to random variables for different purposes. Sometimes these operations are regular expectations that produce the average or variance of a random variable. Others, such as characteristic functions (or Laplace transforms) of a random variable can be used to uniquely identify or characterize random variables and prove results like the central limit theorem.^[119] In the theory of point processes there exist analogous mathematical tools which usually exist in the forms of measures and functionals instead of moments and functions respectively.^[120][121]

Laplace functionals

For a Poisson point process ${ displaystyle textstyle {N}}$ intensivlik o'lchovi bilan ${ displaystyle textstyle Lambda}$, Laplace functional tomonidan berilgan:^[18]

${displaystyle L_{N}(f)=e^{-int _{{ extbf {R}}^{d}}(1-e^{-f(x)})Lambda (mathrm {d} x)},}$

${displaystyle L_{N}(f)=e^{-lambda int _{{ extbf {R}}^{d}}(1-e^{-f(x)}),mathrm {d} x}.}$

Ning bitta versiyasi Campbell's theorem involves the Laplace functional of the Poisson point process.

Probability generating functionals

The probability generating function of non-negative integer-valued random variable leads to the probability generating functional being defined analogously with respect to any non-negative bounded function ${ displaystyle textstyle v}$ kuni ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$ shu kabi ${displaystyle extstyle 0leq v(x)leq 1}$. For a point process ${ displaystyle textstyle {N}}$ the probability generating functional is defined as:^[122]

${displaystyle G(v)=Eleft[prod _{xin N}v(x) ight]}$

where the product is performed for all the points in ${ displaystyle textstyle {N}}$. If the intensity measure ${ displaystyle textstyle Lambda}$ ning ${ displaystyle textstyle {N}}$ is locally finite, then the ${displaystyle extstyle G}$ is well-defined for any measurable function ${ displaystyle textstyle u}$ kuni ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$. For a Poisson point process with intensity measure ${ displaystyle textstyle Lambda}$ the generating functional is given by:

${displaystyle G(v)=e^{-int _{{ extbf {R}}^{d}}[1-v(x)],Lambda (mathrm {d} x)},}$

which in the homogeneous case reduces to

${displaystyle G(v)=e^{-lambda int _{{ extbf {R}}^{d}}[1-v(x)],mathrm {d} x}.}$

Vaqt o'lchovi

For a general Poisson point process with intensity measure ${ displaystyle textstyle Lambda}$ birinchi moment measure is its intensity measure:^[18][19]

${displaystyle M^{1}(B)=Lambda (B),}$

which for a homogeneous Poisson point process with doimiy intensivlik ${displaystyle extstyle lambda }$ degani:

${displaystyle M^{1}(B)=lambda |B|,}$

qayerda ${displaystyle extstyle |B|}$ is the length, area or volume (or more generally, the Lebesg o'lchovi) ning ${ displaystyle textstyle B}$.

The Mecke equation

The Mecke equation characterizes the Poisson point process. Ruxsat bering ${displaystyle mathbb {N} _{sigma }}$ be the space of all ${ displaystyle sigma}$-finite measures on some general space ${ displaystyle { mathcal {Q}}}$. A point process ${ displaystyle eta}$ intensivlik bilan ${ displaystyle lambda}$ kuni ${ displaystyle { mathcal {Q}}}$ is a Poisson point process if and only if for all measurable functions ${displaystyle f:{mathcal {Q}} imes mathbb {N} _{sigma } o mathbb {R} _{+}}$ the following holds

${displaystyle operatorname {E} left[int f(x,eta )eta (mathrm {d} x) ight]=int operatorname {E} left[f(x,eta +delta _{x}) ight]lambda (mathrm {d} x)}$

Qo'shimcha ma'lumot uchun qarang ^[123].

Faktorial moment o'lchovi

For a general Poisson point process with intensity measure ${ displaystyle textstyle Lambda}$ The ${ displaystyle textstyle n}$-chi factorial moment measure ifoda bilan berilgan:^[124]

${displaystyle M^{(n)}(B_{1} imes cdots imes B_{n})=prod _{i=1}^{n}[Lambda (B_{i})],}$

qayerda ${ displaystyle textstyle Lambda}$ is the intensity measure or first moment measure of ${ displaystyle textstyle {N}}$, which for some Borel set ${ displaystyle textstyle B}$ tomonidan berilgan

${displaystyle Lambda (B)=M^{1}(B)=E[N(B)].}$

For a homogeneous Poisson point process the ${ displaystyle textstyle n}$-th factorial moment measure is simply:^[18][19]

${displaystyle M^{(n)}(B_{1} imes cdots imes B_{n})=lambda ^{n}prod _{i=1}^{n}|B_{i}|,}$

qayerda ${displaystyle extstyle |B_{i}|}$ is the length, area, or volume (or more generally, the Lebesg o'lchovi) ning ${displaystyle extstyle B_{i}}$. Bundan tashqari, ${ displaystyle textstyle n}$-th factorial moment density is:^[124]

${displaystyle mu ^{(n)}(x_{1},dots ,x_{n})=lambda ^{n}.}$

Avoidance function

The avoidance function ^[69] yoki void probability ^[118] ${ displaystyle textstyle v}$ of a point process ${ displaystyle textstyle {N}}$ is defined in relation to some set ${ displaystyle textstyle B}$, which is a subset of the underlying space ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$, as the probability of no points of ${ displaystyle textstyle {N}}$ mavjud ${ displaystyle textstyle B}$. Aniqrog'i,^[125] for a test set ${ displaystyle textstyle B}$, the avoidance function is given by:

${displaystyle v(B)=P({N}(B)=0).}$

For a general Poisson point process ${ displaystyle textstyle {N}}$ intensivlik o'lchovi bilan ${ displaystyle textstyle Lambda}$, its avoidance function is given by:

${displaystyle v(B)=e^{-Lambda (B)}}$

Rényi's theorem

Simple point processes are completely characterized by their void probabilities.^[126] In other words, complete information of a simple point process is captured entirely in its void probabilities, and two simple point processes have the same void probabilities if and if only if they are the same point processes. The case for Poisson process is sometimes known as Rényi's theoremnomi berilgan Alfred Reniy who discovered the result for the case of a homogeneous point process in one-dimension.^[127]

In one form,^[127] the Rényi's theorem says for a diffuse (or non-atomic) Radon measure ${ displaystyle textstyle Lambda}$ kuni ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$ va to'plam ${displaystyle extstyle A}$ is a finite union of rectangles (so not Borel^[d]) that if ${ displaystyle textstyle {N}}$ is a countable subset of ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$ shu kabi:

${displaystyle P({N}(A)=0)=v(A)=e^{-Lambda (A)}}$

keyin ${ displaystyle textstyle {N}}$ is a Poisson point process with intensity measure ${ displaystyle textstyle Lambda}$.

Point process operations

Mathematical operations can be performed on point processes in order to get new point processes and develop new mathematical models for the locations of certain objects. One example of an operation is known as thinning which entails deleting or removing the points of some point process according to a rule, creating a new process with the remaining points (the deleted points also form a point process).^[129]

Yupqalash

For the Poisson process, the independent ${displaystyle extstyle p(x)}$-thinning operations results in another Poisson point process. Aniqrog'i, a ${displaystyle extstyle p(x)}$-thinning operation applied to a Poisson point process with intensity measure ${ displaystyle textstyle Lambda}$ gives a point process of removed points that is also Poisson point process ${displaystyle extstyle {N}_{p}}$ intensivlik o'lchovi bilan ${displaystyle extstyle Lambda _{p}}$, which for a bounded Borel set ${ displaystyle textstyle B}$ tomonidan berilgan:

${displaystyle Lambda _{p}(B)=int _{B}p(x),Lambda (mathrm {d} x)}$

This thinning result of the Poisson point process is sometimes known as Prekopa's theorem.^[130] Furthermore, after randomly thinning a Poisson point process, the kept or remaining points also form a Poisson point process, which has the intensity measure

${displaystyle Lambda _{p}(B)=int _{B}(1-p(x)),Lambda (mathrm {d} x).}$

The two separate Poisson point processes formed respectively from the removed and kept points are stochastically independent of each other.^[129] In other words, if a region is known to contain ${ displaystyle textstyle n}$ kept points (from the original Poisson point process), then this will have no influence on the random number of removed points in the same region. This ability to randomly create two independent Poisson point processes from one is sometimes known as bo'linish ^[131][132] the Poisson point process.

Superpozitsiya

If there is a countable collection of point processes ${displaystyle extstyle {N}_{1},{N}_{2}dots }$, then their superposition, or, in set theory language, their union, which is^[133]

${displaystyle {N}=igcup _{i=1}^{infty }{N}_{i},}$

also forms a point process. In other words, any points located in any of the point processes ${displaystyle extstyle {N}_{1},{N}_{2}dots }$ will also be located in the superposition of these point processes ${ displaystyle textstyle {N}}$.

Superposition theorem

The superposition theorem of the Poisson point process says that the superposition of independent Poisson point processes ${displaystyle extstyle {N}_{1},{N}_{2}dots }$ with mean measures ${displaystyle extstyle Lambda _{1},Lambda _{2},dots }$ will also be a Poisson point process with mean measure^[134][89]

${displaystyle Lambda =sum _{i=1}^{infty }Lambda _{i}.}$

In other words, the union of two (or countably more) Poisson processes is another Poisson process. Agar nuqta bo'lsa ${ textstyle x}$ is sampled from a countable ${ textstyle n}$ union of Poisson processes, then the probability that the point ${ displaystyle textstyle x}$ ga tegishli ${ textstyle j}$th Poisson process ${ extstyle N_{j}}$ tomonidan berilgan:

${displaystyle P(xin N_{j})={frac {Lambda _{j}}{sum _{i=1}^{n}Lambda _{i}}}.}$

For two homogeneous Poisson processes with intensities ${ extstyle lambda _{1},lambda _{2}dots }$, the two previous expressions reduce to

${displaystyle lambda =sum _{i=1}^{infty }lambda _{i},}$

va

${displaystyle P(xin {N}_{j})={frac {lambda _{j}}{sum _{i=1}^{n}lambda _{i}}}.}$

Klasterlash

The operation clustering is performed when each point ${ displaystyle textstyle x}$ of some point process ${ displaystyle textstyle {N}}$ is replaced by another (possibly different) point process. If the original process ${ displaystyle textstyle {N}}$ is a Poisson point process, then the resulting process ${displaystyle extstyle {N}_{c}}$ is called a Poisson cluster point process.

Random displacement

A mathematical model may require randomly moving points of a point process to other locations on the underlying mathematical space, which gives rise to a point process operation known as displacement ^[135] or translation.^[136] The Poisson point process has been used to model, for example, the movement of plants between generations, owing to the displacement theorem,^[135] which loosely says that the random independent displacement of points of a Poisson point process (on the same underlying space) forms another Poisson point process.

Displacement theorem

One version of the displacement theorem^[135] involves a Poisson point process ${ displaystyle textstyle {N}}$ kuni ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$ with intensity function ${displaystyle extstyle lambda (x)}$. It is then assumed the points of ${ displaystyle textstyle {N}}$ are randomly displaced somewhere else in ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$ so that each point's displacement is independent and that the displacement of a point formerly at ${ displaystyle textstyle x}$ is a random vector with a probability density ${displaystyle extstyle ho (x,cdot )}$.^[e] Then the new point process ${displaystyle extstyle {N}_{D}}$ is also a Poisson point process with intensity function

${displaystyle lambda _{D}(y)=int _{{ extbf {R}}^{d}}lambda (x) ho (x,y),mathrm {d} x.}$

If the Poisson process is homogeneous with ${displaystyle extstyle lambda (x)=lambda >0}$ va agar ${displaystyle ho (x,y)}$ ning funktsiyasi ${displaystyle y-x}$, keyin

${displaystyle lambda _{D}(y)=lambda .}$

In other words, after each random and independent displacement of points, the original Poisson point process still exists.

The displacement theorem can be extended such that the Poisson points are randomly displaced from one Euclidean space ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$ to another Euclidean space ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d '}}$, qayerda ${ displaystyle textstyle d ' geq 1}$ shart emas ${ displaystyle textstyle d}$.^[18]

Xaritalash

Foydali deb hisoblanadigan yana bir xususiyat bu Poisson nuqtasi jarayonini bir asosiy kosmosdan ikkinchisiga xaritalash qobiliyatidir.^[137]

Xaritalash teoremasi

Agar xaritalash (yoki o'zgartirish) ba'zi bir shartlarga rioya qilsa, natijada xaritada (yoki o'zgartirilgan) ballar to'plami ham Puasson nuqta jarayonini hosil qiladi va bu natija ba'zida xaritalash teoremasi.^[137][138] Teorema o'rtacha o'lchov bilan ba'zi bir Puasson nuqta jarayonini o'z ichiga oladi ${ displaystyle textstyle Lambda}$ ba'zi bir bo'shliqda. Agar nuqtalarning joylashuvi biron bir funktsiyaga muvofiq boshqa bir kosmosga mos keladigan bo'lsa (ya'ni nuqta jarayoni o'zgartirilsa), natijada hosil bo'lgan nuqta jarayoni ham Poisson nuqtasi jarayoni, ammo o'rtacha o'lchovi boshqacha ${ displaystyle textstyle Lambda '}$.

Aniqrog'i, (Borelni o'lchash mumkin) funktsiyasini ko'rib chiqish mumkin ${ displaystyle textstyle f}$ nuqta jarayonini xaritada aks ettiradi ${ displaystyle textstyle {N}}$ intensivlik o'lchovi bilan ${ displaystyle textstyle Lambda}$ bitta bo'shliqdan ${ displaystyle textstyle S}$, boshqa joyga ${ displaystyle textstyle T}$ shunday qilib, yangi nuqta jarayoni ${ displaystyle textstyle {N} '}$ intensivlik o'lchoviga ega:

${ displaystyle Lambda (B) '= Lambda (f ^ {- 1} (B))}$

atomlarsiz, qaerda ${ displaystyle textstyle B}$ bu Borel to'plami va ${ displaystyle textstyle f ^ {- 1}}$ funksiyaning teskari tomonini bildiradi ${ displaystyle textstyle f}$. Agar ${ displaystyle textstyle {N}}$ bu Poisson nuqtasi jarayoni, keyin yangi jarayon ${ displaystyle textstyle {N} '}$ shuningdek, intensivlik o'lchovi bilan Puasson nuqta jarayonidir ${ displaystyle textstyle Lambda '}$.

Puasson nuqta jarayonlari bilan taqqoslash

Puasson jarayonining tortishish qobiliyati, ba'zida Puasson bo'lmagan nuqta jarayonini Poisson bilan taqqoslash qulayligini anglatadi. Umumiy maqsad - har qanday nuqta jarayonining ikkala nuqtasi sonini va har bir nuqtaning joylashishini Puasson nuqtasi jarayoni bilan taqqoslash.^[139] Rasmiy yoki qat'iy ravishda tasodifiy hodisa yoki hodisalarning paydo bo'lishini mos Poisson nuqtasi jarayonlari bilan taxmin qilish uchun asoslash uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan bir qator usullar mavjud. Keyinchalik qat'iy usullar Puasson va Puasson bo'lmagan nuqta jarayonlari o'rtasidagi ehtimollik ko'rsatkichlari bo'yicha yuqori chegaralarni olishni o'z ichiga oladi, boshqa usullar esa kamroq rasmiy evristika bilan asoslanishi mumkin.^[140]

Yalang'och evristik

Tasodifiy hodisa yoki hodisalarni Puasson jarayonlari bilan yaqinlashtirishning bir usuli deyiladi to'plangan evristik.^[141] Umumiy evristik yoki printsip, ba'zi bir stoxastik jarayonlarning kamdan-kam uchraydigan yoki ehtimoldan yiroq deb hisoblangan hodisalarini taxminiy ravishda aniqlash uchun Puasson nuqta jarayonidan (yoki Puasson taqsimotidan) foydalanishni o'z ichiga oladi. Ba'zi hollarda bu noyob hodisalar mustaqil bo'lishga yaqin, shuning uchun Puasson nuqtasi jarayonidan foydalanish mumkin. Voqealar mustaqil bo'lmaganda, yoki klasterlarda sodir bo'lishga moyil bo'lganda to'plar, agar bu to'plamlar taxminan bir-biridan mustaqil bo'lishlari uchun mos ravishda aniqlangan bo'lsa, unda paydo bo'ladigan klasterlar soni Puasson tasodifiy o'zgaruvchisiga yaqin bo'ladi ^[140] va to'planish joylari Puasson jarayoniga yaqin bo'ladi.^[141]

Shteyn usuli

Shteyn usuli kabi tasodifiy o'zgaruvchilarni taxmin qilish uchun dastlab ishlab chiqilgan matematik texnikadir Gauss va Poisson o'zgaruvchilari, ular nuqtaviy jarayonlarga ham tatbiq etilgan. Shteyn usulidan yuqori chegaralarni olish uchun foydalanish mumkin ehtimollik ko'rsatkichlari, bu ikkala tasodifiy matematik ob'ektlarning bir-biridan qanchalik farq qilishini aniqlashga imkon beradi.^[139][142] Kabi ehtimollik ko'rsatkichlari bo'yicha yuqori darajalar umumiy o'zgarish va Vassershteyn masofasi olingan.^[139]

Tadqiqotchilar Shteynning usulini Poissonning nuqtaviy jarayonlariga bir necha usulda qo'lladilar,^[139] foydalanish kabi Xurmo hisobi.^[108] Stayn uslubiga asoslangan usullar ishlab chiqilgan bo'lib, ularning ta'sirini yuqori chegaralarga etkazish mumkin nuqta jarayoni operatsiyalari yupqalash va superpozitsiya kabi.^[143][144] Shteyn usuli, shuningdek, Poisson metrikalari va. Kabi boshqa jarayonlarning yuqori chegaralarini olish uchun ishlatilgan Koks nuqtasi jarayoni, bu tasodifiy intensivlik o'lchoviga ega bo'lgan Puasson jarayoni.^[139]

Puasson nuqtasi jarayoniga yaqinlashish

Umuman olganda, operatsiya umumiy nuqta jarayoniga tatbiq etilganda, natijada paydo bo'ladigan jarayon odatda Puasson nuqtasi jarayoni emas. Masalan, agar Puassondan tashqari nuqta jarayoni o'z nuqtalarini tasodifiy va mustaqil ravishda siljitgan bo'lsa, u holda bu jarayon Puasson nuqtasi jarayoni bo'lishi shart emas. Shu bilan birga, dastlabki matematik shartlar uchun ham, dastlabki nuqta jarayoni uchun ham, tasodifiy siljish uchun ham, agar nuqta jarayonining nuqtalari bir necha marta tasodifiy va mustaqil ravishda siljigan bo'lsa, u holda nuqtaning chekli taqsimoti chegara teoremalari orqali ko'rsatildi. jarayon Puasson nuqtasi jarayoniga yaqinlashadi (zaif).^[145]

Shu kabi yaqinlashuv natijalari yupqalash va superpozitsiya operatsiyalari uchun ishlab chiqilgan^[145] shuni ko'rsatadiki, nuqta jarayonlaridagi bunday takroriy operatsiyalar, muayyan sharoitlarda intensivlik o'lchovining mos ravishda qayta tiklanishini ta'minlagan holda, Poisson nuqtasi jarayonlariga yaqinlashishi mumkin (aks holda hosil bo'lgan nuqta jarayonlarining intensivlik o'lchovi qiymatlari nolga yaqinlashadi yoki cheksiz). Bunday yaqinlashuv ishlari Palm-Xinchin deb nomlanuvchi natijalar bilan bevosita bog'liqdir^[f] ning kelib chiqishidan kelib chiqqan tenglamalar Konni Palm va Aleksandr Xinchin,^[147] va nima uchun Puasson jarayonidan ko'pincha turli xil tasodifiy hodisalarning matematik modeli sifatida foydalanish mumkinligini tushuntirishga yordam bering.^[145]

Puasson nuqta jarayonlarini umumlashtirish

Puasson nuqta jarayonini, masalan, intensivlik o'lchovini o'zgartirish yoki umumiy matematik bo'shliqlarni aniqlash orqali umumlashtirish mumkin. Ushbu umumlashmalar matematik jihatdan o'rganilishi mumkin, shuningdek fizik hodisalarni matematik modellashtirish yoki aks ettirish uchun ishlatilishi mumkin.

Puasson tipidagi tasodifiy o'lchovlar

The Puasson tipidagi tasodifiy o'lchovlar (PT) - uchta tasodifiy hisoblash o'lchovlari oilasi bo'lib, ular subspace bilan cheklangan holda yopiladi, ya'ni ostida yopiladi Point_process_operation # Yupqalash. Ushbu tasodifiy o'lchovlar aralash binom jarayoni va taqsimotning o'ziga o'xshashlik xususiyatini baham ko'ring Poisson tasodifiy o'lchov. Ular ushbu xususiyatga ega bo'lgan va quyidagilarni o'z ichiga oladigan kanonik manfiy bo'lmagan seriyali tarqatish oilasining yagona a'zolari Poissonning tarqalishi, binomial manfiy taqsimotva binomial taqsimot. Poisson tasodifiy o'lchovi ajratilgan pastki bo'shliqlarda mustaqil, boshqa PT tasodifiy o'lchovlari (salbiy binomiya va binomial) ijobiy va salbiy kovaryanslarga ega. PT tasodifiy choralari muhokama qilinadi^[148] va o'z ichiga oladi Poisson tasodifiy o'lchov, salbiy binomial tasodifiy o'lchov va binomial tasodifiy o'lchov.

Poisson nuqta jarayoni ko'proq umumiy bo'shliqlarda

Matematik modellar uchun Puasson nuqta jarayoni ko'pincha Evklid fazosida aniqlanadi,^[1][38] ammo ko'proq mavhum bo'shliqlarga umumlashtirildi va tasodifiy o'lchovlarni o'rganishda asosiy rol o'ynaydi,^[149][150] ehtimollik nazariyasi, o'lchov nazariyasi va topologiya kabi matematik sohalarni tushunishni talab qiladi.^[151]

Umuman olganda, masofa tushunchasi ilovalar uchun amaliy qiziqish uyg'otadi, palma taqsimoti uchun topologik struktura zarur, ya'ni nuqta jarayonlari odatda metrikali matematik bo'shliqlarda aniqlanadi.^[152] Bundan tashqari, nuqta jarayonini amalga oshirishni hisoblash o'lchovi deb hisoblash mumkin, shuning uchun nuqta jarayonlari tasodifiy hisoblash o'lchovlari deb nomlanadigan tasodifiy o'lchovlarning turlari.^[115] Shu nuqtai nazardan, Pousson va boshqa nuqtaviy jarayonlar mahalliy ixcham hisoblanadigan Hausdorff fazosida o'rganildi.^[153]

Koks nuqtasi jarayoni

A Koks nuqtasi jarayoni, Koks jarayoni yoki ikki marotaba stoxastik Puasson jarayoni - Puasson nuqtasi jarayonining intensivligi o'lchovini berish orqali uni umumlashtirish ${ displaystyle textstyle Lambda}$ tasodifiy va asosiy Poisson jarayonidan mustaqil bo'lish. Jarayon nomi berilgan Devid Koks 1955 yilda uni joriy etgan, ammo tasodifiy intensivlikka ega bo'lgan boshqa Puasson jarayonlari oldinroq Lyusen Le Kam va Moris Kvenuil tomonidan mustaqil ravishda kiritilgan.^[14] Intensivlik o'lchovi tasodifiy o'zgaruvchining yoki tasodifiy maydonning amalga oshirilishi bo'lishi mumkin. Masalan, agar logaritma intensivlik o'lchovining a Gauss tasodifiy maydoni, keyin hosil bo'lgan jarayon a deb nomlanadi Gauss koks jarayoni.^[154] Umuman olganda, intensivlik o'lchovlari salbiy sonli tasodifiy o'lchovni amalga oshirishdir. Koks nuqtasi jarayonlari a klasterlash matematik jihatdan Puasson nuqtasi jarayonlaridan kattaroq bo'lishi mumkin bo'lgan nuqtalar. Koks jarayonlarining umumiyligi va traktivligi ularni fazoviy statistika kabi sohalarda model sifatida ishlatilishiga olib keldi^[155] va simsiz tarmoqlar.^[19]

Poisson nuqtasi jarayoni belgilandi

Belgilangan nuqta jarayoni ko'pincha vaqtni ifodalaydigan ijobiy real chiziqda aniqlangan, belgilangan nuqta jarayonining tasviri. Tasodifiy belgilar shtat makonidagi qiymatlarni qabul qiladi ${ displaystyle S}$ nomi bilan tanilgan bo'sh joyni belgilang. Har qanday bunday belgilangan nuqta jarayoni kosmosdagi belgilanmagan nuqta jarayoni sifatida talqin qilinishi mumkin ${ displaystyle [0, infty] times S}$. Belgilash teoremasida aytilishicha, agar dastlabki belgilanmagan nuqta jarayoni Puasson nuqta jarayoni bo'lsa va belgilar stoxastik jihatdan mustaqil bo'lsa, u holda belgilangan nuqta jarayoni ham Puasson nuqta jarayoni hisoblanadi ${ displaystyle [0, infty] times S}$. Agar Puasson nuqtasi jarayoni bir hil bo'lsa, u holda bo'shliqlar ${ displaystyle tau _ {i}}$ diagrammada eksponent taqsimotdan olingan.

Berilgan nuqta jarayoni uchun nuqta jarayonining har bir tasodifiy nuqtasi a deb nomlanuvchi tasodifiy matematik ob'ektga ega bo'lishi mumkin belgi, tasodifiy ravishda unga tayinlangan. Ushbu belgilar tamsayılar, haqiqiy sonlar, chiziqlar, geometrik narsalar yoki boshqa nuqta jarayonlari kabi xilma-xil bo'lishi mumkin.^[156][157] Nuqta jarayonining bir nuqtasi va unga mos keladigan belgidan tashkil topgan juftlik belgilangan nuqta deyiladi va barcha belgilangan nuktalar a hosil qiladi belgilangan nuqta jarayoni.^[158] Tez-tez tasodifiy belgilar bir-biridan mustaqil va bir xil taqsimlangan deb taxmin qilinadi, ammo nuqta belgisi baribir uning mos keladigan nuqtasining asosiy (holat) bo'shliqda joylashganligiga bog'liq bo'lishi mumkin.^[159] Agar asosiy nuqta jarayoni Puasson nuqtasi jarayoni bo'lsa, natijada hosil bo'lgan nuqta jarayoni a bo'ladi Poisson nuqtasi jarayoni belgilangan.^[160]

Teoremani belgilash

Agar ba'zilarida umumiy nuqta jarayoni aniqlansa matematik makon va tasodifiy belgilar boshqa matematik bo'shliqda aniqlanadi, keyin belgilangan nuqta jarayoni Dekart mahsuloti bu ikki bo'shliqdan. Mustaqil va bir xil taqsimlangan belgilar bilan belgilangan Poisson nuqtasi jarayoni uchun belgilash teoremasi ^[159][161] ushbu belgilangan nuqta jarayoni, shuningdek, ikkita matematik bo'shliqning yuqorida aytib o'tilgan dekartiya hosilasida aniqlangan (belgilanmagan) Puasson nuqta jarayoni ekanligini ta'kidlaydi, bu umumiy nuqta jarayonlari uchun to'g'ri kelmaydi.

Murakkab Puasson nuqtasi jarayoni

The murakkab Poisson nuqtasi jarayoni yoki aralash Poisson jarayoni ba'zi bir bo'shliqda aniqlangan Poisson nuqta jarayonining har bir nuqtasiga tasodifiy qiymatlarni yoki og'irliklarni qo'shish orqali hosil bo'ladi, shuning uchun jarayon belgilangan Poisson nuqtasi jarayonidan tuziladi, bu erda belgilar to'plamlar to'plamini hosil qiladi. mustaqil va bir xil taqsimlangan manfiy bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchilar. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, asl Puasson jarayonining har bir nuqtasi uchun mustaqil va bir xil taqsimlangan manfiy bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchi mavjud va undan keyin aralash Poisson jarayoni joylashgan Puasson jarayonining nuqtalariga mos keladigan barcha tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisidan hosil bo'ladi. asosiy matematik makonning ba'zi mintaqalarida.^[162]

Agar Poisson nuqta jarayonidan hosil bo'lgan belgilangan Poisson nuqta jarayoni mavjud bo'lsa ${ displaystyle textstyle N}$ (masalan, ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$) va mustaqil va bir xil taqsimlangan salbiy bo'lmagan belgilar to'plami ${ displaystyle textstyle {M_ {i} }}$ har bir nuqta uchun shunday ${ displaystyle textstyle x_ {i}}$ Poisson jarayonining ${ displaystyle textstyle N}$ manfiy bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchi mavjud ${ displaystyle textstyle M_ {i}}$, natijada hosil bo'lgan Poisson jarayoni quyidagicha bo'ladi:^[163]

${ displaystyle C (B) = sum _ {i = 1} ^ {N (B)} M_ {i},}$

qayerda ${ displaystyle textstyle B subset { textbf {R}} ^ {d}}$ Borel o'lchovli to'plamidir.

Agar umumiy tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lsa ${ displaystyle textstyle {M_ {i} }}$ qiymatlarni oling, masalan, ${ displaystyle textstyle d}$- o'lchovli Evklid fazosi ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$, hosil bo'lgan birikma Puasson jarayoni a-ga misoldir Levi jarayoni bir hil Point jarayonidan hosil bo'lishi sharti bilan ${ displaystyle textstyle N}$ manfiy bo'lmagan sonlarda aniqlangan ${ displaystyle textstyle [0, infty)}$.^[164]

Intensivlik funktsiyalarini eksponent ravishda tekislash bilan ishlamay qolish jarayoni

Intensivlik funktsiyalarini eksponent ravishda tekislash bilan ishdan chiqish jarayoni (FP-ESI) bir hil bo'lmagan Poisson jarayonining kengayishi hisoblanadi. FP-ESI ning intensivligi - bu hodisalar sodir bo'ladigan so'nggi nuqtalardagi intensivlik funktsiyalarining eksponent darajadagi yumshatish funktsiyasi va modellar ma'lumotlar to'plamlariga mos kelganda foydalanilgan 8 ta haqiqiy dunyodagi muvaffaqiyatsiz ma'lumotlar to'plamidagi boshqa to'qqizta stoxastik jarayondan ustundir,^[165] bu erda model ishlashi AIC bo'yicha o'lchanadi (Akaike axborot mezoni) va BIC (Bayes ma'lumotlari mezoni).

Shuningdek qarang

• Mantiqiy model (ehtimollar nazariyasi)
• Perkulyatsiyaning uzluksiz nazariyasi
• Murakkab Poisson jarayoni
• Koks jarayoni
• Nuqta jarayoni
• Stoxastik geometriya
• Simsiz tarmoqlarning stoxastik geometriya modellari
• Markovianning kelish jarayoni

Izohlar

Adabiyotlar

Maxsus